有限字长效应对信号处理的影响分析

1、前言有限字长效应对信号处理的影响分析华东理工大学 东方贱人退款是几个意思1 前言1.1 有限字长效应和它产生的原因数字信号处理中，信号的数值、系统的参数、运算中的变量以及运算结果都需要用二进制编码来表示。但由于受到 A/D 转换器位数、寄存器位数和运算字长等的限制，所以二进制码是有限字长的。必须用有限长的二进制数来表示无限精度的十进制数，有限字长效应所带来的误差现象，我们把这种误差现象称为有限字长效应。在数字系统中有限字长效应产生的原因：（1） A/D 变换器中的有限字长效应，即把模拟输入信号变为一组离散电平信号时所产生的有限字长效应。A/D 变换包括抽样和量化两个过程,抽样是指使用“抽样器”

2、从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，把这种信号称之为“抽样”信号,抽样信号在时间上具有离散化特性，但由于它还并不是真正的数字信号，还必须经过量化编码的过程才能真正地转变为数字信号。简单来讲就是要将模拟信号抽样和量化，让它转变成为具有一定字长的数字序列值的信号。（2）滤波器系数的有限字长效应，在数字系统滤波器系数的量化处理过程中，用有限位二进制数来表示，就必定会带来有限字长效应。对于不同结构类型的数字滤波器来说，它的极点和零点位置在数字滤波器中的系数变化将不一样。因有限字长效应在数字滤波器系数中带来的任何微小变化，都极有可能对数字滤波器的频率响应特性造成巨大的影响，对于在单位圆内并且非常靠近

3、单位圆的极点来说，有限字长效应在数字滤波器中系数的误差影响，就会让这些极点移动到单位圆上或者单位圆外，因而数字滤波器的原有稳定性就失去了。（3）运算过程中的有限字长效应所带来的误差。在数字运算过程中，为了限制位数而进行尾数处理和为了防止溢出进而压缩信号电平的有限字长效应，这其中就有低电平的极限环振荡效应和溢出振荡效应。 以上三种误差都与系统结构形式、数的表达方法、和所采用的运算方式、字的长短和尾数的处理有关。 研究有限字长效应目的：（1） 当数字信号的处理过程在计算机上实现时，它的字长是已经固定的了，对它进行误差分析，是为了了解结果的可信度，如果可信度差的话，就需要采取一定的改进措施。但是在一

4、般的情况下，因为计算机字长都是比较长的，所以就不用考虑字长的影响了。（2）使用特定硬件芯片来进行数字信号处理时，通常使用定点实现，由于硬件的字长问题，所以就需要了解为了达到设计要求所需精度情况下的最小字长。通过最小字长来选定特定的硬件芯片类型，又因为不同硬件芯片的价格差很大，通过有限字长效应的研究就可以在价格和精度中间做出一个合理的选择。硬件设计工程师便可以在满足精度要求的前提下减小字长，降低生产成本，保证产品的优越性能。1.2 主要工作 对 IIR 数字滤波器的有限字长效应进行分析，本文主要内容IIR 数字滤波器的网络实现结构，再介绍了 IIR 数字滤波器的直接型、级联型和并联型结构，并分析

5、了这些结构的特点，以及有限字长效应对滤波器造成的误差分析。2 IIR 数字滤波器的网络实现结构 IIR数字滤波器是一个反馈系统，它会进行循环计算，在这个过程中，其系数误差会不断地积累叠加。在IIR滤波器的极点靠近z平面上的单位圆时，其幅频特性一般会出现较大的峰值。当系数量化误差较大时，就会使原来处于单位圆内的极点移到单位圆外，这样的就会让IIR滤波器由稳定系统变成了非稳定系统。还有一钟情况，当一组系数的差过大时，量化会造成对值大于1的数在运算过程中被归一化，数字滤波器的功能就有可能无法实现。所以，讨论IIR滤波器系数的有限字长效应问题具有更加现实的意义。2.1 IIR 数字滤波器原理2.1.1

6、 数字滤波器的基本概念数字滤波器是数字信号处理中的一项重要基础，在对信号的过滤和监测以及参数评估等处理的过程中，这是被运用最为广泛的一种线性系统。它的对象是通过抽样器件把模拟信号转变为数字信号。它是指能够完成信号处理功能的、使用有限精度算法第 27 页 共 33 页IIR数字滤波器的网络实现结构来实现的具有离散时间线性非时变特点的系统。数字滤波器的输入是一组数字量，而输出则是通过数字变换的另外一组数字量。其本身既能用硬件来完成给定运算的处理，又能通过软件编程来实现所要的运算处理，具有使用范围广的特点。总之，数字滤波器具有以下几个特点:精度高、灵敏度高、稳定性强等特点。伴随着数字技术的快速发展，

7、通过数字技术来实现滤波器的功越来越受到人们的重视，并且得到更加广泛的应用。滤波器，其实就是对系统的输入信号进行滤波的过程。滤波器的输出y(n)与输入x(n)之间的联系是脉冲响应h(n),即如果滤波器的输入和输出都是离散信号，那么这个滤波器的脉冲响应也应该是离散信号，这样的滤波器就成为数字滤波器。2.1.2 IIR滤波器的特点 IIR 数字滤器，无限长脉冲响应滤波器具有如下三个的特点：（1）IIR 数字滤波器采用的是递归型结构，就是结构上带有反馈环路；（2）IIR 数字滤波器系统的单位脉冲响应 h(n)是无限长的；（3）IIR 数字滤波器系统函数 H(z)在有限 z 平面（0<|z|<

8、;+)上存在极点； 上述3个特点在本质上是一致相通的，这可从 IIR 数字滤波器的系统函数 H(z)和差分方程 y(n) 中得到体现： （2-1） （2-2)(1)中分母多项式系数表明在有限z平面上存在极点，在是（2）中系数 ai 表明存在着输出到输入的反馈。2.2 IIR 数字滤波器的网络实现结构同一种 IIR 系统函数可以有多种不同的网络实现结构，其中就包括直接性、并联型、级联型。不同的网络结构使得 IIR 滤波器在实现功能上具有不同的特点，在性能上也将产生不同的频率特性。下面先简单介绍不同网络结构的IIR 滤波器，然后再对具有相同传输函数滤波器的情况下，分析不同网络结构下有限字长效应对滤

9、波器频率特性的影响。2.2.1 直接型一个 N 阶的 IIR 滤波器的输入输出关系可以用式（2）所示的 N 阶的差分方程来描述。从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分是一个输入信号x(n)的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，这就实现了一个零点的横向结构网络。第二部分是一个输出信号对y(n)的N阶延时链的横向结构网络，每级延时抽头后加权相加，是一个由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，是由输出到输入的反馈网络。图1 滤波器直接I型2.2.2 直接型直接型结构也叫做典范型结构，其系统函数H(z)可以认为是两个独立的系统函数的乘积。输入信号先经过系统，

10、获得中间输出变量，然后就可以把送入系统得到输出信号。 （2-3） （2-4） （2-5）差分方程为： （2-6）图2 直接II型2.2.3 滤波器级联型将IIR滤波器的系统函数的分子分母表达为因子的形式，即 （2-7）因为系统函数的系数都是实系数，故而零点、极点只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。式中A为归一化常数，M=M1+M2，N=N1+2N2，表示实零点，表示实极点，和表示复共轭零点，和表示复共轭极点。每一对共轭因子合并起来，就可以构成一个实系数的二阶因子。所以，任意系统都可以由一阶和二阶子系统级联构成。故而，整个系统函数完全可以分解为实系数二阶因子的形式： （2-8）式中，Nc表

11、示M和N中最大的整数。称为滤波器的二阶基本节，可以采用直接II型结构实现，整个滤波器则是的级联。2.2.4 并联型将IIR滤波器的系统函数H(z)展开为部分分式的和，即 （2-9）式中N=N1+N2，是的共轭复数。因为系统函数的系数全都是实系数，所以，都是实数。若M<N，上式不包含项，若M=N,项变成。一般IIR系统都满足MN的条件。当M=N，上式变为 （2-10）总系统函数是各部分函数之和时，就表示它是各相应子系统的并联。故而上式可以理解为一阶和二阶系统的并联组合。3 IIR 数字滤波器的有限字长效应IIR数字滤波器的有限字长效应3.1 系数量化对IIR数字滤波器的影响在用MATLAB

12、实现信号处理货滤波器设计时，它们的系数都是十进制对的数值，都具有“无限”精度。当我们把一个设计好的滤波器进行具体实现时，它们的系数都必须以有限长的二进制码形式存放在存储器中，因而对理论的系数值进行量化处理就很有必要了。通过分析滤波器的有限字长效应有利于我们选择合适的字长和结构，以便达到设计的要求。3.1.1 极点位置灵敏度当对一个有理系统函数或相应的差分方程的系数进行量化时，系统函数的零极点在平面上的位置就会产生变化，这等效于频率响应收到扰动而发生的偏离。当系统实现结构对系数的扰动有很高的灵敏度是，那得到的系统就不可能满足原设计对的要求，系统也将变的不稳定了。理想数字滤波器的系统函数为： （3

13、-1）对系数ai、bi量化后，其实际传递函数为： （3-2）其中是系数ai、bi的量化结果： （3-3）然后讨论系数有限字长效应带来的误差对极点的影响：原来系统的函数分母多项式是： （3-4）设，得到的极点： （3-5）当系数被量化后的极点： （3-6）极点位置的偏差量，由各个系数偏差引起的，因此 （3-7）结论:就是极点对系数变化的灵敏度 越大，对的影响也越大 越小，对的影响也越小下面根据A(z)来求这个极点位置灵敏度的表达式： （3-8） （3-9）得出： (3-10) （3-11）得极点位置灵敏度为： （3-12）分母中的每一个因子代表着某一极点指向当前极点的矢量，而整个分母正是所有极点

14、指向当前极点的矢量积 直接型高阶网络要比各个子系统的极点密集程度的要更密集，因而极点位置受系数量化的影响比直接型结构要小得多。图3 极点位置灵敏度跟极点间距离成反比结论：系数量化对零、极点位置的影响与零、极点位置的分布以及滤波器的结构均有密切的关系。高阶滤波器：尽量不使用直接型的结构，可以分解成低阶的级联结构或者是并联结构。至于极点灵敏度很高的地方，使用双精度系数可以更容易达到精度的设计要求。3.1.2 系数量化对二阶子系统极点位置的影响高阶系统用直接型网络结构实现是不合适的，级联型和并联型优于直接型。但是级联型和并联型的基本子系统是二阶节，如何实现这个基本二阶节也有着不同的情况。现在要进而说

15、明级联和并联形式中的一个具有共轭极点的二阶系统也有各种不同的结构，而且不同结构对于系数量化的敏感度也是不同的。设二阶 IIR 系统的系统函数为： （3-13）具有一对共轭对称的复极点 （3-14）有 （3-15）得到 （3-16）图4 二阶网络的直接型（3-17）说明:对于二阶网络，其极点的半径r完全由系数决定，极点在实轴上的坐标值取决于系数。如果a1、a2用三位字长表示，b3(不算符号位)，只能表达8种半径r值和-7/87/8之间的15种实轴坐标值。表1 三位字长的共轭极点的参数图5 三位字长的共轭极点的位置极点位置是图中的网眼节点，当想要的极点位置不在这些网眼节点上时，可以用最靠近的一个节

16、点来充当这个极点位置，因此就会带入极点位置误差。结论：系数有限字长效应使零、极点位置的取值范围从连续域变为离散的平面点阵，导致零极点的漂移，造成系统特性的变化。量化位置的分布情况在平面上是不均匀的，靠近实轴的部分分布的稀，靠近虚轴部分分布的密，在半径小的部分方分布的稀，在半径大的部分分布的密。这祥就会使实轴附近的极点(例加低通、高通滤波器)量化误差较大、而对虚轴附近的极点(例如带通滤波器)量化误差较小。这类分布情况仅仅只是针对二阶直接型结构的情况，而对不同结构的滤波器来说，系数对零极点位置的影响是不相同的。基本二阶网络的另一种实现，该网络的系统函数为： （3-18）图6 复共轭点的对偶结构当系

17、数量化时，是对及进行量化，因而所得到的网格点子在z平面是均匀分布的。这里系数量化后对z平面的所有区域，所产生的误差是相同的。具有共轭极点对的二阶数字网络耦合形式实现情况下，系数量化为三比特时极点的可能位置如下图。图7 二阶数字网络耦合形式3.1.3 频率响应偏差的分析IIR数字滤波器系数量化的统计分析 用阶直接型结构为例子，它的理想精度系统函数是： （3-19）设量化后的系数为： （3-20）因而系数量化之后，系统函数实际是： （3-21） （3-22）系统函数的偏差为： （3-23）式中 （3-24）系统频率响应的偏差： （3-25）系数量化的统计分析模型：图8 系数量化的分析模型可以用频响

18、的均方偏差来描述系数量化所引起的频率特性偏差，即： （3-26）均方偏差也是一个随机变量它的均值即为频响偏差，即：（3-27）3.2 数字滤波器的运算量化效应数字滤波器是一个常数乘以一个数字或两个数字加一起。有限字长效应和使用数制、码制和量化都有一个复杂的关系。在系数相乘的地方，那里有一个量化误差噪声源，它们都有一个系统输出误差。根据叠加原理，噪声滤波器的输出是响应在滤波器不同结构的位置上的量化噪声的总和，不难计算出滤波器输出的信噪比。在项目实施中，人们关心的是字长多少位的选择，以确保滤波器的输出达到一定的信噪比。为了方便统计分析这些有限字长误差的平均效应，我们设定：(1)所有这些噪声都是平稳

19、的白噪声序列；(2)所有噪声都跟信号不相关，而且各噪声之间都互不相关；(3)每个误差噪声在其误差允许内呈均匀等概率分布。3.2.1 IIR数字滤波器定点运算后舍入误差的分析在定点制中，理想相乘如图所示，每次相乘运算y(n)=ax(n)之后都要作一次舍入或截尾处理，因此会引入非线性，由前面讨论得知，尾数一般多采用舍入处理，如图所示，*表示舍入处理。采用统计分折方法，可以将舍入误差e(n)作为独立噪声叠加到信号上，可以继续用线性流图来表示，如图所示。a理想相乘 b实际相乘的非线性流图 c统计模型的线性流图图9 定点相乘运算流图使用统计分析方法之后，实际的输出为: （3-28）而每一个噪声源所造成的

20、输出噪声方差及均值: （3-29）最后将所有的输出噪声线性叠加就得到总的输出噪声 （3-30）方差为： （3-31）结论：对于IIR滤波器而言，从有限字长效应来看，不管是哪一种的直接型结构，它的运算误差都是最大的，尤其是在高阶时就尽量不要使用这个结构。级联型结构就相对而言要好一些，并联型结构却是拥有最小的运算误差。3.2.2 IIR滤波器定点加法运算的溢出问题定点制中，两个b位的小数相加仍是b位小数，不会产生量化误差。但当总和的绝对值大于1时将会溢出。在系统不溢出时舍入噪声是输出误差的主要来源，而发生溢出时，符号位变号：和为正数时变为负数，负数则变成正值，因此带来很大误差。为了避免产生溢出，就

21、要在每个相加点的输入端口加入一定的压缩比例因子，可以让相加点的数值的绝对值小于一。设表示滤波器的输入信号，表示滤波器第k个相加节点上的输出信号、表示从滤波器输入端到第k个相加节点的单位脉冲响应，响应的系统函数为。为使不发生溢出，需要在输入端引入比例因子,则 （3-32）有限字长效应对IIR滤波器性能影响分析的MATLAB实现若表示输入信号的最大幅度 （3-33）因此 （3-34）要使不发生溢出，则需使|1，所以 （3-35）选择最小的比例因子为最终的选择，即 （3-36）令，得到保证第k个节点上不出现溢出时的最大输入值上限 （3-37）4 有限字长效应对IIR滤波器性能影响分析的MATLAB实

22、现4.1系统设计框架量化效应对 IIR 数字滤波器性能影响分析系统主要包含两个部分：滤波器设计部分和量化效应的分析部分。系统的总体设计框图如图所示：图10 总体设计框图4.2 IIR滤波器的GUI界面设计对于IIR滤波器进行有限字长效应的分析，需要针对具体的某一个滤波器进行，便于使用者分析有限字长效应对不同滤波器的影响，系统设计了由使用者指定滤波器参数进行滤波器模块的设计。4.2.1幅频指标设计IIR滤波器通常情况下，IIR 滤波器的设计是在给定通带截止频率 Wp、阻带截止频率 Ws、通带允许的最大衰减 Rp、阻带应达到的最小衰减 Rs 等参数的情况下设计得到的，因此我们首选了这样的方式进行滤

23、波器设计。此外,给定设计指标进行 IIR 滤波器滤波器的设计，是先进行模拟滤波器设计，然后再从模拟转化到数字滤波器，因此我们设计了模拟低通原型滤波器的选择，以设计不同模拟低通原型滤波器的数字 IIR 滤波器。GUI界面的设计图11 IIR滤波器的幅频指标设计界面参数设置界面各部分功能介绍如下：（1）指标：从四个动态文本框中输入滤波器技术指标 wp、 ws、rp 、rs，实现数字滤波器的动态设计。（2）类型：由四个单选按钮选择滤波器的类型，即巴特沃斯型、切比雪夫型、切比雪夫型、椭圆型。（3）幅频特性区域:根据设置的参数，画出滤波器幅频特性曲线。（4）相频特性区域:根据设置的参数，画出滤波器相频特

24、性曲线。（5）查看结果：点击该按钮，画滤波器幅频特性曲线和相频特性曲线。（6）退出：点击该按钮，退出“参数设置”界面，回到主界面。程序实现例如选择设计 IIR 的 Cheby型低通滤波器，通带通带截止频率 WP=0.3、阻带截止频率 Ws=0.9、通带允许的最大衰减 Rp=2DB、阻带应达到的最小衰减 Rs=50DB、采样频率 Fs=2Hz。以这些参数设计滤波器。利用已知的通带通带截止频率 WP、阻带截止频率 Ws、通带允许的最大衰减 Rp、阻带应达到的最小衰减 Rs 等技术指标和原型滤波器类型，设计 IIR 滤波器的传输函数。程序如下（详细代码见附录4）：Fs = 2 ;Wap = tan(

25、wp/2) ;Was = tan(ws/2) ;bp,ap = zp2tf(z,p,k);bs,as = lp2lp(bp,ap,wap);b,a = bilinear(bs,as,Fs/2)h,w = freqz(b,a,512,1);g=20*log10(abs(h);4.2.2 零极点法根据零点 Zi、极点 Pi 以及增益 A 这些参数设计 IIR 数字滤波器计滤波器，并分析滤波器的量化效应。通过零极点法，用户可以自行设置零极点的位置以及系统的增益，便于改变系统零极点。图12 零极点法的滤波器设计界面零极点法的参数设置界面个部分功能介绍如下：（1）零极点设置：在界面上的 5 个动态文本编

26、辑框输入相应参数零点、极点、增益，以确定数字滤波器的传递函数。（2）幅频特性区域：幅频特性区域:根据设置的参数，画出滤波器幅频特性曲线。（3）相频特性区域:根据设置的参数，画出滤波器相频特性曲线。（4）查看结果：点击该按钮，画滤波器幅频特性曲线和相频特性曲线。（5）退出：点击该按钮，退出“参数设置”界面，回到主界面。2、程序实现z = z1 z2;p = p1 p2;b,a = zp2tf(z',p,A)h,w = freqz(b,a,256)4.2.3 两种 IIR 滤波器设计方法比较幅频特性方法和零极点法虽然用不同方法设计得到的 IIR 数字滤波器，但所完成的任务是一样的，即通过幅

27、频响应、相频响应、零极点分布以及运算量换效应等来分析量化效应对 IIR 数字滤波器性能的影响。两种设计方法各自有优缺点，现分析如下。幅频特性方法可以明确数字滤波器的定通带截止频率 Wp、阻带截止频率 Ws、通带允许的最大衰减 Rp、阻带应达到的最小衰减 Rs 等参数，可以选择滤波器的类型：巴特沃斯型、切比雪夫型、切比雪夫型 、椭圆型。且这种方法可设计高阶滤波器，能明显观察到量化效应对滤波器系统零极点的影响。零极点法通过零点、极点、系统增益即可得到滤波器的传递函数，设计起来相对简单。可直接改变零极点和系统增益这些指标。但是这种方法不适合设计高阶的数字系统，设计低阶系统是观察量化效应对 IIR 滤

28、波器零极点的影响效果不明显。4.3 系数量化的影响分析对于系数的量化误差而言，在不同程度上让滤波器的零、极点偏离理论的预定位置，导致数字滤波器的频率特性偏离设计要求，当量化误差很严重的时候，平面单位圆内的极点跑到单位圆外面，造成滤波器的不稳定，进而不能使用。有限字长效应对滤波器性能的影响直接关系寄存器的字长长短，还与滤波器的结构有关。挑选合适的结构，不仅可以减小有限字长效应带来的影响，帮助我们挑选合适的字长，为滤波器的实现提供理论的依据，进而设计出符合相应频率响应的系统出来。4.3.1 频率响应偏差分析图13 频率响应偏差分析GUI界面（1）程序实现设计的 IIR 的 Cheby型低通滤波器指

29、标：通带通带截止频率 WP=0.3、阻带截止频率 Ws=0.9、通带允许的最大衰减 Rp=2DB、阻带应达到的最小衰减 Rs=50DB、Fs=2Hz。wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=cheb1ord(wap,was,rp,rs,'s');z,p,k=cheb1ap(n,rp);bp,ap=zp2tf(z,p,k);bs,as=lp2lp(bp,ap,wap);b,a=bilinear(bs,as,Fs/2);h,w=freqz(b,a,512,Fs);g=20*log10(abs(h);%对滤波器系数用m1bit量化bq = truncatio

30、n(b,m1);aq = truncation(a,m1);hq,w = freqz(bq,aq,512,1);gq = 20*log10(abs(hq);%截尾量化函数function aeq = truncation(a,n)m1,m2 = size(a);for i = 1:m1 for j = 1:m2 r = floor(log2(abs(a(i,j)+eps); r = max(0,min(r)+1); b = floor(abs(a(i,j)*2(n-r); aeq(i,j) = sign(a(i,j)*b/2(n-r); endEnd图14 不同字长的幅频特性由以上4幅图可以看

31、出，数字滤波器的系数经量化后的幅频特性与原始的幅频特性存在偏差，这种偏差与量化的字长有关。系数经 4bit 量化后相应的幅频响应已发生严重失真，其衰减特性变差，6bit 量化后幅频响应的失真有了明显的减轻，32bit量化后幅频响应已接近原始的幅频响应。由此可见，系数量化会使幅频响应发生失真，减小误差的方法就是增加量化的字长。4.3.2 不同网络结构的有限字长效应分析直接型、级联型、并联型结构实现滤波器时，对滤波器系数进行量化处理，处理后的滤波器的幅频特性与原始幅频特性的偏差还与实现结构有密切关系。通过编程，画出不同结构实现时的幅频响应对比图，并用不同颜色区分。（1）代码见附录1（2） 结果显示

32、图15 不同网络结构分析结果图对上述 H（z），再一次分别用 4bit 和 8bit 的字长对系数量化，并分别用级联和并联的形式来实现，观察不同实现方式对系统性能的影响。由于 H（z）是一个五阶的系统，所以可以分为两个二阶的子系统和一个一阶的子系统，将它们的系数量化后再分别级联和并联，所得系统的频率响应如下。不论是 4bit 量化还是 8bit 量化，级联和并联实现的效果都远远优于直接实现。同时，并联实现的效果要稍优于级联实现。并联实现的误差最小。直接型结构的所有舍入误差都要经过全部网络的反馈环节，误差积累起来了，所以误差最大。级联结构的每个舍入误差只通过其后面的反馈环节（不通过前面的），所以舍入误差比直接型的小。并联结构的每个并联的子网络的舍入误差只通过本网络，与其他子网络无关，误差积累作用最小，所以在一般情况下，其输出误差最小。4.3.3 数值量化对零极点影响的影响（1） 代码见附录2（2） 显示结果图16 数值量化对零极点影响的影响结果图极点偏差与系统函数的阶数有关，当它阶数越高时，滤波器的极点位置偏差也大。滤