第八节 多元函数的极值

1、第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的

2、果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值 1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内有有定定义义，对对于于该该邻邻域域内内异异于于),(00yx的的点点),(yx： 若若恒恒有有不不等等式式),(),(00yxfyxf 成成立立，则则称称函函数数在在),(00

3、yx有有极极大大值值； 若恒有不等式若恒有不等式),(),(00yxfyxf 成立，则称函成立，则称函数在数在),(00yx有极小值；有极小值； 极极大大值值、 极极小小值值统统称称为为极极值值. .使使函函数数取取得得极极值值的的点点称称为为极极值值点点. . 极值点必须是函数定义域的极值点必须是函数定义域的内点内点.(1)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz -10-50510 x-10-50510y-10-50z-10-50510 x(2)

4、(2)-10-50510 x-10-50510y-100-50050100 xy-10-50510 x(3)(3)2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件定定理理 1 1（必必要要条条件件） 设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx具具有有偏偏导导数数，且且在在点点),(00yx处处有有极极值值，则则它它在在该该点点的的偏偏导导数数必必然然为为零零： 即即有有 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 几几何何意意义义: : 若若),(yxfz 在在点点),(00yx有有切切平平面面且且),(00yxf为为极极值值，则则切切平平面面一一定定平平行行于于 x

5、oy 平平面面 . . 不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx 都都有有 ),(yxf),(00yxf, 证证故当故当0yy ，0 xx 时时， 有有 ),(0yxf),(00yxf, 说说明明一一元元函函数数),(0yxf在在0 xx 处处有有极极大大值值, , 必必有有 0),(00 yxfx; 类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy. 推广推广：如果三元函数：如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp 具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zy

6、xp有极值的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz. 例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点， 但不是极值点但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.注意：注意：有偏导数有偏导数的函数极值点必为驻点；的函数极值点必为驻点；但驻点未必是极值点但驻点未必是极值点.极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点极值可疑点：驻点或一阶偏导数不存在的点.问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否

7、为极值点？极值点也可能是一阶偏导不存在的点极值点也可能是一阶偏导不存在的点. .定理定理2 2（充分条件充分条件）设设函函数数),(yxfz 在在点点),(00yx的的某某邻邻域域内内连连续续，有有一一阶阶及及二二阶阶连连续续偏偏导导数数， 又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令ayxfxx ),(00，byxfxy ),(00，cyxfyy ),(00， 则则( (1 1) )02 bac时时，),(00yxf为为极极值值，且且当当0 a 时时),(00yxf为为极极大大值值，当当0 a时时),(00yxf为为极极小小值值； ( (2 2) ) 02 bac时时，

8、),(00yxf不不是是极极值值； (3) (3) 02 bac时，时，),(00yxf是否为极值还需另作是否为极值还需另作讨论讨论 .12153),(423的极值的极值、求、求例例yxxyxyxf 3 3、多元函数的最值、多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值极值来求函数的最大值和最小值.设函数设函数 z = f (x , y) 在在闭闭区域区域 d 上连续上连续 , 则则函数在函数在 d 上上必有最大值和最小值必有最大值和最小值 . . z = f (x , y) 的最值既可在的最值既可在 d 的内点处取得的内点

9、处取得 , 也可也可在在 d 的边界点处取得的边界点处取得 . .设函数设函数 z = f (x , y) 在在闭闭区域区域 d 上连续、可微上连续、可微 , 且且只有有限个极值点只有有限个极值点 , 若最值若最值在在 d 内取得内取得 , 则则最值最值点必是极值点点必是极值点 . . 求出函数在求出函数在 d 内的所有驻点、不可求偏导内的所有驻点、不可求偏导的点处的函数值和的点处的函数值和在在 d 的边界上的最大值和最的边界上的最大值和最小值小值相互比较，这些值中最大者即为最大值，相互比较，这些值中最大者即为最大值，最小者即为最小值最小者即为最小值. .求最值的一般方法求最值的一般方法：例例

10、 6 6 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x 轴轴和和 y 轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域d 上上的的最最大大值值与与最最小小值值. 求实际问题中，由问题的实际意义可知函求实际问题中，由问题的实际意义可知函数数 f (x , y) 有最值，且在有最值，且在 d 内只有唯一的驻点，内只有唯一的驻点，则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值则该驻点的函数值就是所求的最大值或最小值. .,7乘积最大乘积最大使它们的使它们的分为三个正数之和分为三个正数之和、把正数、把正数例例a三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法无条件极值无条件极值：对自变量

11、除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxulnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxulnln),( 200108 yx条件极值条

12、件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法求求函函数数),(yxfz 在在条条件件0),( yx 下下的的极极值值 . . 先先构构造造函函数数 ),(),(),(yxyxfyxf ， （其其中中 为为待待定定系系数数） 由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的极极值值点点的的坐坐标标. 求函数求函数),(zyxfu 在条件在条件 0),( zyx 下的极值下的极值. 先构造函数先构造函数 ),(),(zyxfzyxf ),(zyx 其中其中 为待定

13、系数，可由为待定系数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(, 0),(),(zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxfzzyyxx 解出解出zyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标. 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个或约束条件有多个的情况：条件有多个的情况： 或或： 求求函函数数),(tzyxfu 在在条条件件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下下的的极极值值. 先先构构造造函函数数 ),(),(21tzyxftzyxf ),(),(21tzyxtzyx 其其中中21, 均均为为待待定定系系数数，可可由由 偏偏

14、导导数数为为零零及及条条件件解解出出tzyx,，即即得得极极值值点点的的坐坐标标. 例例 8 8 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxf , 120020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为解解设设),(000zyxp为为椭椭球球面面上上第第一一卦卦限限一一点点, 令令1),(222222 czbyaxzyxf,则则202|axfpx ， 202|byfpy ， 202|

15、czfpz 过过),(000zyxp的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,例例 9 9 在在椭椭球球面面1222222 czbyax的的第第一一卦卦限限求求一一点点，使使该该点点的的切切平平面面与与三三坐坐标标面面围围成成的的四四面面体体的的体体积积最最小小. . 化简为化简为 1202020 czzbyyaxx, 该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所围四面体的体积所围四面体的体积 000222661zyxcbaxyzv , 求求0002226zyxcbav 在在条条件件1

16、220220220 czbyax下下的的最最小小值值, 即即求求000zyxu 在在条条件件1220220220 czbyax下下的的最最大大值值, )1(),(220220220000000 czbyaxzyxzyxg 令令由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxgggzyx当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时, 四面体的体积最小四面体的体积最小abcv23min .可得可得即即30ax 30by ，30cz 01020202220220220200020002000czbyaxczyxbyzxaxzy 当当切切点点坐坐标标为为 (3a，3b，3c)时时,

17、四面体的体积最小四面体的体积最小abcv23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 多元函数的极值多元函数的极值条件极值与拉格朗日乘数法条件极值与拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxy

18、xf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直线线的的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. .三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球