曲线运动、万有引力与航天

1、专题四 曲线运动 万有引力与航天1.曲线运动(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向(2)运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动(3)曲线运动的条件：2运动的合成与分解(1)基本概念运动的合成：已知分运动求合运动运动的分解：已知合运动求分运动(2)分解原则：根据运动的实际效果分解，也可采用正交分解(3)遵循的规律：位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则热点二运动的合成与分解及应用1合运动与分运动的关系(1)运动的独立性一个物体同时参与两个(或多个)运动，其中的任何一个运动并不会受其他分运动的干扰，而保

2、持其运动性质不变，这就是运动的独立性原理虽然各分运动互不干扰，但是它们共同决定合运动的性质和轨迹(2)运动的等时性各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)(3)运动的等效性各分运动叠加起来与合运动有相同的效果2运动的合成与分解的运算法则运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则1模型构建在运动的合成与分解问题中，两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动，其中一个速度大小和方向都不变，另一个速度大小不变，方向在180°范围内(在速度不变的分运动所在直线的一侧)变化我们对

3、合运动或分运动的速度、时间、位移等问题进行研究这样的运动系统可看作“小船渡河模型”2模型特点(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动(2)三种速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水的流速)、v合(船的实际速度)(3)两个极值过河时间最短：v船v水，tmin(d为河宽)过河位移最小：v合v水(前提v船>v水)，如图418甲所示，此时xmind船头指向上游与河岸夹角为.cos ；v船v合(前提v船<v水)，如图乙所示过河最小位移为xmind.图4181.平抛运动的特点和性质(1)定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动(2)性质：平抛运动是加速度为

4、g的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线(3)平抛运动的条件：v00，沿水平方向；只受重力作用(4)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动(5)基本规律(如图421所示)图421位移关系速度关系2斜抛运动(说明：斜抛运动只作定性要求)(1)定义：将物体以初速度v0沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动(2)性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线(3)研究方法：斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动的合运动热点一平抛运动基本规律的应用1飞行时间：由t知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关2水平射程：xv

5、0tv0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关3落地速度：v，以表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan ，所以落地速度只与初速度v0和下落高度h有关图4234速度变化量：做平抛运动的物体在任意相等时间间隔t内的速度改变量vgt相同，方向恒为竖直向下，如图423所示5两个重要推论：(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图424所示图424(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为，位移与水平方向的夹角为，则tan 2tan .图425热点二多体的平抛问题求解多体平抛问题的

6、三点注意(1)若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动(2)若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定(3)若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动物理建模5.“平抛斜面”模型模型阐述：平抛运动与斜面相结合的模型，其特点是做平抛运动的物体落在斜面上，包括两种情况：(1)物体从空中抛出落在斜面上；(2)从斜面上抛出落在斜面上在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角

7、同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决.方法内容实例总结斜面求小球平抛时间分解速度水平vxv0竖直vygt合速度v如图，vygt，tan ，故t分解速度，构建速度三角形分解位移水平xv0t竖直ygt2合位移x合如图，xv0t，ygt2，而tan ，联立得t分解位移，构建位移三角形图4210【典例】(2013·上海卷，19)如图4210所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为，由此可算出()A轰炸机的飞行高度B轰炸机的飞行速度C炸弹的飞行时间D炸弹投出时的动能解析设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为

8、s，则Hhvy t，xv0t，二式相除·，因为，x，所以Hh，A正确；根据Hhgt2可求出飞行时间，再由xv0t可求出飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误答案ABC即学即练如图4211所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球改用2v0抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为()图4211A11B12C13D14解析因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan ，所以.答案B1.作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小2大

9、小：Fmm2rmrmv42mf2r.3方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力4来源向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供.离心现象(考纲要求 )1.定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动2本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的趋势图4313受力特点当Fmr2时，物体做匀速圆周运动；当F0时，物体沿切线方向飞出；当Fmr2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力，如图431所示热点一描述圆周运动的各物理量间的关系1圆周运动各物理量间的关系2

10、对公式vr的理解当r一定时，v与成正比当一定时，v与r成正比当v一定时，与r成反比3对a2rv的理解在v一定时，a与r成反比；在一定时，a与r成正比反思总结常见的三种传动方式及特点1皮带传动：如图433甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.图4332摩擦传动：如图434甲所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vAvB.图4343同轴传动：如图434乙所示，两轮固定在一起绕同一转轴转动，两轮转动的角速度大小相等，即AB.热点二匀速圆周运动中的动力学问题1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也

11、可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力2向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力物理建模6.竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑2模型特点该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件由mgm得v临由小球恰能做圆周运动即得v临0讨论分析(1)过最高点时，v，FNmgm，

12、绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点v，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道(1)当v0时，FNmg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0v时，FNmgm，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v时，FN0(4)当v时，FNmgm，FN指向圆心并随v的增大而增大图437【典例】 如图437所示，2012年8月7日伦敦奥运会体操男子单杠决赛，荷兰选手宗德兰德荣获冠军若他的质量为60 kg，做“双臂大回环”，用双手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动此过程中，运动员到达最低点时手臂受的总拉力至少约为(忽略空气阻力，g10 m/s2)()A600 NB2 400 NC3 000 ND3 6

13、00 N审题指导关键点：运动员以单杠上某一点为圆心做圆周运动属于竖直面内圆周运动的杆模型牛顿第二定律和机械能守恒定律自己试一试哟！解析设运动员在最低点受的拉力至少为FN，此时运动员的重心的速度为v，设运动员的重心到手的距离为R，由牛顿第二定律得：FNmgm又由机械能守恒定律得：mg·2Rmv2由以上两式代入数据得：FN5mg，运动员的重力约为Gmg600 N，所以FN3 000 N，应选C.答案C反思总结竖直面内圆周运动的求解思路(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同(2)确定临界点：v临，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说

14、是FN表现为支持力还是拉力的临界点(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合F向(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比2表达式：FGG为引力常量：G6.67×1011 N·m2/kg2.3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质

15、点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离1.第一宇宙速度又叫环绕速度2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度4第一宇宙速度的计算方法(1)由Gm得v.(2)由mgm得v.1.第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度2第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度热点一星体表面上的重力加速度问题计算重力加速度的方法(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mgG，得g(2)在地球上空

16、距离地心rRh处的重力加速度为g，mg，得，g所以(3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析热点二天体质量和密度的估算1天体质量及密度的估算(1)天体质量的估算：已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由Gm2r得M，只能用来求中心天体的质量已知天体表面重力加速度、天体半径和引力常量，由mgG得M.(2)天体密度估算一般在质量估算的基础上，利用M×R3进行2估算天体问题应注意三点(1)天体质量估算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等(2)注意黄金代换式GMgR2的应用(3)注意密度公式的理解和应用热点三卫星运行参量的分析与计算1利用万有引力定律解

17、决卫星运动的一般思路(1)一个模型天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型(2)两组公式Gmm2rmrmamg(g为星体表面处的重力加速度)2卫星的线速度、角速度、周期与轨道半径的关系当r增大时3地球同步卫星的特点轨道平面一定轨道平面与赤道平面重合高度一定距离地心的距离一定，h4.225×104km；距离地面的高度为3.6×104km环绕速度一定v3.08 km/s，环绕方向与地球自转方向相同角速度一定7.3×105rad/s周期一定与地球自转周期相同，常取T24 h向心加速度大小一定a0.23 m/s24.卫星的可能轨道(如图441所示)卫星的轨道平

18、面一定过地球的地心图441【典例3】 (2013·海南卷，5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍，下列说法中正确的是()A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的解析由万有引力提供向心力可知Gmmr2mr2ma，整理可得周期T，线速度v，角速度，向心加速度a，设地球的半径为R，由题意知静止轨道卫星的运行半径是r1

19、7R，中轨道卫星的运行半径是r24.4R，由比例关系可得静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍，故A正确；同理可判断出选项B、C、D均错误答案A反思总结人造卫星问题的解题技巧(1)利用万有引力提供向心力的不同表述形式：Gman；anr2r(2)解决力与运动关系的思想还是动力学思想，解决力与运动的关系的桥梁还是牛顿第二定律卫星的an、v、T是相互联系的，其中一个量发生变化，其他各量也随之发生变化an、v、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心天体质量共同决定物理建模7.宇宙双星模型1模型条件(1)两颗星彼此相距较近(2)两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动

20、2模型特点(1)“向心力等大反向”两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1F2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力(2)“周期、角速度相同”两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等(3)“半径反比”圆心在两颗行星的连线上，且r1r2L，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比3解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题的“两等”：它们的角速度相等双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的(2)“两不等”：双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等

21、的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离由m12r1m22r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等【典例】 (2013·山东卷，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.TBTCTDT解析双星间的万有引力提供向心力设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.对

22、质量为m的恒星：Gm2r对质量为M的恒星：GM2(Lr)得GL，即T2则当总质量为k(Mm)，间距为LnL时，TT，选项B正确答案B反思总结双星系统问题的误区(1)不能区分星体间距与轨道半径：万有引力定律中的r为两星体间距离，向心力公式中的r为所研究星球做圆周运动的轨道半径(2)找不准物理现象的对应规律图444即学即练如图444所示，双星系统中的星球A、B都可视为质点，A、B绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，A、B之间距离不变，引力常量为G，观测到A的速率为v、运行周期为T，A、B的质量分别为m1、m2.(1)求B的周期和速率(2)A受B的引力FA可等效为位于O点处质量为m的星体对它的引力，试

23、求m.(用m1、m2表示)解析(1)设A、B的轨道半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的周期T、角速度都相同，根据牛顿第二定律有FAm12r1，FBm22r2，即.故B的周期和速率分别为：TBTAT，vBr2.(2)A、B之间的距离rr1r2r1，根据万有引力定律有FAGG，所以m.答案(1)T(2)专题四剖析卫星运动问题中的“两大难点”难点一近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的三种匀速圆周运动的比较(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r同>r近r物(2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相

24、同由T2可知，近地卫星的周期要小于同步卫星的周期，即T近<T同T物(3)向心加速度：由Gma知，同步卫星的加速度小于近地卫星的加速度由ar2r2知，同步卫星的加速度大于赤道上物体的加速度，即a近>a同>a物(4)动力学规律：近地卫星和同步卫星都只受万有引力作用，由万有引力充当向心力，满足万有引力充当向心力所决定的天体运行规律赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力充当向心力(或者说由万有引力的分力充当向心力)，它的运动规律不同于卫星的运动规律难点二卫星的变轨问题1卫星变轨的原因(1)由于对接引起的变轨(2)由于空气阻力引起的变轨2卫星变轨的实质(1)当卫星的速度突然增加时，G

25、<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v可知其运行速度比原轨道时减小(2)当卫星的速度突然减小时，G>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v可知其运行速度比原轨道时增大卫星的发射和回收就是利用这一原理一、选择题(本题共9小题，在每小题给出的四个选项中，第15题只有一项符合题目要求，第69题有多项符合题目要求)1如图1所示，P是水平地面上的一点，A、B、C、D在同一条竖直线上，且ABBCCD.从A、B、C三点分别水平抛出一个物体，这

26、三个物体都落在水平地面上的P点则三个物体抛出时的速度大小之比vAvBvC为()图1A.B1C123D1112在光滑水平面上，一根原长为l的轻质弹簧的一端与竖直轴O连接，另一端与质量为m的小球连接，如图2所示当小球以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v1时，弹簧的长度为1.5l；当它以O为圆心做匀速圆周运动的速率为v2时，弹簧的长度为2.0l，则v1与v2的比值为()图2A.BC.2D23如图3所示，半径为R的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为()图3A3mgB4mgC5mgD6mg4如图4所示，一物体自P点以初速度10 m/s做

27、平抛运动，恰好垂直打到倾角为45°的斜面上的点(g10 m/s2)，则P、Q两点间的距离为()图4A5 mB10 mC5 mD条件不足，无法求解5质量m4 kg的质点静止在光滑水平面上的直角坐标系的原点O，先用沿x轴方向的力F18 N作用了2 s，然后撤去F1；再用沿y轴方向的力F224 N作用了1 s，则质点在这3 s内的轨迹为()6地球同步卫星轨道必须在赤道平面上空，和地球有相同的角速度，才能和地球保持相对静止关于各国发射的地球同步卫星，下列表述正确的是()A所受的万有引力大小一定相等B离地面的高度一定相同C运行的速度都小于7.9 km/sD都位于赤道上空的同一个点7关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是()A物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同B物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变C物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心D物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直8如图5所示，a为赤道上的物体，随地球自转做匀