2022年全国各地中考数学解答题压轴题解析

1、2011 年全国各地中考数学解答题压轴题解析（1）1. （广西桂林12 分）已知二次函数21342yxx的图象如图（1）求它的对称轴与x轴交点 d的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为a、b、c三点，若 acb=90 ，求此时抛物线的解析式；（3）设（ 2）中平移后的抛物线的顶点为m ，以 ab为直径， d为圆心作 d，试判断直线cm与d 的位置关系，并说明理由【答案】解： （1）由21342yxx，得32bxa，d（ 3，0） 。（2）如图 1，设平移后的抛物线的解析式为21342yxxk，则 c（0，k） ，oc=k，令y=0，即213042

2、xxk，得12349 , 349xkxk。a349 , 0k，b349 , 0k，22ab4933491636kkk，2222222acbc349 +349 2836kkkkkk。ac2+bc2=ab2，即：21636836kkk，得k1=4，k2=0（舍去），精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 46 页 - - - - - - - - -抛物线的解析式为213442yxx。（3）

3、如图 2，由抛物线的解析式213442yxx可得，a（ 2，0） ，b（8，0） ，c（4，0） ，d （3，0） ，m253 , 4，过 c、m作直线，连接cd ，过 m作 mh垂直 y 轴于 h，则 mh=3 ，2225625dm416，2222225225cmmhch34416。在 rtcod中，22cd345ad，点 c在d 上。2225625dm416，222dmcdcm，dm2=cm2+cd2。 cdm 是直角三角形。 cd cm 。直线 cm 与d 相切。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理。

4、【分析】（1）根据对称轴公式求出2bxa，求出即可。（2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与x轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。（3）由抛物线的解析式213442yxx可得， a，b，c，m各点的坐标，再利用勾股定理逆定理求出cd cm ，即可证明。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 46 页 - - - - - - - - -2 （广西百色12 分）如图，四边形 o

5、abc 的四个顶点坐标分别为o （0，0） ，a（8，0） ，b（4，4） ，c（0， 4） ，直线l：yxb保持与四边形oabc的边交于点m 、n （ m在折线 aoc上，n在折线 abc上）设四边形oabc 在l右下方部分的面积为s1，在l左上方部分的面积为s2，记 s为 s2s1的差（s0） 。（1）求 oab的大小；（2）当 m 、n重合时，求l的解析式；（3）当0b时，问线段ab上是否存在点n使得 s0？若存在，求b的值；若不存在，请说明理由；（4）求 s与 b 的函数关系式。【答案】解（ 1）过点 b过 be x轴，垂足为e，则点 e（4，0）be 4，ae 4。abe为等腰直角三

6、角形， oab 45。（2）m在折线 aoc 上， n在折线 abc上，当点 m 、n重合时，应重合到点a（8， 0） 。代入yxb，得8b。直线l的解析式为8yx。（3）四边形oabc 的面积为124（ 48） 24，直线l：yxb与x轴的交角为45，amn为等腰直角三角形。当 s0 时， amn的面积为四边形oabc 的面积的一半，即12。此时， amn的底边 am 8b，高为12（8b）由三角形面积公式，得11881222bb，解得84 3b（舍去84 3） 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 46 页 - - - -

7、 - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 46 页 - - - - - - - - -当84 3b时，线段ab上是存在点n使得 s0。（4）21s8888432bbb。【考点】直线移动问题，直角梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，点的坐标与方程的关系，列二次函数关系式。【分析】（1）由已知，根据等腰直角三角形的判定和性质可求出oab的大小。（2）由点 m 、n重合时，应重合到点a（8，0）可求l的解析式。（3）由 s0 时， amn的面积为四边形oabc 的面积的一半可求。（4）由已知和（3）知ss2s1 2

8、42s124211128888222bbbb。由（ 2）和（ 3）知，884 3b。3. （广西北海12 分）如图，抛物线：24yaxbx与x轴交于点a( 2，0) 和 b(4，0)、与y轴交于点c(1) 求抛物线的解析式；(2)t 是抛物线对称轴上的一点，且act 是以ac为底的等腰三角形，求点t的坐标；(3) 点 m 、q分别从点a、 b以每秒 1 个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行当点m到原点时，点q立刻掉头并以每秒 3 2个单位长度的速度向点b方向移动， 当点 m到达抛物线的对称轴时，两点停止运动 过点 m的直线l 轴，交ac或 bc于点 p求点 m的运动时间t( 秒) 与apq的

9、面积 s的函数关系式，并求出 s的最大值【答案】解： （1）把 a（ 2， 0） 、b(4，0) 代入24yaxbx，得424016440abab，解得112ab，。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 46 页 - - - - - - - - -抛物线的解析式为：2142yxx。（2）由221194(1)222yxxx，得抛物线的对称轴为直线1x，直线1x交x轴于点 d，设直线1x

10、上一点 t(1，h) ，作 ce 直线1x，垂足为e，由 c(0， 4)得点 e(1，4) ，在 rtadt和 rttec中，由 tatc得222231(4)hh，解得1h，点 t 的坐标为 (1，1). （3）解：（）当02t时， amp aoc ，pmamamco4pm2coaoao2tt，aq6t。2211spm aq2 (6)6(3)922ttttt当3t时， s随t的增加而增加，当2t时， s的最大值为8。（）当23t时，作 pf y轴于 f，有cob cfp ，又 co ob ，fp fc2t，33pm4(2)6aq4(2)122tttt，2211333825spm aq(6)(1

11、)43()2224433ttttt当83t时， s的最大值为253。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 46 页 - - - - - - - - -综上所述， s的最大值为253。【考点】二次函数综合题，抛物线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将a、b 点的坐标代入2

12、4yaxbx，即可求出,ab，从而求出抛物线的解析式。（2）由点 t在抛物线对称轴上和勾股定理可求出点t 的坐标。（3）根据02t和23t两种情况，求出s关于 t 的函数关系式和最值。4. （广西贺州10 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于 a、b两点（ a在 b的左侧），与y轴交于点 c (0 ，4)，顶点为（ 1，92） （1）求抛物线的函数表达式；（2）设抛物线的对称轴与轴交于点d，试在对称轴上找出点p ，使 cdp为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点p的坐标（3）若点 e是线段 ab上的一个动点（与a、b不重合），分别连接ac 、bc ，过点 e作 ef ac 交线段

13、bc于点 f，连接 ce ，记cef的面积为s，s是否存在最大值？若存在，求出s的最大值及此时e点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解： （1）抛物线的顶点为（1，92）设抛物线的函数关系式为2912ya x，抛物线与y轴交于点c (0 ， 4) ，290142a，解得12a。所求抛物线的函数关系式为219122yx。（2）p1 (1 ，17) ，p2 (1 ，17) ， p3 (1 ，8) ，p4 (1 ，178) 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d

14、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 46 页 - - - - - - - - -（3）令2191022x，解得x1 2，x24 抛物线219122yx与x轴的交点为a ( 2，0) c (4，0) 。过点 f 作 fm ob于点 m ，fm co ， bfd bco ，mfbfocbc。又ef ac ， bef bac ，bebfbabc。mfbeocba。又oc 4， ba 6，oc2mfbe=beba3。设 e点坐标为 (x，0)，则 eb 4x， mf 23 (4 x) ssbce sbef 12eb oc 12eb mf 12 eb(ocmf)

15、 12 (4 x) 13x223x8313( x1) 2 3 a13 0，s 有最大值。当x1 时， s最大值 3 。此时点 e的坐标为 (1 ，0) 。【考点】 二次函数综合题， 待定系数法， 点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理， 解一元二次方程，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点（1，92） ，用待定系数法可求抛物线的函数表达式（顶点式）。（2）若 cd为腰， cd dp ，由点 c (0 ，4)，d（1，0） ，得 cd 221417，得 p1 (1 ，17) ，p2 (1

16、，17) 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 46 页 - - - - - - - - -若 cd为腰， cd cp ，由点 c (0 ，4) 得 p3 (1 ，8)。若 cd为底， cp dp ，设点 p的坐标为（ 1，k）由点 c (0 ，4) ，d（1，0）得k2214k，解得k178。得 p4 (1 ，178) 。综上所述，满足条件的所有点p的坐标为p1 (1 ，17)

17、，p2 (1 ，17) ， p3 (1 ，8)， p4 (1，178) 。（3）过点 f作 fm ob ，可由bfd bco 和bef bac 求得2mf=be3。设 e点坐标为(x，0) 后，将有关线段用x表示，求出s关于x的二次函数，从而求出最大值。5. （广西来宾12 分）如图，半径为1 的m经过直角坐标系的原点o，且分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点a、b，oma=60 ， 过点 b的切线交x轴负半轴于点c， 抛物线过点a、b、c（1）求点 a、b的坐标；（2）求抛物线的函数关系式；（3）若点 d为抛物线对称轴上的一个动点，问是否存在这样的点 d ，使得 bcd是等腰三角形？若存在，求

18、出符合条件的点d的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解： (1) m 为半径1，ab 2。oma 60， oam 60。 oa=1 ，ob 3。a (1 ， 0) ，b (0 ，3) 。（2）bc 是m 的切线， cba 90。oam 60， ac 4。oc=3 。c( 3，0)。设抛物线的解析式为2yaxbxc，把 a (1 ，0) ，b (0 ，3) ，c ( 3， 0) 代入得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

19、 - - - - - 第 8 页，共 46 页 - - - - - - - - -03930ab ccab c ，解得332333abc抛物线的解析式为232 3333yxx。 (3) 存在。2232 334 3313333yxxx抛物线的对称轴为x 1。设对称轴与x轴交于点g。分三种情况讨论：情况 1： bc为底边，作 bc 的垂直平分线交抛物线于e，交对称轴于点d3，易求 ab 的解析式为33yx。d3e 是 bc 的垂直平分线， d3e ab 。设 d3e 的解析式为3yxb，d3e 交x轴于（ 1，0） ，代入解析式得3bd3e 的解析式为33yx。把x 1 代入，得y0。d3 ( 1

20、，0)。情况 2： bc为腰， bc=bd ，过 b 做 bh x轴，则 bh 1，d1b=cb=22332 3。在 rtd1hb 中，由勾股定理得d1h 222 3111。又gh=3，d1 （ 1，113） 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 46 页 - - - - - - - - -根据对称性（关于dh对称），可得 d4 ( 1, 113)。情况 3： bc为腰， bc=d

21、c ，在 rtd2cg中， gc=2 ，d2c=bc=23，由勾股定理得d2g 222 3222。d2 （ 1，2 2） 。根据对称性（关于cg对称），可得 d5( 1, 2 2) 。综上所述，使得 bcd 是等腰三角形的点的坐标为：d1 （ 1，113）, d2 （ 1，22）, d3 ( 1，0)， d5（ 1，2 2） 。【考点】二次函数综合题，圆切线的性质，含300 角的直角三角形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解多元方程组，抛物线的对称轴，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理。【分析】（1）由题意可直接得出点a、 b的坐标为a（1，0） ，b（0，3） 。

22、（2）根据 bc是切线，可求出ac的长，即得出点c的坐标，由待定系数法求出抛物线的解析式。（3）先假设存在，分三种情况讨论即可。6. （广西崇左14 分）已知抛物线y=x2+4x+m（ m为常数）经过点（0,4 ）. 求 m的值；将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线. 已知平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2 ）与平移前的抛物线的对称轴（设为直线l1 ）关于 y 轴对称；它所对应的函数的最小值为-8. 试求平移后的抛物线的解析式；试问在平移后的抛物线上是否存在点p，使得以 3 为半径的圆p既与 x 轴相切，又与直线l2 相交？若存在，请求出点p的坐标，并求出直线l2

23、 被圆 p所截得的弦ab的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】解： （1）将（ 0。 4）代入24myxx得 m 4。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 46 页 - - - - - - - - -（2）2244=2yxxx，平移前对称轴l1 为x 2。又平移前、后的抛物线的对称轴关于y轴对称，平移后对称轴l2 为x= 2 。又平移后最小值为8，平移后的抛物线的解析式为228

24、yx。圆 p与x轴相切，设p的坐标为（x0，3） ，则y 3，x025或y3，x0211。又圆 p与直线 l2 相交，点p到x2 的距离小于3，故x0211舍去。存在这样的点p，使得以3 为半径的圆p既与x轴相切，又与直线l2 相交且点 p的坐标为（ 25， 3， ） 。直线 l2 被圆 p所截得的弦ab的长度为（ 25）（ 25） 4。【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平移的性质，直线与圆的位置关系。【分析】（1）将（ 0，4）代入抛物线，得：0240 m 4，解得 m 4。（2）根据（ 1）求出的抛物线，可知其对称轴，平移后的抛物线的对称轴与平移前的对称轴关于y

25、轴对称，即可求出新抛物线对称轴，再根据第二个条件，最小值为8，即可求出平移后的抛物线的关系式。分情况讨论，假设p 点存在，且p 在x轴上方，根据题意可知，p 的纵坐标是3，代入关系式求解，求出p 点坐标，在验证该点是否在直线上；若p 在x轴下方，则p 的纵坐标是3，代入关系式，求出坐标，再进行检验。最后求出弦ab的长度。7. （广西贵港12 分）如图，已知直线y12x2 与抛物线 ya (x 2) 2相交于 a、b两点，点a在 y 轴上， m为抛物线的顶点（1）请直接写出点a的坐标及该抛物线的解析式；（2）若 p为线段 ab上一个动点（ a、b两端点除外），连接 pm ， 设线段 pm的长为

26、l ，点 p的横坐标为x，请求出l2 与 x 之间的函数关系，并直接写出自变量x 的取值范围；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 46 页 - - - - - - - - -（3）在（ 2）的条件下，线段ab上是否存在点p，使以 a、m 、p为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解： （1） a的坐标是（ 0，2） ；抛物线的解析式是y

27、12(x 1) 2 。（2）如图， p为线段 ab上任意一点，连接pm ，过点 p作 pd x轴于点 d 。设 p的坐标是 (x ，12x2) ，则在 rtpdm中，pm2 dm2 pd2 ，即 l2 ( 2x)2 ( 12x2)2 54x22x8 。自变量 x 的取值范围是：5x 0 。（3）存在满足条件的点p。连接 am ，由题意得，am om2 oa2 222222。 当 pm pa时，54x22x8x2( 12x22)2 ，解得： x 4， 此时 y 12( 4) 24。点 p1(4， 4) 。 当 pm am时，54x22x8(22)2 ，解得： x185， x2 0（舍去）， 此时

28、 y 12( 85) 2145。点 p2(85，145) 。 当 paam时， x2( 12x2 2)2(22)2 ，解得： x14105， x2 4105（舍去），此时 y 12( 4105) 2210 105。点 p3(4105，210 105) 。综上所述，满足条件的点为p1(4，4)、p2(85，145) 、p3(4105，210 105) 。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）点 a是直线 y12x2 与 y 的交点，令 x 0，得 y 2，即点 a 的坐标是（ 0，2） 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

29、- - - - - 第 12 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 46 页 - - - - - - - - -又点 a在抛物线ya (x 2) 2上，把点a的坐标代入，得a12。抛物线的解析式为y12(x 1) 2 。（2）根据勾股定理即可列出等式，求得l2 与 x 之间的函数关系。联立 y12x2 与 y12(x 1) 2可求点 b的横坐标 x 5，从而得到自变量x 的取值范围 5x0 。（3）根据等腰三角形的判定，分pm pa，pm am ，paam三种情况讨论即可。8

30、. （广西河池12 分）已知直线l经过 a(6，0) 和 b(0，12) 两点，且与直线yx交于点 c(1) 求直线l的解析式；(2) 若点 p(x， 0)在线段 oa上运动，过点p作直线l的平行线交直线yx于点 d，求 pcd的面积 s与x的函数关系式s有最大值吗？若有，求出当s最大时x的值；13x223x8313( x1) 2 3 a13 0，s 有最大值。当x1 时， s最大值 3 。此时点 e的坐标为 (1 ，0) 。【考点】二次函数综合题，待定系数法，点的坐标与方程的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。【分

31、析】（1）根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，由抛物线的顶点（1，92） ，用待定系数法可求抛物线的函数表达式（顶点式）。（2） 若 cd为腰，cd dp， 由点 c (0 ， 4) ， d （1， 0） ， 得 cd 221417，得 p1 (1 ，17) ，p2 (1 ，17) 。若 cd为腰， cd cp ，由点 c (0 ，4) 得 p3 (1 ，8)。若 cd为底， cp dp ，设点 p的坐标为（ 1，k）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p

32、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 46 页 - - - - - - - - -由点 c (0 ，4) ， d（1，0）得k2214k，解得k178。得 p4 (1 ，178) 。综上所述，满足条件的所有点p的坐标为p1 (1 ，17) ，p2 (1 ，17) ， p3 (1 ，8) ，p4 (1 ，178) 。（3）过点 f作 fm ob ，可由bfd bco 和bef bac 求得2mf=be3。设 e点坐标为(x，0) 后，将有关线段用x表示，求出s关于x的二次函数，从而求出最大值。12.（广西梧州12 分）如图， 在直角梯形abcd 中，

33、 ad bc ，b90， ad 6cm ，ab 8cm，bc 14cm.动点 p、q都从点 c出发，点p沿 cb 方向做匀速运动，点q沿 cda方向做匀速运动，当p、q其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动（1）求 cd的长；（2）若点 p以 1cm/s 速度运动，点q以 22cm/s 的速度运动，连接bq 、pq ，设 bqp面积为 s（cm2） ，点 p、q运动的时间为t （s） ，求 s与 t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）若点 p的速度仍是1cm/s，点 q的速度为acm/s，要使在运动过程中出现pq dc ，请你直接写出a的取值范围【答案】解： （1）过 d点作 dh

34、bc ，垂足为点h，则有 dh ab 8cm，bh ad 6cm。ch bc bh 1468cm。在 rtdch中， cd dh2+ch2 82cm（2）当点 p、q运动的时间为t（s） ，则 pc t 。当 q在 cd上时，过 q点作 qg bc ，垂足为点g，则由点 q 的速度为22cm/s ，得 qc 22t 。又dh hc ，dh bc ， c45。在 rtqcg 中， qg qc sin c 22t sin45 2t 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可

35、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 46 页 - - - - - - - - -又bp bc pc 14t ，sbpq 12bp qg 12（14t ）2t 14t t2 。当 q运动到 d点时所需要的时间t cd2282224。s 14t t2 （0t 4） 当 q在 da上时，过 q点作 qg bc ，垂足为点g，则 qg ab 8cm，bp bcpc 14t 。sbpq12bp qg 12（14t ）8 564t 。当 q运动到 a点时所需要的时间t cd+ad2282+6224322。s 564t （4t 4+322） 。综合上述，

36、所求的函数关系式是：s214tt 0t43 2564t4t4+2（ ）（ ）。（3）要使运动过程中出现pq dc ，a的取值范围是a1432。【考点】 动点问题， 直角梯形和矩形的性质，勾股定理， 锐角三角函数， 平行四边形的判定，解不等式组。【分析】（1）根据直角梯形的性质，可作辅助线：过d 点作 dh bc ，得直角三角形，应用勾股定理即可求得cd的长。（2）分 q在 cd和 q在 da上两种情况讨论即可。（3）要使运动过程中出现pq dc ，根据对边平行且相等的四边形是平行四边形判定，只要qd pc即可。由已知qd at 82，pct ，即at 82 t ，解得 t 8 21a。又由当

37、q在 da上时，82682taa。所以8 2821aa对于01a a不成立；对于1a，得1a，解得a1432。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 46 页 - - - - - - - - -a的取值范围是a1432。13.（ 广 西 玉 林 、 防 城 港12分 ） 已 知 抛 物 线223 (0)yaxaxaa与x轴交于 a、b 两点（点a 在点b的左侧），与 y 轴交于点c

38、，点 d为抛物线的顶点（1）求 a 、b的坐标；（2）过点 d作 dh丄y轴于点 h，若 dh=hc ，求 a 的值和直线cd的解析式；（3）在第（ 2）小题的条件下，直线cd与x轴交于点 e，过线段ob的中点 n作 nf丄x轴，并交直线cd于点 f，则直线 nf上是否存在点m ， 使得点 m到直线 cd的距离等于点m到原点o的距离？若存在，求出点m的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解： （1）由y0 得，2230axaxa，a0，223 0 xx，解得x1 1，x2 3，点 a的坐标（ 1，0） ，点 b的坐标（ 3，0） 。（2）由223yaxaxa，令x0，得y 3a，c（ 0， 3a

39、） 。又2223 =14yaxaxaa xa，得 d（1， 4a） 。dh 1，ch 4a（ 3a）a，a1，a 1。c（ 0，3） ，d（1，4） 。设直线 cd的解析式为ykxb，把 c、 d两点的坐标代入得，34bkb，解得13kb。直线cd的解析式为3yx。（3）存在。由（2）得， e（ 3， 0） ，n（32， 0） 。f（32，92） ，en 92。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

40、 第 16 页，共 46 页 - - - - - - - - -作 mq cd于 q ，设存在满足条件的点m （32，m ） ，则 fm 92m ，ef 22999 2222，mq om 29m4。由题意得， rtfqm rtfne ，mqfmenef，即299mm4299 222，整理得 4m2 36m 630，解得 m132，m2 212，点 m的坐标为m1 （32，32） ，m2 （32，212） 。【考点】二次函数综合题，点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，待定系数法，点到直线距离的定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）令y0 求得x的值，从而得出点a

41、、b的坐标。（2）令x 0，则y 3a，求得点 c、d的坐标，设直线cd的解析式为ykxb，把 c、d两点的坐标代入，求出直线cd的解析式。（3）设存在，作mq cd于 q，由 rtfqm rtfne ，得mqfmenef，即可得出关于m的一元二次方程，求出方程的解，即可得出点m的坐标。14. （山东日照10 分）如图，抛物线20yaxbx a与双曲线kyx相交于点 a，b已知点 b的坐标为（ 2，2） ，点 a在第一象限内，且tan aox4过点 a作直线 ac x轴，交抛物线于另一点c精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共

42、46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 46 页 - - - - - - - - -（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算 abc 的面积；（3）在抛物线上是否存在点d，使 abd的面积等于 abc 的面积若存在，请你写出点d的坐标；若不存在，请你说明理由【答案】解： （1）把点 b（ 2， 2）的坐标代入kyx得，22k，k 4。双曲线的解析式为：4yx。设 a点的坐标为（m ，n） a点在双曲线上， mn 4。又tan aox 4，mn4，即 m 4n。n2 1，n1。a 点在

43、第一象限， n 1，m 4。a点的坐标为（ 1，4） 。把 a、b点的坐标代入2yaxbx得，4422abab，解得，a1，b3。抛物线的解析式为：23yxx。（2）ac x轴，点c的纵坐标 y4，代入23yxx得方程，2340 xx，解得x1 4，x21 （舍去）。c 点的坐标为（4，4） ，且 ac 5。又 abc的高为 6， abc的面积1256 15。（3）存在 d点使 abd的面积等于 abc 的面积。理由如下：过点 c作 cd ab交抛物线于另一点d，此时 abd的面积等于 abc 的面积（同底： ab ，等高： cd和 ab的距离）。直线 ab相应的一次函数是：22yx，且 cd

44、 ab ，可设直线cd解析式为2yxp，把 c点的坐标（4，4）代入可得，12p。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 46 页 - - - - - - - - -直线 cd相应的一次函数是：212yx。解方程组23212yxxyx，解得，318xy。点 d的坐标为（ 3，18） 。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元方程组和一元一次方程，待定系数法，锐角三

45、角函数，平行的性质，同底等高三角形的性质。【分析】（1）根据已知条件可以推出a点的坐标，把a、b两点的坐标代入抛物线解析式和双曲线解析式，即可得出a、b、k的值，即可确定双曲线和抛物线的解析式。（2）根据 a、b抛物线解析式，可以确定c点的坐标，即可求ac和 ac边上的高的长度，即可计算出 abc 的面积。（3）根据题意， 要使 abd的面积等于 abc 面积， 只要它们同底等高。由于它们都有同一底 ab ，故根据平行的性质，只要作cd ab ， cd与抛物线的交点d 即为所求。根据a、b 两点坐标求出直线ab相应的一次函数结合c点的坐标， 得出直线cd相应的一次函数， 然后结合 d点也在抛物

46、线上，解方程组，求得d点坐标即可。15. （山东滨州12 分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分， 抛物线的顶点o落在水平面上， 对称轴是水平线oc 点 a、b在抛物线造型上，且点a到水平面的距离ac 4 米，点 b到水平面距离为 2 米， oc 8 米（1）请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）为了安全美观，现需在水平线oc上找一点p，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱pa 、pb对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点p ？（无需证明）（3）为了施工方便，现需计算出点o、p之间

47、的距离，那么两根支柱用料最省时点o 、 p之间的距离是多少？（请写出求解过程）【答案】解： （1）以点 o为原点、射线oc为 y 轴的正半轴建立直角坐标系，设抛物线的函数解析式为2yax。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 46 页 - - - - - - - - -由题意知点a的坐标为（ 4，8） ，点 a在抛物线上，284a。解得12a。所求抛物线的函数解析式为：212yx

48、。（2）找法： 延长 ac ，交建筑物造型所在抛物线于点d，则点 a、d关于 oc对称。连接 bd交 oc于点 p ，则点 p即为所求。（3）由题意知点b的横坐标为2，点 b在抛物线上，点b的坐标为（ 2，2） 。又点 a的坐标为（ 4，8） ，点 d的坐标为（ 4，8） 。设直线 bd的函数解析式为=y kxb，则有2548kbkb，解得14kb。直线 bd的函数解析式为=4yx。把x 0代入=4yx，得点 p的坐标为（ 0，4） 。两根支柱用料最省时，点o、p之间的距离是4 米。【考点】二次函数的应用，点的坐标与方程的关系，三角形两边之和大于第三边，待定系数法。【分析】（1）以点 o为原点

49、、射线oc为 y 轴的正半轴建立直角坐标系，可设抛物线的函数解析式为2yax，又由点a在抛物线上，即可求得此抛物线的函数解析式。（2）延长 ac ，交建筑物造型所在抛物线于点d，连接 bd交 oc于点 p，则点 p即为所求。因为对于oc上其它任何一点，它与点 d，b所连线段之和都大于bd 。所以 bd dffb最短，由于 dfaf ，从而得到af+bf最短。（3）首先根据题意求得点b与 d的坐标， 设直线 bd的函数解析式为=y kxb，利用待定系数法即可求得直线bd的函数解析式，把x0 代入=4yx，即可求得点p的坐标。16. （山东德州12 分）在直角坐标系xoy中，已知点p是反比例函数2

50、 3=yx（x0）图象上一个动点，以p为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 46 页 - - - - - - - - -（1）如图1，p 运动到与x轴相切，设切点为k，试判断四边形okpa的形状，并说明理由（2）如图 2，p 运动到与x轴相交，设交点为b，c当四边形abcp是菱形时：求出点a，b， c的坐标在过 a，b ，c三点的抛物线上是否存

51、在点m ，使mbp的面积是菱形abcp面积的12若存在，试求出所有满足条件的m点的坐标，若不存在，试说明理由【答案】解： （1）四边形okpa 是正方形。理由如下：p 分别与两坐标轴相切， pa oa ，pk ok 。pao= okp=90 。又 aok=90 ， pao= okp= aok=90 。四边形okpa 是矩形。又oa=ok，四边形okpa是正方形。（2）连接pb ，设点 p的横坐标为x，则其纵坐标为2 3x。过点 p作 pg bc于 g。四边形abcp为菱形， bc=pa=pb=pc。pbc为等边三角形。在 rtpbg中， pbg=60 ， pb=pa=x，pg=2 3x。sin

52、 pbg=pgpb，即2 332xx解之得：x=2（负值舍去） 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 46 页 - - - - - - - - -pg=3，pa=bc=2 。易知四边形ogpa 是矩形， pa=og=2 ，bg=cg=1 ，ob=og bg=1 ，oc=og+gc=3。a（ 0，3） ，b（1，0） c（3，0） 。设二次函数解析式为：2yaxbxc。据题意得：

53、0 903abcabcc解之得：343333abc，。二次函数关系式为：234 3333yxx设直线bp的解析式为：ykxb，据题意得：0 23kbkb解之得：3,3kb。直线 bp的解析式为：33yx。过点 a作直线 am pb ，则可得直线am的解析式为：33yx。解方程组：233 34 3333yxyxx得1212=0 =7 38 3xxyy，过点 c作直线 cm pb ，则可得直线cm 的解析式为：33 3yx。解方程组：233 3 34 3333yxyxx得2112=4 =3 03xxyy，综上可知，满足条件的m的坐标有四个： （0，3） ， （7，83） ， （3， 0） ， （4

54、，3） 。【考点】二次函数综合题，正方形的判定，菱形的性质，锐角三角函数，选待定系数法，点的坐标与方程的关系，平行的性质。【分析】（1）四边形okpa是正方形当p分别与两坐标轴相切时，pa y 轴，pk x 轴，x 轴y轴，且 pa=pk ，可判断结论。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 46 页 - - - - - - - - -（2）连接pb ，设点 p（x，2 3x） ，

55、过点 p作 pg bc 于 g，则半径pb=pc ，由菱形的性质得 pc=bc ，可知 pbc为等边三角形，在rtpbg中， pbg=60 ， pb=pa=x，pg=2 3x，利用 sin pbg=pgpb，列方程求x即可。求直线pb的解析式，利用过a点或 c点且平行于pb的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的m点坐标即可。17. （山东烟台14 分）如图，在直角坐标系中，梯形abcd的底边 ab在x轴上，底边cd的端点 d在 y 轴上 . 直线 cb的表达式为y=43x+163，点 a 、 d的坐标分别为（4，0） ， （0，4）. 动点 p自 a点出发， 在 ab上匀速运行

56、. 动点 q自点 b出发，在折线bcd上匀速运行，速度均为每秒1 个单位 . 当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动. 设点 p运动 t （秒）时， opq的面积为s（不能构成 opq的动点除外）. （1）求出点b、 c的坐标；（2）求 s 随 t 变化的函数关系式；（3）当 t 为何值时s 有最大值？并求出最大值. 【答案】解： （1）把y4 代入y43x163 ，得x1。c 点的坐标为（ 1，4） 。当y 0时，43x163 0，x 4。点 b坐标为（ 4，0） 。（2）作 cm ab于 m ，则 cm 4，bm 3。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - -

57、- - - - - 第 23 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 46 页 - - - - - - - - -bc 22cmbm2234 5。sin abc cmbc45。当 0t 4 时，作 qn ob于 n，则 qn bq sin abc 45t 。s12op qn 12（4t ）45t 25t2 85t （0 t 4） 。当 4t 5 时， （如备用图1） ，连接 qo ，qp ，作 qn ob于 n。同理可得qn 45t。s12 op qn 12 （ t 4）45

58、t 25t2 85t （ 4t 5） 。当 5t 6 时， （如备用图2） ，连接 qo ，qp 。s12op od 12（t 4）4 2t 8（5t 6） 。综上所述， s 随 t 变化的函数关系式为s 2228tt0t45528tt4t5852t85t6（ ）（ ） （ ）。（3）在 0t 4 时，对于抛物线s 25t2 85t ，250，有最大值。当 t 8522()52 时， s最大28( )524()585。在 4t 5 时，对于抛物线s 25t2 85t ，当 t 852252 时， s最小252285285。抛物线s25t2 85t 的顶点为（ 2，85） 。精品学习资料 可选择

59、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 46 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 46 页 - - - - - - - - -在 4t 5 时， s随 t 的增大而增大. 当 t 5时， s最大25 5285 5 2。在 5t 6 时，对于直线s2t 8，2 0，s 随 t 的增大而增大。当 t 6时， s最大 26 84。综上所述，当t 6 时， s取得最大值，最大值是4. 【考点】一、二次函数的综合应用，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定

60、理，锐角三角函数，一、二次函数的性质。分析】 （1）点 b 、c 的横、纵坐标分别已知，将其代入直线cb的表达式y=43x+163 ，可求出点 b、c的坐标。（2）根据三角形面积公式列函数关系式，注意需分三种情况讨论。（3）按（ 2）中的三种情况，结合所列函数的性质分别求出最大值，最后加以综合，得出结论18. （山东东营12 分）如图所示，四边形oabc 是矩形点a、c的坐标分别为(3 0，) ，(0 ，1)，点 d 是线段 bc上的动点 (与端点b、c 不重含 ) ，过点 d 作直线12yxb交折线 oab于点 e。 (1) 记ode的面积为s求 s与 b 的函数关系式： (2) 当点 e在