浅谈因式分解几种常用方法

1、浅谈因式分解几种常用方法因式分解是中学数学重点内容之一，而又应用广泛, 难熟练掌握分解方法因此，要正确理解因式分解的意义， 因式分解是把一个多项式表示成几个不可约多项式的连乘 的过程，实质是一种恒等变形因式分解可在有理数范围内 进行，也可在无理数范围内进行，范围不同，要求也就不同. 本文只重点讨论在有理数范围内进行因式分解的常用方法：1. 提取公因数例1把下列各式分解因式(1) 8a3b2-12ab3c+2ab(2) 18b (b-a)2-12 (a-b)3(3) a2b (x-y) -ab (y-x)分析：确定公因式：(1)式，系数8, 12, 2的最大公 因数是2；字母：各项都含有的相同a

2、, b；指数：a, b的最 低次数分别是1和1, .多项式(1)的公因式是2ab. (2) 式系数：18, 12的最大公因数是6；再找出(b-a) 2与(a-b) 3 公因式,(b-a) 2= (a-b) 2,.*. (a-b) 2 是公因式,多项式(2)的公因式是6 (a-b) 2. (3)求字母：各项 都含有的相同字母是a, b；指数：a, b的最低次数分别是1, 1.再找出(x-y)与(y-x)的公式，*.*x-y=- (y-x), *.* (x-y) 2就是公因式，多项式(3)的公因式是ab (x-y).提出 公因式后，再就用原多项式除以公因式，所得的商就是括号 中的各项.解：(1)原

3、式=2ab (4a2b-6b2+l)(2) 原式=18b(a-b) 2-12 (a-b) 3=6 (a-b) 23b-2(a-b) =b (a-b) 2 (5b-2a).(3) 原式=a2b (x-y) +ab (x-y) =ab (x-y) (a+1).以上分解因式的方法叫做提取公因式法.此法要求有 三：其一，系数：提出各项系数绝对值的最大公因数；其二, 字母：取各项都含有的相同字母；其三，指数：取相同字母 的最低次数注：提公因式法分解因式，实质上是单项式乘 多项式的逆运算.2. 运用公式法例2把下列各式分解因式(1) a2-b2-12b-116(2) 4a-l-4a2+b2,(3) 4a2

4、_b2_16c2+9a2_8bc12aaz分析：(1)式经观察发现后面的三项括起来提出t后， 括号内控三项满足完全平方公式，运用完全平方公式分解， 再把b+14看作一个整体，把它整体地看成一个字母，即公 式中的“b”，这就是整体思想，则整个式子就满足平方差 公式了，运用平方差公式分解(2)式，发现前面三项括起 来提出-1后，括号的式子满足完全平方公式，用完全平方公 式分解，再把l-2a看作公式中的“b”，这时，整个式子满 足平方差公式，再用平方差公式分解(3)式经观察发现第 一项，第六项，第四项结合在一起括起来；第二项，第五项, 第三项结合一起提出t后，都满足完全平方公式，运用完全 平方公式分

5、解，再把2a-3a, b+4c分别看成平方差公式中的 “a”和“b”套平方差公式分解.(1) 原式=a2- (b2+12b+116) =a2 (b+14) 2= (a+b+14) (a-b-14)(2 原式=b2- (1-4a+4a2) -b2_ (1-2a) 2= (b+l_2a) (b-l+2a)(3 )原式二(4a2-12ad+9a2 ) - ( b2+8bc+16c2 )二 (2a-3d+b+4c) (2a-3d-b-4c)以上分解因式的方法叫做公式法，都是先经观察发现哪 些项结合在一起，变挨符号后，就满足某个公式了，再运用 公式分解，每分解完一步，再观察下一步采用的方法，结果 要使每

6、个因式不能再分解为止运用公式分解时，要注意公 式的特点和结构(特别是左端)，完全平方公式左边有三项, 首末两项是两数平方和，中间项是两数积的两倍，左边是两 数和(或差)的平方，平方差公式左端是平方差，可用下模 式厶2-02= (+口)(-口).式子中的既可 表单项式(包括数)，又可表多项式.完全平方公式也可类似 地运用模式帮助理解.3. 分组分解法3. 1根据系数比分组例3把下列程式分解因式(1) x3+3x2y -3xy29y3(2) 4x3+8x2-x2分析：上面二个多项式的特点：各项没有公因式可提, 也不能直接运用公式分解，前两项系数的比等于后两项 系数的比因此，运用加法的结合律分组再行

7、分解.(1)式, 一、二项分成一组可提出x2,三、四两项分成另一组可提出 -3y2. (4)式也是根据系数的比来分组的.解：(1)原式二(x3+3x2y) 一 (3xy2+9y3) =x2 (x+3y) -3y2 (x+3y) = (x+3y) (x23y2)(若要求在实数的范围 内分解时，则原式二(x+3y) (x+3y) (x3y)(2)原式二 (4x3+8x2) - (x+2) =4x2 (x+2) - (x+2) = (x+2) (4x-1) 二(x+2) (2x+l) (2x-l)3.2先展开再重新组合分组例4把下列各式分解因式(1) xy (a2+b2) ab (x2+y2).(2

8、) ab (ab) +bc (bc) +ac (ca)分解：两多项式不能直接提取公因式，又不能运用公式 分解，所以，只有考虑先展开后再分组合来分解.解：(1)原式=a2xy+b2xy-abx2-aby2= (a2xy-abx2) 一 (aby2b2xy) =ax (a.y-bx) -by (aybx)二(ay-bx) (axby).(2)原式二ab (a-b) +b2c-bc2+c2a-ca2=ab (ab )- (ca2-cb2) + (c2a-c2b) =ab (ab) c (a+b) (ab) = (ab) ab-c (a+b) +c2= (a-b) (c-a) (c-b) .3. 3

9、拆项、添项后再分组例5用拆项法把多项式x3+3x2+3x-7分解因式解：把-7拆成1和-8 (或拆成t, -3, -3),再用公式 分解(或提取公因式分解).原式二(x3+3x2+3x+l) -8- (x+1) 323 (x+1) -2 (x+1) 2+2 (x+1) +4 (x-1) (x2+4x+7) 例6用添项法把多项式4x4+1分解因式.解：添上4x2和-4x2这样的项后再分组分解.原式=4x4+4x2+l-4x2= (2x2+1) 2- (2x) 2= (2x2+2x+l) (2x2-2x+l)注：拆项、添项的中心思想就是凑，凑是变形的一种重 要技巧在解题时按照预定的解题方法向对问题

10、中的式子或 图形，通过拆项(或分解)和添项(即补项)的手段进行凑 合后的式子或图形便于套用某种公式，能够用上题设条件 或出现结论的形式等从而使问题得到解决，这种解题方法, 称为拆项和添项法在代数、三角中的因式分解、解方程、 特殊数列求和、利用二次函数求极限值及用数学归纳法证题 等许多问题，都经常遇到拆项和添项法.3.4根据字母的次数分组例7把a2-2ab+b2-6b+5分解因式.分析：前三项都是二次项且满足気全平方公式，分成一 组，第四、五项都是一次项分成另一组，可提出-6,常数项 为一组，这时，借助画十字交叉列图试探分解.解：原式=(a2-2ab+b2) - (6a-6b) +6 (a_b)

11、 +5- (a_b)2-6 (a-b) +5列图试探原式=(a-b-l) (a-b-5).3.5先按主元整理后再分组例 8 把 x4-3x3+x2y+2x2-xy 分解因式.解：经观察以y为主元整理，得原式=(x2y-xy) + (x23x3+2x2 ) =y (x2 - x )+x2 (x2 - 3x+2) =x (x-1) (x2-2x+y).分组，是运用加法的交换律、结合律，合理选择分组， 分组后要能继续运用提取公因式法、公式法进行分解，最后 达到因式分解的要求，这种方法叫分组分解法.4. 二次三项式ax2+bx+c (aho)的几种常用因式分解法4. 1十字相乘法.例9把2xn+2-4

12、xn6xn-2分解因式.分析：系数2, 4, 6的最大公因数是2；各项都含有相 同字母x；且x的指数的最低次数是(n-2), 有公因式 2xn-2,提出公因式后，括号内最高项的系数就是为1 了， 再借助十字交叉线计划探分解.解：原式-2xn_2 (x4_2x2_3 )列图试探原式=2xn-2 (x2-3) (x2+l)(若要在实数范围内分解 时，则原式=2xn-2 (x+3) (x_3) (x2+l).注：当 a=l 时，用公式 x2+px+q二x2+ (a+b) x+ab= (x+a) (x+b)分解(常数项q分解成两个数a, b;且使a? b=q, a+b=p. 例10把多项式15a2+7

13、ab-4b2分解因式.分析：把原式视为是a的二次三项式(或关于b的二次 三项式)，再画十字交叉线试探分解.解：列图试探：原式二(3a-b) (5a+4b).注：当 3工1 时，用公式 ax2+bx+c=ala2x2+ (alc2+a2cl) x+clc2二(alx+cl) (a2x+c2)分解，(把 a 分解成 al, a2, 使 a=al? a2,把 c 分解成 cl, c2,使 c=cl? c2, al, a2, ell c2,解析如下:按斜交叉相乘的积的和为alc2+a2cl=b,正好等于中间 一项的一次项的系数.例11把下列各式分解因式.(1)4x2-4xy-3y2+6x+llyt0.

14、(2)2x2-5xy+2y2-axay-a2.分析：(1)式和(2)式视为二次三项ax2+bx+c (aho) 的二次项有三项，一次项有两项，未知数有两个的特殊情形, 直接三次用斜线交叉相乘试探分解.解：(1)列图试探原式二(2x+y-2) (2x3y+5)(2)列图试探：二原式二(2x-y+a) (x-2ya)以上借助画十字交叉线把二次三项式分解因式的方法 叫做"十字相乘法“分解因数(或因式)及十字相乘都有 多种可能的情况，所以往往经经过多次试探才能确定一个 二次三项式能否用十字相乘法分解.4.2快速分解定理对于二次三项式ax2+bx+c (ao), 如果能在a, c的积中找到两个

15、因数m, n,使得m+n=b (x的 系数)，那么 ax2+bx+c= (ax+m) (ax+n) a.例12把下列各式分解因式(1) 2x2+x-3(2) 6x2+23x+21 (3) 2x2-17x30.解:(1) / 2 x (-3)二-6,而 3+ (_2)二1,2x2+x3二(2x+3) (2x-3) 2二(2x+3) (x1)(2) 76x21=126=14x9,而 14+9=23,.6x2+23x+21 二(6x+14) (6x+9) 6=(3x+7) (2x+3).(3) v2x (-30) =20x3 而-20+3二-172x217x30二(2x-20) (2x3) 2二(x

16、-10) (2x+3).用定理分解，只须把二次项的系数与常数项的积分解成 两数，再看这两数之和是否等于x的系数，试算时，只须口 算，所以和十字相乘法比较，此法试探次数少，分解速度快. 4. 3配方法例13把下列各式分解因式.(1) x2+6x-16(2) 2x2+x-3解：(1)原式二x2+2? x? 3+32-32-16二(x+3)2-52二(x+8)(x-2)(2) 原式二2 (x2+12x-32)二2x2+2? 14x+ (14) 2- (14) 2-32= (2x+3) (xl).4. 4求根法公式 ax2+bx+c (aho) =a (xxl) (xx2),先求出方程 的两根，再套公

17、式.例14把下列各式分解因式.(1) 4x2+8x-l.(2) 2x28xy+5y2.解：(1) v4x2+8x-l=0 的两个根是 xl, 2=-2±52,4x2+8x_l-4 (x一2+52) (x-252 )-(2x+2_5) (2x+2-5).(2) 关于x的二次方程的根是xl, 2=4±62y,.2x28xy+5y2二2 (x4+62y) (x462y ).注：十字相乘法，配方法都可以归为用求根法来分解.4.5换元法例 15 把多项式(a+b2ab) (a+b2) + (lab) 2 分解 因式.解：先把a+b与此分别看作两个不同的字母，用换元 变形就可分解了.设

18、 x二a+b, y二ab，则原式二(x-2y) ( x2 ) + (1-y ) 2二x2-2xy-2x+4y+l-2y+y2二(x2-2xy+y2) -2 (xy) +1= (x-y) 2-2 (x-y) +1= (x-y-1) 2= (a+bab) 2= (bt) 2 (al) 2.4.6待定系数法.恒等式定理：恒等式的两边同次项的 系数相等.例16把下列各式分解因式.(1) 4x2-4xy-3y2-4x+10y-3.(2) k是什么数时，多项式kx2-2xy-3y2+3x-5y+2能够 分解一次因式.解:(1) v4x24xy-3y2= (2x3y) (2x+y)令原式二(2x3y+l) (2x+y+m) = (2x3y) (2x+y ) + (2x+y ) 1+ (2x3y) m+lm二4x2-4xy-3y2+2 (l-3m) y+lm (其中 1, m 为常数)，展开后利用等式的两边同次项系数相等的关系分 解21+2111 二-41-3m二10,解方程组得 1 二 1, m=3. /.原式