2022年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何含答案

1、全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何一、选择题1 （ 2013 年高考新课标1 （理） ）如图 , 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm,将一个球放在容器口, 再向容器内注水, 当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度 , 则球的体积为（）a35003cmb38663cmc313723cmd320483cm【答案】a 2 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版） ）设,m n是两条不同的直线 ,是两个不同的平面, 下列命题中正确的是（）a若,m,n, 则mnb若/,m,n, 则/mnc若mn,m,n, 则d若m,/mn,/n

2、, 则【答案】d 3 （2013年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）若两个球的表面积之比为1: 4, 则这两个球的体积之比为（）a1: 2b1: 4c1: 8d1:16【答案】c 4 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对） ）已知正四棱柱1111abcdabc d中12aaab, 则cd与平面1bdc所成角的正弦值等于（）a23b33c23d13【答案】a 5 （2013 年高考新课标1（理）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 40 页 -

3、 - - - - - - - -（）a168b88c1616d816【答案】a 6 （2013年高考湖北卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示, 该几何体从上到下由四个简单几何体组成, 其体积分别记为1v,2v,3v,4v, 上面两个简单几何体均为旋转体, 下面两个简单几何体均为多面体, 则有（）a1243vvvvb1324vvvvc213vvv【答案】c 7 （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为1 的正方体的俯视图是一个面积为1 的正方形 ,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）a1b2c2-12d2+12【答案】c 8 （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯w

4、ord版） ）某四棱台的三精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - -视图如图所示 , 则该四棱台的体积是（）a4b143c163d6【答案】b 9 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 word版含答案） ）已知nm,为异面直线 ,m平面,n平面. 直线l满足,lm ln ll, 则（）a/, 且/lb, 且lc与相交 , 且交线垂直于ld与相交 , 且交线平行于l【答案】d 10 （ 2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）已知三棱柱111

5、abca bc的侧棱与底面垂直, 体积为94, 底面是边长为3的正三角形. 若p为底面111abc的中心 ,则pa与平面abc所成角的大小为（）a512b3c4d6【答案】b 11 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）某几何体的三视图如题5图所示 , 则该几何体的体积为（）a5603b5803c200d24012211正视图俯视图侧视图第 5 题图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】c 12 （ 2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试

6、题（word版）已知三棱柱111abca bc的6个顶点都在球o的球面上,若34abac，,abac,112aa, 则球o的半径为（）a3 172b2 10c132d3 10【答案】c 13 （2013年高考江西卷（理）如图 , 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上, 且abcd,正方体的六个面所在的平面与直线ce,ef相交的平面个数分别记为,m n, 那么mn（）a8 b9 c10 d11【答案】a 14 （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 word 版含答案） ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系o xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,

7、1),(0,0,0), 画该四面体三视图中的正视图时, 以zox平面为投影面, 则得到正视图可以为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - -（）abcd【答案】a 15 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 word版） ）在下列命题中 ,不是公理的是（）a平行于同一个平面的两个平面相互平行b过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面c如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在此平面内d如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过

8、该点的公共直线【答案】a 16 （2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版） ）在空间中 , 过点a作平面的垂线 , 垂足为b, 记)(afb. 设,是两个不同的平面, 对空间任意一点p,)(),(21pffqpffq, 恒有21pqpq, 则（）a平面与平面垂直b平面与平面所成的 ( 锐) 二面角为045c平面与平面平行d平面与平面所成的 ( 锐) 二面角为060【答案】a 17 （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是【答案】d 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

9、第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - -二、填空题18 （ 2013年高考上海卷（理）在xoy平面上 , 将两个半圆弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为d,如图中阴影部分 . 记 d 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为, 过(0,)(| 1)yy作的水平截面 , 所得截面面积为2418y, 试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体, 得出的体积值为 _ 【答案】2216. 19 （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 _3_. 1121【答案】320 （2013年普通高等学校招生统一考试

10、大纲版数学（理）word版含答案（已校对） ）已知圆o和圆k是球o的大圆和小圆, 其公共弦长等于球o的半径 ,32ok, 且圆o与圆k所在的平面所成的一个二面角为60, 则球o的表面积等于_.【答案】1621 （2013 年高考北京卷（理） ）如图 , 在棱长为2 的正方体abcd-a1b1c1d1中,e为bc的中点 ,点p在线段d1e上, 点p到直线cc1的距离的最小值为_. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】2 5522 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏

11、卷（数学）（已校对纯word版含附加题） ）如图 , 在三棱柱abccba111中,fed，分别是1aaacab，的中点 ,设三棱 锥a d ef的 体 积 为1v, 三 棱 柱abccba111的 体 积 为2v,则21:vv_. 【答案】1: 2423 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word版） ）若某几何体的三视图 ( 单位 :cm) 如图所示 , 则此几何体的体积等于_2cm. 【答案】24 24 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯word版） ）如图 , 正方体43233正视图侧视图俯视图（第 12 题图）abcadefbc1d

12、1bpd1cceba1a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - -1111abcdabc d的棱长为1,p 为 bc的中点 ,q 为线段1cc上的动点 , 过点 a,p,q 的平面截该正方体所得的截面记为s.则下列命题正确的是 _ _(写出所有正确命题的编号 ). 当102cq时,s 为四边形; 当12cq时,s 为等腰梯形; 当34cq时,s 与11c d的交点 r满足1113c r; 当314cq时,s 为六边形; 当1cq时,s 的面积为62.【答案】25 （2013 年普通高等学校

13、招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版） ）某几何体的三视图如图所示 , 则该几何体的体积是_. 【答案】161626 （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版） ）已知某一多面体内接于一个简单组合体, 如果该组合体的正视图. 测试图 . 俯视图均如图所示, 且图中的四边形是边长为2 的正方形 , 则该球的表面积是_ 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】1227 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）在如图所示的正方体1111ab

14、cdabc d中,异面直线1ab与1bc所成角的大小为_ 【答案】3三、解答题28 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（word版） ）如图 ,ab 是圆的直径 ,pa 垂直圆所在的平面,c 是圆上的点 . (i) 求证 :pacpbc平面平面；(ii)2.abacpacpba若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】d1c1b1a1dcab精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 40 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

15、 10 页，共 40 页 - - - - - - - - -29（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题 （含答案）如图 , 四棱锥pabcd中 ,paabcd底面,2,4,3bccdacacbacd,f为pc的中点,afpb. (1) 求pa的长 ; (2)求二面角bafd的正弦值 . 【答案】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - -1 （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯word 版） ）如图 , 圆锥顶点精品学习资料 可选择p d f -

16、 - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - -为p. 底面圆心为o, 其母线与底面所成的角为22.5 .ab和cd是底面圆o上的两条平行的弦 , 轴op与平面pcd所成的角为60 . ( ) 证明 : 平面pab与平面pcd的交线平行于底面 ; () 求coscod. 【答案】解: ( ) pabp d,/ / /cmabcdcdpcdabpcd设面面直线且面面/ /abm直线abcdmabcdab面直线面/. 所以 ,abcddppab的公共交线平行底面与面面c. ( ) rpoopffcdr5 .22tan.60,由题知

17、，则的中点为线段设底面半径为. 5.22tan15 .22tan245tan,2cos5.22tan60tan60tan,2codrofpoof. )223(3),1-2(321cos, 1-25.22tan12cos2cos22codcodcod212-17cos.212-17coscodcod所以. 法二 : 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - -1 （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯word 版） ）如图 , 在四面体bcda中,ad平面bcd,22,

18、 2,bdadcdbc.m是ad的中点 ,p是bm的中点 ,点q在线段ac上 , 且qcaq3. (1) 证明 :/pq平面bcd;(2)若二面角dbmc的大小为060, 求bdc的大小. 【答案】解 : 证明( ) 方法一: 如图6, 取md的中点f, 且m是ad中点 , 所以3affd. 因 为p是bm中 点 , 所 以/ /pfbd; 又 因 为 ( )3aqqc且abcdpqm（第 20 题图）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - -3affd, 所 以/ /qfbd, 所 以

19、 面/ /pqf面bdc, 且pq面bdc, 所 以/ /pq面bdc; 方法二 : 如图 7 所示 , 取bd中点o, 且p是bm中点 , 所以1/ /2pomd; 取cd的三等分 点h, 使3dhch, 且3aqqc, 所 以11/ / /42qhadmd, 所 以/ / /p oq hp qo h, 且ohbcd, 所以/ /pq面bdc; ( ) 如图8 所示 , 由已知得到面adb面bdc, 过c作cgbd于g, 所以cgbmd, 过g作ghbm于h, 连接ch, 所以chg就是cbmd的二面角 ; 由已知得到813bm, 设bdc,所以cos,sin2 2cos,2 2 cossi

20、n,2 2 sin,cdcgcbcdcgbcbdcdbd, 在rtbcg中 ,2sin2 2 sinbgbcgbgbc, 所以在rtbhg中, 2212 2sin332 2sinhghg, 所以在rtchg中精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - -22 2cossintantan6032 2sin3cgchghgtan3(0,90 )6060bdc; 2 （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案 )）如图 , 在正三棱锥111abcabc中,16aa,异面直线1bc与1aa所成角的

21、大小为6, 求该三棱柱的体积. 【答案】 解因为1cc1aa. 所以1bcc为异面直线1bc与1aa. 所成的角 , 即1bcc=6. 在 rt1bc c中,113tan62 33bcccbc c, 从而233 34abcsbc, 因此该三棱柱的体积为13 3 618 3abcvsaa. 3（2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯word版含附加题） ）本小题满分14 分. 如图 , 在三棱锥abcs中 , 平面sab平面sbc,bcab,abas, 过a作sbaf, 垂足为f, 点ge，分别是棱scsa，的中点 . 求证 :(1) 平面/efg平面abc; (

22、2)sabc. 【答案】证明:(1) abas,sbaff 分别是 sb的中点abcsgfeb1a1c1acb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 40 页 - - - - - - - - -e.f 分别是 sa.sb的中点ef ab又ef平面 abc, ab平面 abc ef 平面abc 同理:fg平面abc 又effg=f, ef.fg平面 abc 平面/efg平面abc( 2)平面sab平面sbc平面sab平面sbc=bc af平面 sab af sbaf 平面sbc 又bc平面 sbc af bc 又bcab, aba

23、f=a, ab.af平面sab bc 平面sab 又sa平面sab bc sa4 （2013年高考上海卷（理）如图 , 在长方体abcd-a1b1c1d1中 ,ab=2,ad=1,a1a=1,证明直线bc1平行于平面da1c,并求直线bc1到平面 d1ac的距离 . d1c1b1a1dcba【答案】因为 abcd-a1b1c1d1为长方体 , 故1111/,abc dabc d, 故 abc1d1为平行四边形 , 故11/bcad, 显然 b 不在平面d1ac上, 于是直线bc1平行于平面 da1c; 直线 bc1到平面 d1ac的距离即为点b到平面 d1ac的距离设为h考虑三棱锥abcd1的

24、体积 , 以 abc为底面 , 可得111(12)1323v而1ad c中,115,2acdcad, 故132ad cs所以 ,13123233vhh, 即直线 bc1到平面 d1ac的距离为23. 5 （2013年高考湖北卷（理） ）如图 ,ab是圆o的直径 , 点c是圆o上异于,a b的点 ,直线pc平面abc,e,f分别是pa,pc的中点 . (i) 记平面bef与平面abc的交线为l, 试判断直线l与平面pac的位置关系, 并加以证明 ; (ii)设(i) 中的直线l与圆o的另一个交点为d, 且点q满足12dqcp. 记直线pq与平面abc所成的角为, 异面直线pq与ef所成的角为,

25、二面角elc的大小为, 求证 :sinsinsin. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】解:(i)efac,acabc平面,efabc平面efabc平面又efbef平面efllpac平面(ii)连接df,用几何方法很快就可以得到求证.( 这一题用几何方法较快, 向量的方法很麻烦 , 特别是用向量不能方便的表示角的正弦. 个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 第 19 题图精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

26、- - 第 18 页，共 40 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 40 页 - - - - - - - - -6 （2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯word版） ）如图 1, 在等腰直 角 三 角 形abc中 ,90a,6bc,d e分 别 是,a ca b上 的点,2cdbe,o为bc的中点 . 将ade沿de折起 , 得到如图2 所示的四棱锥abcde, 其中3a o. ( ) 证明 :a o平面bcde; () 求二面角acdb的平面角的余弦值. 【答案】

27、( ) 在图 1 中, 易得3,3 2,2 2ocacad. c o b d e a c d o b e a图 1 图 2 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 40 页 - - - - - - - - -c d o x e a向量法图y z b 连结,od oe,在ocd中, 由余弦定理可得222cos455odoccdoc cd由翻折不变性可知2 2a d, 所以222a ooda d, 所以a ood, 理可证a ooe, 又odoeo, 所以a o平面bcde. ( ) 传统法 : 过o作ohcd交cd的延长线于h,

28、连结a h, 因为a o平面bcde, 所以a hcd, 所以a ho为二面角acdb的平面角 . 结合图 1 可知 ,h为ac中点 , 故3 22oh, 从而22302a hohoa所以15cos5oha hoa h,所以二面角acdb的平面角的余弦值为155. 向量法 : 以o点为原点 , 建立空间直角坐标系oxyz如图所示 , 则0,0,3a,0, 3,0c,1, 2,0d所以0,3,3ca,1,2,3da设, ,nx y z为平面a cd的法向量 ,则00n can da, 即330230yzxyz, 解得3yxzx, 令1x, 得1, 1, 3n由( ) 知 ,0,0,3oa为平面c

29、db的一个法向量 , 所以315cos,535n oan oan oa, 即二面角acdb的平面角的余弦值为155. c d o b e ah 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 40 页 - - - - - - - - -7 （ 2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案）如图 , 四棱柱abcd-a1b1c1d1中, 侧棱a1a底面abcd, ab/dc, abad, ad = cd = 1, aa1 = ab = 2, e为棱aa1的中点 . ( ) 证明b1c1ce; ( ) 求二面角b1-ce-c

30、1的正弦值 . ( ) 设点m在线段c1e上, 且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为26, 求线段am的长 . 【答案】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 40 页 - - - - - - - - -8 （2013 年高考新课标1（理） ）如图 , 三棱柱 abc-a1b1c1中,ca=cb,ab=a a1, ba a1=60.( ) 证明 aba1c; ( ) 若平面abc 平面 aa1b1b,ab=cb=2,求直线 a1c 与平面 bb1c1c所成角的正弦值. 精品学习资料 可选择p d f - - - - -

31、- - - - - - - - - 第 23 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】( ) 取 ab中点 e,连结 ce,1a b,1a e, ab=1aa,1baa=060, 1baa是正三角形 , 1ae ab, ca=cb, ce ab, 1ceae=e, ab面1cea, ab 1ac; ( ) 由( ) 知 ec ab,1ea ab,又面 abc 面11abba, 面 abc 面11abb a=ab, ec面11abb a, ec1ea, ea,ec,1ea两两相互垂直, 以 e 为坐标原点 ,ea的方向为x轴正方向 ,|ea| 为单位长度 ,建立如图所示空间直

32、角坐标系oxyz, 有题设知a(1,0,0),1a(0,3,0),c(0,0,3),b(-1,0,0),则bc=(1,0,3),1bb=1aa=(-1,0,3),1ac=(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面11cbbc的法向量 , 则100bcbbnn, 即3030 xzxy, 可取n=(3,1,-1), 1cos, acn=11|acacn|n|105, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 40 页 - - - - - - - - -直线 a1c 与平面 bb1c1c所成角的正弦值为1059 （2013

33、 年高考陕西卷（理）如图 , 四棱柱abcd-a1b1c1d1的底面abcd是正方形 , o为底面中心 , a1o平面abcd, 12abaa. ( ) 证明 : a1c平面bb1d1d; ( ) 求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小 . od1b1c1dacba1【答案】解:( ) bdoaabcdbdabcdoa11,面且面; 又因为 , 在正方形ab cd中,bdcaacacaacabdaacoabdac11111,，故面且面所以；且. 在正方形 ab cd中,ao = 1 . . 111oaoaart中，在oecaoceaedb1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设.

34、 ，所以由以上三点得且，面面又oobdddbboddbbbd111111e.e,ddbbca111面.( 证毕 ) ( ) 建立直角坐标系统, 使用向量解题. 以 o为原点 , 以 oc为 x轴正方向 , 以 ob为 y轴正方向 . 则)1, 0, 1() 1 , 1 , 1(),100(),001 (,0, 1 , 0111cabacb，）（. 由( ) 知 , 平面bb1d1d的一个法向量.0, 0, 1),1 , 1 , 1(),1,0 , 1(111）（ocobcan设平面ocb1的法向量为，则0,0,2122ocnobnn).1- , 1 ,0(法向量2n为解得其中一个od1b1c1

35、dacba1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 40 页 - - - - - - - - -21221|,cos|cos212111nnnnnn. 所以 ,平面ocb1与平面bb1d1d的夹角为310 （2013年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥pa bc中,pa,abcd ebd平面为的中点,gpd为的中点，3,12dabdcb eaebabpa，, 连接ce并延长交ad于f. (1) 求证 :adcfg平面; (2) 求平面bcp与平面dcp的夹角的余弦值. 【答案】解:(1) 在abd中 , 因为e是bd的中点 ,所以

36、1eaebedab, 故,23badabeaeb, 因为dabdcb, 所以eabecb, 从而有fedfea, 故,efad affd, 又因为,pggd所以fgpa. 又pa平面abcd, 所以,gfad故ad平面cfg. (3) 以点a为坐标原点建立如图所示的坐标系,则33(0,0,0),(1,0,0),(,0),(0,3,0)22abcd, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 40 页 - - - - - - - - -(4) 3(0,0,)2p, 故1333 333(0),(,),(,0)2222222bccpcd

37、，设平面bcp的法向量111(1,)ny z, 则111130223330222yyz , 解得113323yz, 即132(1,)33n. 设平面dcp的法向量222(1,)nyz, 则222330223330222yyz, 解得2232yz, 即2(1, 3,2)n. 从 而 平 面b c p与 平 面d c p的 夹 角 的 余 弦 值 为1212423cos41689n nn n. 11 （ 2013年 高 考 四 川 卷 （ 理 ） ）如 图 , 在 三 棱 柱11abcabc中 , 侧 棱1aa底 面abc,12abacaa,120bac,1,d d分别是线段11,bc b c的中

38、点 ,p是线段ad的中点 . ( ) 在平面abc内 , 试作出过点p与平面1abc平行的直线l, 说明理由 , 并证明直线l平面11add a; ( ) 设( ) 中的直线l交ab于点m, 交ac于点n, 求二面角1aamn的余弦值. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 40 页 - - - - - - - - -d1dcba1b1c1ap【答案】解:如图 , 在平面abc内, 过点p做直线l/bc, 因为l在平面1abc外, bc在平面1abc内 , 由直线与平面平行的判定定理可知, l/ 平面1abc. 由已知 ,ab

39、ac,d是bc的中点 , 所以 ,bcad, 则直线lad. 因为1aa平面abc, 所以1aa直线l. 又因为1,ad aa在平面11add a内 , 且ad与1aa相交 , 所以直线平面11add a解法一 : 连接1ap, 过a作1aeap于e, 过e作1efam于f, 连接af. 由知,mn平面1aea, 所以平面1aea平面1amn. 所以ae平面1amn, 则1amae. 所以1am平面aef, 则1amaf. 故afe为二面角1aamn的平面角 ( 设为). 设11aa,则由12abacaa,120bac,有60bad,2,1abad. 又p为ad的中点 , 所以m为ab的中点

40、, 且1,12apam, 在1rt aap中, 152a p; 在1rt a am中, 12am. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 40 页 - - - - - - - - -从而 ,1115aaapaea p,1112aaamafa m, 所以2sin5aeaf. 所以22215cos1 sin155. 故二面角1aamn的余弦值为155解法二 : 设11aa. 如图 , 过1a作1ae平行于11bc, 以1a为坐标原点 , 分别以111,ae ad,1aa的方向为x轴,y轴,z轴的正方向 , 建立空间直角坐标系oxy

41、z( 点o与点1a重合 ). 则10,0,0a,0,0,1a. 因为p为ad的中点 , 所以,m n分别为,ab ac的中点 , 故3 13 1,1 ,12222mn, 所以13 1,122a m,10,0,1aa,3,0,0nm. 设平面1aam的一个法向量为1111,nx y z, 则1111,na mna a即11110,0,na mna a故有精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 40 页 - - - - - - - - -1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y z从而1111310,220.x

42、yzz取11x, 则13y, 所以11,3,0n. 设平面1amn的一个法向量为2222,nxy z, 则212,na mnnm即2120,0,na mnnm故有2222223 1,10,22,3,0,00,xyzxy z从而2222310,2230.xyzx取22y, 则21z, 所以20,2, 1n. 设二面角1aamn的平面角为, 又为锐角 , 则12121,3,00,2,115cos525nnnn. 故二面角1aamn的余弦值为15512 （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯word版含附加题） ）本小题满分10 分. 如图 , 在直三棱柱111a b

43、cabc中 ,acab,2acab,41aa, 点d是bc的中点(1) 求异面直线ba1与dc1所成角的余弦值(2) 求平面1adc与1aba所成二面角的正弦值. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】本题主要考察异面直线. 二面角 .空间向量等基础知识以及基本运算, 考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1) 以1,aaacab为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyza, 则)0,0 ,0(a)0,0,2(b,)0 ,2,0(c,)4,0 ,0(1a,)0, 1 , 1(

44、d,)4,2 ,0(1c)4, 0, 2(1ba,)4, 1, 1(1ba10103182018,cos111111dcbadcbadcba异面直线ba1与dc1所成角的余弦值为10103(2)0 ,2, 0(ac是平面1aba的的一个法向量设平面1adc的法向量为),(zyxm, )0 , 1 , 1 (ad,)4 ,2,0(1ac由1,acmadm0420zyyx取1z, 得2,2 xy, 平面1adc的法向量为)1 ,2, 2(m设平面1adc与1aba所成二面角为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 40 页 - -

45、- - - - - - -32324,coscosmacmacmac, 得35sin平面1adc与1aba所成二面角的正弦值为3513 （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）word版含答案（已校对） ）如图 ,四棱锥pabcd中,902,abcbadbcadpab，与pad都是等边三角形 . (i) 证明 :;pbcd (ii)求二面角apdc的大小 . 【答案】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 40 页 - - - - - - - - -14 （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含

46、答案）如图所示 , 在三棱锥pabq中 ,pb平 面abq,babpbq,d c e f分别 是,a qb qa pb p的中点 , 2aqbd,pd与eq交于点g,pc与fq交于点h,连接gh. ( ) 求证 :abgh; () 求二面角dghe的余弦值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 40 页 - - - - - - - - -【答案】解:( ) 证明 : 因为,d c e f分别是,aq bq ap bp的中点 , 所以efab,dcab, 所以efdc, 又ef平面pcd,dc平面pcd, 所以ef平面pcd

47、, 又ef平面efq, 平面efq平面pcdgh, 所以efgh, 又efab, 所以abgh. ( ) 解法一 : 在abq中, 2aqbd,addq, 所以=90abq, 即abbq, 因为pb平面abq, 所以abpb, 又bpbqb, 所以ab平面pbq, 由( ) 知abgh, 所以gh平面pbq,又fh平面pbq, 所以ghfh, 同理可得ghhc, 所以fhc为二面角dghe的平面角 ,设2babqbp,连接pc, 在trfbc中, 由勾股定理得 ,2fc, 在trpbc中, 由勾股定理得 ,5pc, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

48、 - - 第 34 页，共 40 页 - - - - - - - - -又h为pbq的重心 , 所以1533hcpc同理53fh, 在fhc中, 由余弦定理得552499cos5529fhc, 即二面角dghe的余弦值为45. 解法二 : 在abq中,2aqbd,addq, 所以90abq, 又pb平面abq, 所以,ba bq bp两两垂直 , 以b为坐标原点 , 分别以,ba bq bp所在直线为x轴,y轴 ,z轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系,设2babqbp,则(1,0,1)e,(0,0,1)f,(0,2,0)q,(1,1,0)d,(0,1,0)c(0,0, 2)p,所以(1 ,

49、2 ,eq,(0,2, 1)fq,( 1, 1,2)dp,(0, 1,2)cp, 设平面efq的一个法向量为111(,)mx y z, 由0m eq,0m fq, 得111112020 xyzyz取11y, 得(0,1,2)m. 设平面pdc的一个法向量为222(,)nxyz由0n dp,0n cp, 得222222020 xyzyz精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 40 页 - - - - - - - - -取21z, 得(0,2,1)n. 所以4cos,5m nm nm n因为二面角dghe为钝角 , 所以二面角dgh

50、e的余弦值为45. 15 （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5, 在直棱柱1111/abcdabc dadbc中，,90 ,1badacbd bc,13adaa. (i) 证明 :1acb d; (ii)求直线111bcacd与平面所成角的正弦值. 【答案】解: ( ) acbbabcdbdabcdbbdcbaabcd111111,面且面是直棱柱dbacbdbdbbdbacbbbbdbdac11111,，面。面且又. ( 证毕 ) ( )。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/acdadacdcbadbccb轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向xa

51、dyababdacybdyacycybdda),0 , 3(),0, 1()0 , 1(),0 , 0(),3, 0, 3(),0,0 , 3(,00 ,01，则，设).3 , 0, 3(),0 ,3, 1 (.30, 003012adacyyybdac），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111adnacdadnacnnacd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 40 页 - - - - - - - - -7213733|,cos|sin003,313-1adnadnacd），（），（的一个法

52、向量平面72111夹角的正弦值为与平面所以acdbd. 16 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯word版） ）如图 , 在四棱柱1111abcdabc d中,侧棱1aaabc d底面,/ /abdc,11aa,3abk,4adk,5bck,6dck(0)k. (1) 求证 :11;cdadd a平面(2) 若直线1aa与平面1abc所成角的正弦值为67, 求k的值 ; (3) 现将与四棱柱1111abcda bc d形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱 , 规定 : 若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同, 则视为同一种拼接方案. 问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为( )f k, 写出( )f k的表达式 ( 直接写出答案, 不必要说明理由) 【答案】解