第五章定积分的应用

1、第七章第七章 定积分的应用定积分的应用 第一节第一节 定积分的几何应用定积分的几何应用三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积二、二、 平面图形的面积平面图形的面积*四、四、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 一一 、定积分应用的微元法定积分应用的微元法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 定积分应用的微元法定积分应用的微元法用定积分计算的量的特点：用定积分计算的量的特点：fba,(1) (1) 所求量（设为所求量（设为 ）与一个给定区间）与一个给定区间 有关，且在该区间上具有可加性有关，且在该区间上具有可加性. . fba,就是说就是说，是确定于是确定于

2、上的整体量，上的整体量， 当把当把 ba,分成许多小区间时，分成许多小区间时， 整体量等于各部分量之和，即整体量等于各部分量之和，即niiff1fba,(2) (2) 所求量所求量 在区间在区间 上的分布是不均匀的，上的分布是不均匀的， fba,也就是说，也就是说， 的值与区间的值与区间 的长不成正比的长不成正比. . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用定积分概念解决实际问题的四个步骤：用定积分概念解决实际问题的四个步骤：fniiff1第一步：将所求量第一步：将所求量 分为部分量之和，即分为部分量之和，即: : if);, 2 , 1()(nixfii第

3、二步：求出每个部分量的近似值，第二步：求出每个部分量的近似值， fniiff1iniixf)(1第三步：写出整体量第三步：写出整体量 的近似值的近似值， 0maxixiniixf)(1第四步：取第四步：取时的时的极限，则得极限，则得nibaiixxfxff10d)()(lim“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ”观察上述四步我们发现，第二步最关键，观察上述四步我们发现，第二步最关键， 因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的， 这只要把近似式这只要把近似式iixf)(中的变量记号改变一下即可中的变量记号改变

4、一下即可 , xi换换为为dxxi换为换为而第三、第四两步可以合并成一步：而第三、第四两步可以合并成一步： ba,ba,在区间在区间 上无限累加，上无限累加，即在即在 上积分上积分. . 至于第一步，它只是指明所求量具有至于第一步，它只是指明所求量具有可加性可加性，这是，这是 f能用定积分计算的前提，能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的微元法于是，上述四步简化后形成实用的微元法. .定积分应用的微元法定积分应用的微元法： .d)(baxxff机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是，上述四步简化后形成实用的微元法于是，上述四步简化后形成实用的微元法. .( (一一) ) 在区间

5、在区间 ba,上任取一个微小区间上任取一个微小区间 xxxd,f然后写出在这个小区间上的部分量然后写出在这个小区间上的部分量的近似值，的近似值， xxffd)(d记为记为( (称为称为f f的微元）的微元） ,dbaf在在（二）（二） 将微元将微元上积分（无限累加），上积分（无限累加）， 即得即得表示为表示为niiixff10)(lim什么问题可以用定积分解决什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量所求量 f 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关的有关的2) f 对区间对区间 a , b 具有可加性具有可加性 , 即可通过即可通过“大化小大化小, 常代变常代变,

6、近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义定积分定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个整体量一个整体量 ;如何应用定积分解决问题如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量求出局部量的的微分表达式微分表达式xxffd)(d第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量求出整体量的的积分表达式积分表达式fxxfbad)(这种分析方法成为这种分析方法成为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段,

7、环环, 扇扇, 片片等近似值近似值精确值精确值第二节 目录 上页 下页 返回 结束 二、用定积分求平面图形的面积二、用定积分求平面图形的面积1. 直角坐标系下的面积计算直角坐标系下的面积计算设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线)(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲则则xxfad)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfabad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 边梯形面积为边梯形面积为 a ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfabad)()(21xxxd例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围在第一

8、象限所围所围图形的面积所围图形的面积 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交点得交点) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxadd22332x01331x3110a机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxy22oy4 xy例例2. 计算抛物线计算抛物线xy22与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyad)4(d221184 xy所围图形所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有yyyd42a机动 目录 上页 下页

9、 返回 结束 abxoyx例例3. 求椭圆求椭圆12222byax解解: 利用对称性利用对称性 , xyadd所围图形的面积所围图形的面积 . 有axya0d4利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得应用定积分换元法得024atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxdoyxab一般地一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数方程 ttyytxx)()(给出时给出时,则曲边梯形面积则曲边梯形面积ttxtyad)()(机

10、动 目录 上页 下页 返回 结束 )(ax 对应对应2. 极坐标情形极坐标情形,0)(,)(上连续上连续在在设设求由曲线求由曲线)(r及及,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)(r x d在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2a所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为d)(212a机动 目录 上页 下页 返回 结束 a2sin2a例例4. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,2cos22ar d2cos212a404a402a)2(d2cos0则

11、所求面积为则所求面积为42a机动 目录 上页 下页 返回 结束 yox44d)(21d2a二、已知平行截面面积函数的立体体积二、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为a(x), ,)(baxa在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx的体积元素为的体积元素为xxavd)(d因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxavbad)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 xabxxxd)(xa上连续上连续,例例5. 一平面经过半径为一平面经过半径为r 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成与底面交成 角角,222ryx解解: 如图所示

12、取坐标系如图所示取坐标系,则圆的方程为则圆的方程为垂直于垂直于x 轴轴 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面积为其面积为tan)(21)(22xrxa)(rxrrxxrv022dtan)(2123231tan2xxr0rtan323r利用对称性利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 orxyxorxy思考思考: 可否选择可否选择 y 作积分变量作积分变量 ?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积 ?),(yx)(ya提示提示:tan2yx22tan2yryvr0ta

13、n2yyryd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyoabxyoab)(xfy 特别特别 , 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有轴绕xbxaxfy)()(xdbav当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段)()(dycyx绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有2)(yyddcvxxoy)(yxcdy机动 目录 上页 下页 返回 结束 ayxb例例6. 计算由椭圆计算由椭圆12222byax所围图形绕所围图形绕 x 轴旋转而轴旋转而转而成的椭球体的体积转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法 利用直角坐

14、标方程利用直角坐标方程)(22axaxaaby则则xxaabad)(220222(利用对称性利用对称性)3222312xxaab0a234aboav02xy d2机动 目录 上页 下页 返回 结束 x方法方法2 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程tbytaxsincos则则xyvad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当特别当b = a 时时, 就得半径为就得半径为a 的球体的体积的球体的体积.343a机动 目录 上页 下页 返回 结束 aaaxxaxyv0332322d)(2d.10532d)33(2320343232342axxxaxaaa内容小结内容小结1. 平

15、面图形的面积平面图形的面积边界方程边界方程参数方程参数方程极坐标方程极坐标方程直角坐标方程直角坐标方程 (作业作业p138 1.(1)ttxtyad)()(）作业作业6.138(d)(212pa机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 已知平行截面面面积函数的立体体积已知平行截面面面积函数的立体体积baxxavd)(旋转体的体积旋转体的体积 (作业作业p138 10.(2)()(2xfxa绕绕 x 轴轴 :绕绕 y 轴轴 :)(xyy 2)()(yxa第二节第二节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体对平面薄板的压力液体对平面薄板的压力三、三、 转动惯量转动惯量定积分在物

16、理学上的应用定积分在物理学上的应用 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力设物体在连续变力 f(x) 作用下沿作用下沿 x 轴从轴从 xa 移动到移动到,bx 力的方向与运动方向平行力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元在其上所作的功元素为素为xxfwd)(d因此变力因此变力f(x) 在区间在区间 ,ba上所作的功为上所作的功为baxxfwd)(例例1.一个单一个单求电场力所作的功求电场力所作的功 . qorabrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点当单位正电荷距离原点 r 时时,由由库

17、仑定律库仑定律电场力为电场力为2rqkf 则功的元素为则功的元素为rrqkwdd2所求功为所求功为barrqkwd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到处移动到 b 处处 (a b) , 在一个带在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下电荷所产生的电场作用下, s例例2.体体, 求移动过程中气体压力所求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为把容器中的一个面积为s 的活塞从的活塞从点点 a 处移动到点处移动到点 b 处处 (如图如图), 作的功作

18、的功 .ab建立坐标系如图建立坐标系如图.xxdx 由波义耳由波义耳马略特定律知压强马略特定律知压强 p 与体积与体积 v 成反比成反比 , 即即,sxkvkp 功元素为功元素为wdxfdxxkd故作用在活塞上的故作用在活塞上的spfxk所求功为所求功为baxxkwdbaxk lnabkln力为力为在底面积为在底面积为 s 的圆柱形容器中盛有一定量的气的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为上的一薄层水的重力为g

19、xd32这薄层水吸出桶外所作的功这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为为wdxxdg9故所求功为故所求功为50wxxdg9g922xg5 .112( kj )设水的密设水的密度为度为05(kn)一蓄满水的圆柱形水桶高为一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为底圆半径为3m, 面积为面积为 a 的平板的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为设液体密度为 深为深为 h 处的压强处的压强: hp gh当平板与水面平行时当平板与水面平行时, app 当平板不与水面平行时当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为平板一侧所受的压

20、力为小窄条上各点的压强xp g33g2r例例4.的的液体液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图. 所论半圆的所论半圆的22xry)0(rx 利用对称性利用对称性 , 侧压力微元素侧压力微元素rp0 xxrxdg222oxyrxxxd222xr pdxg端面所受侧压力为端面所受侧压力为xd方程为方程为一水平横放的半径为一水平横放的半径为r 的圆桶的圆桶,内盛半桶密度为内盛半桶密度为 0arcsin22g4222rrxrxrxr,d222xxr 说明说明: 当桶内充满液体时, )(gxr 小窄条上的压强为侧压力元素pd故端面所受侧压力

21、为rrxxrxrpd)(g222奇函数奇函数3gr)(gxr rxxrr022dg4trxsin令oxyrxxxd三、转动惯量三、转动惯量质量为质量为 m 的质点关于轴的质点关于轴 l 的转动惯量为的转动惯量为l2rmi 则需用积分解决则需用积分解决 .r关于质量连续分布关于质量连续分布 的物体绕轴的的物体绕轴的转动惯量问题转动惯量问题,mxx+dxxyl例例5 5 一均匀细杆长为一均匀细杆长为l,l,质量为质量为m,m,试计算细杆绕过它的试计算细杆绕过它的中点且垂直与杆的轴的转动惯量中点且垂直与杆的轴的转动惯量. .解解 选择坐标系选择坐标系( (如图如图) )先求转动惯量微元先求转动惯量微

22、元dl,dl,为此考虑细杆上为此考虑细杆上x,x+dxx,x+dx 一段一段, ,它的质量为它的质量为dxlm把这一小段杆设想为位于把这一小段杆设想为位于x x处的一个质点处的一个质点, ,于是微元为于是微元为dxxlmdl2则沿细杆积分的整则沿细杆积分的整个细杆转动惯量为个细杆转动惯量为dxxlmill2222233llxlm.1212ml2rmi 依据依据内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式先用微元分析法求出它的微分表达式 dq一般微元的几何形状有一般微元的几何形状有:扇扇、片片等.(2) 然后用定积分来表示整体量然后用定积分来表示整体量 q , 并计算之并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量用定积分求一个分布在某区间上的整体量 q 的步骤的步骤:2.定积分的物理应用定积分的物理应用:变力作功变力作功 , 侧压力侧压力 , 转动惯量等转动惯量等.条条、段段、环环、带带、1 1已知总产量的变化率求总产量已知总产量的变化率求总产量 . .26 . 012100)(tttf42422d)6 . 012100(d)(tttttf8 .