探讨中考数学新定义问题的解题策略

1、    探讨中考数学“新定义”问题的解题策略    吴小嵘摘要：近几年各省、市数学中考题中不断出现“新定义”型问题，所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。关键词：特例探索；归纳证明；拓展应用；思维能力；创新能力：g633.6 ：a ：1992-7711（2017）04-0102近几年各省、市数学中考题中不断出现“新定义”型问题，所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型，它能

2、考查学生对新概念（公式）特性的理解和认识，能考查学生适应新问题、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生的自学能力，以及信息的收集、迁移和应用能力，它对培养学生的思维能力和创新能力就有很好的促进作用。同时，此类题型新颖别致，颇具魅力，已成为中考试题中新亮点。本文先以最近两年江西省两道“新定义”中考试题为例进行探讨。例1（2015江西省中考题24题）：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”。例如图1，图2，图3中，af，be是abc的中线，afbe，垂足为p，像abc这样的三角形均为“中垂三角形”。设bc=a，ac=b，ab=c。特例探索：（1）如图1，当abe=45°，c

3、=2时，a= ，b= ；如图2，当abe=30°，c=4时，a= ，b= ；归纳证明：（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用：（3）如图4，在abcd中，点e，f，g分别是ad，bc，cd的中点，beeg，ad=，ab=3。求af的长。分析：本题定义了一种新的“中垂三角形”，三个环节围绕着新定义展开阅读、感知、理解，计算、猜想、论证与拓广应用；本题运用了中位线的性质、勾股定理、等腰直角三角形、全等三角形，相似三角线、平行四边形等有关知识。本题要求解答者读懂题意并结合已有的知识进行理解，再根据新的定义

4、进行运算、猜想、推理，归纳、证明、迁移，拓展应用。解：（1）如图1，连接ef，则ef是abc的中位线，ef=ab=，abe=45°，aeef .abp是等腰直角三角形，efab ，efp也是等腰直角三角形，ap=bp=2，ep=fp=1，ae=bf=，a=b=2.如图2，连接ef，则ef是abc的中位线.abe=30°，aebf，ab=4，ap=2，bp=2，efab，pe=，pf=1，ae=，bf= a=2，b=2.（2）a2+b2=5c2如圖3，连接ef， 设ap=m，bp=n，则efab，pe=bp=n，pf=ap=m，ae2=m2+n，bf2=n2+m2，b2=ac

5、2=4ae2=4m2+n2，a2=bc2=4bf2=4n2+m2a2+b2=5（m2+n2）=5c2（3）如图，连接ac，ce，延长ce交ba的延长线于点h。在acd中，e，g是分别是ad，cd的中点，egac。beeg，acbe。又abcd，aebc，ad=bc，bc=2ae。haehbc。=，ha=ab，he=ec。be，ca是hbc的中线。hbc是“中垂三角形”，hb2+hc2=5bc2。又ab=3，ae=，hb=6，bc=2. .即hc=8.af是hbc的中位线，af=hc=4。思考：第（1）问设计特例探索仅仅认知了“中垂三角形”，但隐含了解决第（2）题思路方法，特别是中位线构造；第（

6、2）问通过（1）猜想归纳中垂三角形一般结论并还是需要严格的几何逻辑推理证明。第（3）小题解题方法多样，主要是通过添加辅助线构造“中垂三角形”，然后再运用（2）问的一般结论求af的长，有一定难度。但是，从整道题来看，第（1）小题和第（2）小题作为“路标”，解决第（3）小题可以拾阶而上，让学生经历对新概念的理解、操作、运用和证明过程。此题解决的关键是先从特殊图形出发，理解新概念的内涵，抓住本质，逐步归纳出解决一般情形的方法，然后进行拓展应用。例2（2016年江西省中考题22题）【图形定义】：如图，将正n边形绕点a顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点o，连接ao，我们称ao为“

7、叠弦”；再将“叠弦”ao所在的直线绕点a逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点p，连接po，我们称oab为“叠弦角”，aop为“叠弦三角形”。【探究证明】：（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（即aop）是等边三角形；（2）如图2，求证：oab=oae。【归纳猜想】：（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为 ，（4）图n中，“叠弦三角形” 等边三角形（填“是”或“不是”）；（5）图n中，“叠弦角”的度数为 （用含n的式子表示）。分析：本题定义了“叠弦三角形”的概念，围绕它的定义进行猜想、探究、证明。本题运用了旋转的性质，等边三角形、全等三角形的性质和判断方法及正多边

8、形等有关知识。本题要求解答者读懂题意并结合已有的知识进行理解，再根据已学的概念进行探究证明、归纳猜想。 （1）如图1，四abcd是正方形，由旋转知：ad=ad，d=d=90°，dad=oap=60°dap=dao，apdaod（asa）ap=ao，又oap=60°，aop是等边三角形.（2）如右图，作amde于m，作ancb于n.五边形abcde是正五边形，由旋转知：ae=ae，pea=e=108°，eae=oap=60°eap=eao，apeaoe（asa）oae=pae.在rtabm和rtabn中，m=n=90°abm=abn=7

9、2°ae=abrtaemrtabn （aas）。eam=ban，am=an.在rtapm和rtaon中，ap=aoam=anrtapmrtaon（hl）.pam=oan，pae=oaboae=oab（等量代换）（3）15°，24°（4）是（5）oab=（n+3）×180°÷（n+3）-60°÷2=60°-。思考：此题第（1）问探究了“叠弦三角形”的形状，然后在第（2）问中探索“叠弦三角形”的“叠弦角”的性质。最后在第（3）（4）（5）问中由特殊到一般，进一步探究了“叠弦三角形”的形状及“叠弦角”的度数。题

10、目中新定义的数学概念与学生已有的数学概念和知识有机结合，通过添加辅助线，构造全等三角形，来证明等角和等线，锻炼了学生的推理能力，有助于发展学生的空间观念，较好地考查了学生获取信息及利用所获得的信息解决问题的能力，有利于培養学生形成良好的学习方式，培养了学生自主学习的能力； 灵活运用的能力。上述两道“新定义”中考试题，要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，归纳出用于应用的操作程序及步骤。其解题的过程就是将“新”规则及符号转化到“旧”的知识体系中。其解题的关键的两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法，二是根据问题情景的变化，合理进行思想方法的迁移。其解决新的途径有三种：

11、利用新知识解决问题；利用结论解决问题；利用新方法解决问题。利用新知识解决问题本题也是一种对新定义规则的应用，而新定义的规则学生是比较容易理解与掌握的。其解题方法：一般是运用新定义的法则转化成常规方法，其中运用数形结合思想、类比思想、转化思想、分类讨论思想、方程思想、函数思想等，多角度、多侧面分析问题。总之，新定义型问题，一般构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，因此在平时的学习中要加强阅读能力的培养，通过转化、类比、推广等方法，建构知识网络，养成科学合理的推理运算，提高灵活综合运用所学知识解决较为复杂问题的能力。这样，学生在解决“新定义”型问题中就一定能取得更好的成绩。参考文献：1 严浩良，沈岳夫.对一道“新定义”型探究题的解法探析与拓展j.中学数学，2016（4）.2 胡伟斌.对一道新定义题的再探究j.中学数学教学参考