高数空间解析几何课件

1、高数空间解析几何PPT课件曲面讨论的两个基本问题：曲面讨论的两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知方程）已知方程 F (x, y, z ) =0，研究这方程的图形；，研究这方程的图形；二、旋转曲面二、旋转曲面定直线定直线 L 称为旋转轴称为旋转轴.一条曲线一条曲线 C 绕绕其平面其平面上上一条直线一条直线 L 旋转所形成的曲面，旋转所形成的曲面，称为称为旋转曲面旋转曲面 .高数空间解析几何PPT课件 绕绕 z 轴轴旋转所旋转所成的旋转曲面成的旋转曲面 的方程的方程. 建立建立 y oz 面上曲线面上曲线 C : f ( y , z

2、) = 0 设设 M( x, y, z ) 为旋转曲面上任意一点，为旋转曲面上任意一点，过点过点 M 作平面垂直于作平面垂直于 z 轴轴，交交 z 轴于点轴于点 P ( 0, 0, z )，交曲线交曲线 C 于点于点M0( 0, y0, z0 ).显然显然xyzO00,PMPMzz 22,PMxy ,00yPM 220,yxy 因为因为 M0 在曲线在曲线 C 上，故上，故 f ( y0 , z0 ) = 0即得即得 C 绕绕 z 轴旋转的轴旋转的旋转曲面方程旋转曲面方程:. 0),(22 zyxf同理同理, C 绕绕 y 轴旋转的旋转曲面方程轴旋转的旋转曲面方程:22( ,)0.f yxz

3、C M0. .P . .M高数空间解析几何PPT课件L直线直线 L 绕另一条与绕另一条与 L 相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面相交的直线旋转所成的旋转面叫圆锥面圆锥面的顶点圆锥面的顶点 ,圆锥面的半顶角圆锥面的半顶角a ( 0 a pa ( 0 a p / / 2)2)a a). .建立以顶点为原点建立以顶点为原点,旋转轴为旋转轴为 z 轴轴, 半顶角半顶角为为 a a 的圆锥面方程的圆锥面方程yoz 坐标面上直线坐标面上直线L的方程的方程 z = y cota a故故 L 绕绕 z 轴旋转的方程轴旋转的方程 z = y cota a22xy 令令 cota a = a ,则所求圆锥面方程为

4、则所求圆锥面方程为),(2222yxaz P25例例 4高数空间解析几何PPT课件P26例例 5xoz 坐标面上的双曲线坐标面上的双曲线 22221xzac 分别绕分别绕 x、z 轴轴旋旋xzo转一周，求所得旋转曲面方程转一周，求所得旋转曲面方程绕绕 x 轴轴转所得曲面称为转所得曲面称为旋转双叶双曲面旋转双叶双曲面, 曲面方程为曲面方程为22yz 2222221xyzacc 绕绕 z 轴轴转所得曲面称为转所得曲面称为旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面, 曲面方程为曲面方程为22xy 2222221xyzaac xzo高数空间解析几何PPT课件yoz 坐标面上的抛物线坐标面上的抛物线 z = ay2

5、绕绕 z 轴旋转所得的曲面轴旋转所得的曲面方程为方程为),(22yxaz 称为称为旋转抛物面旋转抛物面. 当当 a 0 时，旋转抛物面的开口向下时，旋转抛物面的开口向下.一般地，一般地， 2222byaxz 所表示的曲面称为所表示的曲面称为椭圆抛物面。椭圆抛物面。xyzO请写出旋转椭球面方程请写出旋转椭球面方程高数空间解析几何PPT课件三、柱面三、柱面曲线曲线 C 称为柱面的称为柱面的准线准线，平移的动直线平移的动直线 L 叫柱面的叫柱面的母线母线.动直线动直线 L沿给定曲线沿给定曲线 C 平移所形成的曲面称为柱面平移所形成的曲面称为柱面.高数空间解析几何PPT课件 LC方程方程 f (x ,

6、 y)= 0 在在 xoy 平面上表示一条曲线平面上表示一条曲线 C 在在 Oxyz 空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面空间坐标系中应视作三元方程而表示一曲面S S xyzO设设 xOy 平面上点平面上点 N (x , y) 在曲线在曲线 C 上上, ,即即 f (x , y)= 0 过过 N 作作z 轴平行线轴平行线 l, , 则则l 上的点上的点M (x , y , z)满足空间坐标系满足空间坐标系 Oxyz 中的三元方程中的三元方程 f (x , y)= 0 反之亦然反之亦然 因此方程因此方程 f (x , y)= 0 在在 oxyz 空间空间坐标系中表示由平行坐标系中表示由平行 z

7、 轴直线轴直线 l沿曲线沿曲线 C 平移所成曲面平移所成曲面. . M. . N高数空间解析几何PPT课件 平行于平行于 z 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.方程方程 f(x, y)= 0 在空间表示以在空间表示以 xoy 坐标面上的坐标面上的曲线为准线，曲线为准线，类似地，类似地， 方程方程 f( ( y , z) )= 0在空间表示以在空间表示以 yoz 坐标面上的坐标面上的曲线为准线，平行于曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.方程方程 f( ( x , z) )= 0在空间表示以在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准坐标面上的曲线为准线，平行于线

8、，平行于 y 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面.简单地说，平面坐标系中的曲线方程简单地说，平面坐标系中的曲线方程在空间坐标系中就表示柱面在空间坐标系中就表示柱面-举例举例高数空间解析几何PPT课件椭圆柱面：椭圆柱面：12222 byaxxyzOxyzO平行于平行于z 轴的直线为母线轴的直线为母线.xoy 坐标面上的椭圆为准线、坐标面上的椭圆为准线、高数空间解析几何PPT课件1422 zx 平行于平行于 y 轴的直线为母线的柱面轴的直线为母线的柱面, 方程方程 在空间表示以在空间表示以 xo z 坐标面上的椭坐标面上的椭圆为准线，圆为准线，xyzO2高数空间解析几何PPT课件xyzO双曲

9、柱面双曲柱面22221xyba平行于平行于z 轴的直线为母线轴的直线为母线.xoy 坐标面上的抛物线为准线、坐标面上的抛物线为准线、高数空间解析几何PPT课件平行于平行于z 轴的直线为母线轴的直线为母线.xyzO抛物柱面抛物柱面 x2 = ayxoy 坐标面上的抛物线为准线、坐标面上的抛物线为准线、高数空间解析几何PPT课件三元二次方程三元二次方程平面称为平面称为一次曲面一次曲面截痕法截痕法： 曲面形状曲面形状已知平行截面面积可计算体积已知平行截面面积可计算体积; ;已知平行截面形状可掌握曲面形状已知平行截面形状可掌握曲面形状四、二次曲面四、二次曲面所表示的曲面所表示的曲面称为称为二次曲面二次

10、曲面.0),( zyxF二平面的交线是直线二平面的交线是直线; ;平面和曲面的交线是平面曲线平面和曲面的交线是平面曲线; ;二个曲面的交线是空间曲线二个曲面的交线是空间曲线; ;曲面方程曲面方程, ,平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）平行平面与曲面相截所得的交线（即截痕）, ,高数空间解析几何PPT课件 椭圆锥面椭圆锥面22222xyzabxyo当当 x=0为二条相交直线为二条相交直线 y= bz高数空间解析几何PPT课件 n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0的图形是以原点为顶点的锥面；的图形是以原点为顶点的锥面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齐次的：次齐次的： ).,

11、(),( zyxFttztytxFn 若若准线准线顶点顶点n次齐次方程次齐次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原点为顶点的锥面的方程是反之，以原点为顶点的锥面的方程是锥面是直纹面锥面是直纹面x0z yt是任意数是任意数 一般锥一般锥高数空间解析几何PPT课件ozyx 椭球面椭球面1222222 czbyax 1、椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：222210 xyabz 222210 xzacy 222210yzbcx ozyx高数空间解析几何PPT课件2、椭球面椭球面 与平面与平面 z=z0 的交线为的交线为椭圆椭圆同理与平面同理与平面 x = x0 和和 y = y0

12、的交线也是椭圆的交线也是椭圆.2222220020201(1)(1),xyzzabccczzz 1222222 czbyax高数空间解析几何PPT课件3、椭球面椭球面 的几种特殊情况：的几种特殊情况：,)1(ba 1222222 czayax的旋转椭球面的旋转椭球面12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转生成轴旋转生成z122222 czayx可写成可写成,)2(cba 1222222 azayax.2222azyx 方程可写为方程可写为1222222 czbyax22221xyaa 由圆由圆 绕绕 x 轴或轴或 y 轴旋转生成的轴旋转生成的球面球面xyzO高数空间解析几何PPT课件双曲

13、面双曲面单叶双曲面单叶双曲面1222222 czbyax xyzo对垂直于对垂直于z 轴的平面轴的平面 z=z022222200221(1)(1)xyzzabcc对垂直于对垂直于y 轴的平面轴的平面 y = y022222200221(1)(1)xzyyacbb同样同样, 对垂直于对垂直于x 轴的平面轴的平面 x = x0当当 | y0|b,实轴沿实轴沿 z 轴方向轴方向高数空间解析几何PPT课件 1222222 czbyax 例如，储水塔、例如，储水塔、电视塔等建筑都电视塔等建筑都有用这种结构的。有用这种结构的。.高数空间解析几何PPT课件双叶双曲面双叶双曲面1222222 czbyaxxy

14、o高数空间解析几何PPT课件 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax单叶单叶：双叶双叶：yx zo 在平面上，双曲线有渐近线。在平面上，双曲线有渐近线。 相仿，相仿，单叶双曲面单叶双曲面和和双叶双曲面双叶双曲面有有渐近锥面渐近锥面。 用用z=z=h h去截它们，当去截它们，当| |h h| |无限增大时，无限增大时，双曲面双曲面的截口椭圆与它的的截口椭圆与它的渐近锥面渐近锥面 的截口椭圆任意接近，即：的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。双曲面和锥面任意接近。渐近锥面：渐近锥面：锥锥高数空间解析几何PPT课件（二）抛物面（二）抛物面2222

15、xyzab椭圆抛物面椭圆抛物面用坐标面用坐标面 xoy (z = 0) 与曲面相截与曲面相截得坐标原点得坐标原点O(0,0,0)原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.xyzo与平面与平面 z=z0 0 的交线为椭圆的交线为椭圆.与平面与平面 x=x0和和 y=y0相交均相交均截得抛物线截得抛物线线线.特殊地：特殊地：当当 a=b这是由抛物线这是由抛物线 y2=a2z 绕绕 z 轴旋转生成的轴旋转生成的旋转抛物面旋转抛物面时，方程变为时，方程变为222xyza 高数空间解析几何PPT课件oyxz双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）2222xyzab 对对 z = z0 ,对应于对

16、应于 z00, 0 的的截痕是截痕是双曲线双曲线这些双曲线都以这些双曲线都以 z0=0所对应的直线所对应的直线 为共同渐近线为共同渐近线byxa 对对 x = x0 是形状相同开口朝下的抛物线是形状相同开口朝下的抛物线对对 y = y0 则是形状相同开口朝上的抛物线则是形状相同开口朝上的抛物线Ll双曲抛物面是抛物双曲抛物面是抛物线线 l 当其顶点沿抛当其顶点沿抛物线物线L平行移动所平行移动所产生的曲面产生的曲面高数空间解析几何PPT课件 zbyax 2222高数空间解析几何PPT课件2222xyzab 当当 x = x0双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）是形状相同开口朝下的抛物线是形状相

17、同开口朝下的抛物线220221xzyba 抛物线的顶点坐标抛物线的顶点坐标 ( x0 , )2020,xa顶点坐标满足顶点坐标满足220 xzay 顶点轨迹是顶点轨迹是 xoz 平面上抛物线平面上抛物线马鞍面与马鞍面与xoz 平面相交的平面相交的截痕截痕高数空间解析几何PPT课件解解平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y轴轴的的直直线线平平行行于于yoz面面的的平平面面圆圆心心在在)0 , 0(，半半径径为为2的的圆圆以以z轴轴为为中中心心轴轴的的圆圆柱柱面面斜率为斜率为1的直线的直线平平行行于于z轴轴的的平平面面方程方程下列方程在平面

18、解析几何中和空间解析几何中分下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考题思考题高数空间解析几何PPT课件思考题思考题 3254222xzyx.316422 xzy表示双曲线表示双曲线.解答解答方程方程 3254222xzyx表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？高数空间解析几何PPT课件3 3、空间曲线、空间曲线 0),(0),(zyxGzyxF1 空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线空间曲线可视为二曲面的交线高

19、数空间解析几何PPT课件P32 例例1 方程组方程组221236xyxz xyz表示的曲线表示的曲线高数空间解析几何PPT课件222222()( )22zaxyaaxy 表示的空间曲线表示的空间曲线P32例例2 方程方程球心在原点球心在原点,半径半径为为 a 的上半球面的上半球面圆柱面圆柱面: 母线平行于母线平行于z轴轴, 底面是直径为底面是直径为 a ,圆心圆心 ( )的圆的圆, 02a) )q qxyz圆柱底面参数化圆柱底面参数化 :cos(1 cos )222aaaxxq qq q ,sin2ayq q 参数参数q q 的几何意义的几何意义: 圆心角圆心角 ,0q q 2p p代入球面方

20、程得代入球面方程得21 cossin22zaaxaaq qq q (1co s)2sin2sin2axayzaq qq qq q 高数空间解析几何PPT课件高数空间解析几何PPT课件高数空间解析几何PPT课件抛物柱面抛物柱面 x2=1-z 和平面和平面 y=0, z=0 及及 x+y=1 所围立体所围立体xyz高数空间解析几何PPT课件 )()()(tzztyytxx2 空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程空间曲线可视为二曲面的交线空间曲线可视为二曲面的交线高数空间解析几何PPT课件A MM t xyzo空间动点空间动点M 在圆柱面在圆柱面 x 2 +y 2 =a 2上以角速率上以角速率 绕绕

21、 z 轴旋转轴旋转,同时同时又以线速率又以线速率 v 沿平行于沿平行于z 轴的正向上升轴的正向上升( 其中其中 、v 都是常数都是常数), 这时动点这时动点M的轨迹称为螺旋线的轨迹称为螺旋线. 试建立它的参数方程试建立它的参数方程 解解 取时间取时间 t 为参数为参数, t =0时动点位于时动点位于 A (a,0,0)设时刻设时刻 t 时动点时动点 M 位于位于 (x, y, z)设设 M 在在 xoy 平面上的投影平面上的投影M(x, y, 0)yA xt M atax cos tay sin vtz 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程螺距螺距高数空间解析几何PPT课件高数空间解析几何PPT课

22、件塔高8米,位于飞船顶部,它装有10台发动机高数空间解析几何PPT课件高数空间解析几何PPT课件P P LCxyzO设设 L 为已知空间曲线为已知空间曲线, P P 为已知平面为已知平面三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影则以则以 L 为准线，为准线，垂直于垂直于 P P 的直线的直线为母线的柱面称为为母线的柱面称为L 关关于于 P P 的投影的投影柱面柱面投影柱面与平面投影柱面与平面P P 的交线的交线 C 称称为曲线为曲线 L 在在平面平面P P 上的上的投影曲线投影曲线.特别是以特别是以 L 为准线，为准线，母线平行于母线平行于 z 轴轴的柱面称为的柱面称为L 关关于

23、于 xoy面的面的投影柱面投影柱面, 曲线曲线 C 称为称为 L 在在xoy上的上的投影曲线投影曲线. 0),(0),(zyxGzyxF中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程：曲线曲线 L 在在 xoy 面面上的上的投影柱面投影柱面 H(x,y) = 0曲线曲线 0),(0),(zyxGzyxF中消去变量中消去变量 z ,得：得：在空间曲线的一般方程：在空间曲线的一般方程： 00),(zyxH高数空间解析几何PPT课件类似地：空间曲线类似地：空间曲线 在在 00),(xzyR 00),(yzxT面上的面上的投影曲线投影曲线yoz面上的面上的投影曲线投影曲

24、线,xoz 0),(0),(zyxGzyxF问题问题: :各个投影柱面方程是什么各个投影柱面方程是什么? ?理由是什么理由是什么? ?曲线必在柱面上曲线必在柱面上; ;柱面必包含曲线柱面必包含曲线高数空间解析几何PPT课件2222221,:(1)(1)1xyzCxyz 例例求二球面的交线求二球面的交线在在 xo y 坐标面上的投影曲线方程坐标面上的投影曲线方程.解解这就是消去这就是消去z后所得在后所得在 xoy 坐标面的投影柱面方程，坐标面的投影柱面方程，因而曲线因而曲线 C 在在 xo y 坐标面上的坐标面上的投影曲线是椭圆投影曲线是椭圆.221()2111240yxz 把把 x2+ y 2

25、+z2 =1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 y+z=1把把 y+z=1 代入代入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得得 x2 +2y 2 -2y =0zxy高数空间解析几何PPT课件例例 .,)(34,2222面上的投影面上的投影求它在求它在锥面所围成锥面所围成和和由上半球面由上半球面设一个立体设一个立体xoyyxzyxz 解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为 , )(3,4:2222yxzyxzC, 122 yxz 得投影柱面得投影柱面消去消去zxyo1C面面上上的的投投影影为为在在则则交交线线xoyC . 0, 122zyx圆圆面面上上的的投投影影为为所所求求立立体体在在 xoy.