格林公式及其应用1

1、一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设d为平面区域为平面区域, , 如果如果d内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于d, , 则称则称d为平面单连通区为平面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域dd 设空间区域设空间区域g, , 如果如果g内任一闭曲面所围成内任一闭曲面所围成的区域全属于的区域全属于g, , 则称则称g是空间二维单连通域是空间二维单连通域; ; 如果如果g内任一闭曲线总可以张一片完全属于内任一闭曲线总可以张一片完全属于g的曲面的曲面, , 则称则称g为空间一维单连通区域为空间一维单连通

2、区域. .ggg一维单连通一维单连通二维单连通二维单连通一维单连通一维单连通二维不连通二维不连通一维不连通一维不连通二维单连通二维单连通 设闭区域设闭区域d由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线l围围成成, ,函数函数),(),(yxqyxp及及在在d上具有一阶连上具有一阶连续偏导数续偏导数, , 则有则有 ldqdypdxdxdyypxq)( (1) (1)其中其中l是是d的取正向的边界曲线的取正向的边界曲线, ,公式公式(1)(1)叫做叫做格林公式格林公式. .二、格林公式二、格林公式定理定理1 1连成连成与与由由21lll组成组成与与由由21lll边界曲线边界曲线l l的正向的正向: 当观察者

3、沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域d总在他的左边总在他的左边.2ld1l2l1ld),()(),(21bxaxyxyxd 证明证明(1)(1)若区域若区域d既是既是 x型型又是又是 y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和l至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxd yxo abdcd)(1xy )(2xy abce)(2yx )(1yx dxxqdydxdyxqyydcd )()(21 dcdcdyyyqdyyyq),(),(12 caecbedyyxqdyyxq),(),( eaccbedyyxqdyyxq),(),( ldyyxq),(同理可证同

4、理可证 lddxyxpdxdyyp),(yxod)(2yx dcce)(1yx 若若区区域域d由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成. .如如图图, ,证明证明(2)(2)l1l2l3ld1d2d3d两式相加得两式相加得 ldqdypdxdxdyypxq)(将将d分成三个既是分成三个既是 x型又是型又是 y型的区域型的区域1d, ,2d, ,3d. . 321)()(dddddxdyypxqdxdyypxq 321)()()(ddddxdyypxqdxdyypxqdxdyypxq 321lllqdypdxqdypdxqdypdx lqdypdx1d2d3dl1l2l3l),(32, 1来

5、说为正方向来说为正方向对对dlllgd3l2lfce1lab证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段abab, ,cece. .则则d的边界曲线由的边界曲线由abab, ,2l, ,ba,ba,afc,ceafc,ce, , 3l, , ecec及及cgacga构成构成. .由由(2)知知 ddxdyypxq)( ceafcbalab2 cgaeclqdypdx)(3 lqdypdx 231)(lllqdypdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对dlll便便于于记记忆忆形形式式: ldqdypdxdxdyqpyx.格格林

6、林公公式式的的实实质质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.xyol例例 1 1 计算计算 abxdy,其中曲其中曲线线ab是半径为是半径为r的圆在的圆在第一象限部分第一象限部分.解解 引引入入辅辅助助曲曲线线l,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简单应用abdboaboal 应应用用格格林林公公式式, xqp , 0 有有 ldxdydxdy, boaboaxdyxdyxdy, 0, 0 booaxdyxdy由于由于.412rdxdyxdydab 例例 2 2 计计算算 dydxdye2,其其中中d是是以以)1 , 0()

7、,1 , 1(),0 , 0(bao为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeqp ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoab11d则则 2yeypxq ,应应用用格格林林公公式式, ,有有 boaboaydydyxedxdye22 1022dxxedyxexoay).1(211 e例例3 3 计算计算 lyxydxxdy22, ,其中其中l为一条无重点为一条无重点, ,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, ,l的方的方向为逆时针方向向为逆时针方向. .则则当当022 yx时时, , 有有ypyxxyxq 22222)(.记记l所所围

8、围成成的的闭闭区区域域为为d,解解令令2222,yxxqyxyp ,l( (1 1) ) 当当d )0, 0(时时, ,(2) 当当d )0 , 0(时时,1drlxyold由由格格林林公公式式知知 lyxydxxdy022作作位位于于d内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1d由由l和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo llyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1dll02222 llyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 20格林公式

9、格林公式: ldqdypdxdxdyypxq)(取取,xqyp 得得 ldydxxdydxdy2闭闭区区域域d的的面面积积 lydxxdya21.取取, 0 xqp 得得 lxdya取取, 0, qyp 得得 lydxa3. 3. 计算平面面积计算平面面积曲线曲线amo由函数由函数, 0,axxaxy 表示表示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积. .解解ona为为直直线线0 y. lydxxdya21 amoonaydxxdyydxxdy2121)0 ,(aanm amoydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aanm四、小结四、小结1.1.连通区域的概念连通区域的概念; ;2.2.二重积分与曲线积分的关系二重积分与曲线积分的关系3. 3. 格林公式的应用格林公式的应用. .格林公式格林公式; ; ldqdypdxdxdyypxq)(