高斯求积公式课件

1、高斯求积公式高斯求积公式 引言 求积公式 高斯求积公式的系数和余项 举例 高斯求积公式引言n+1个节点的插值求积公式个节点的插值求积公式的代数精确度不低于的代数精确度不低于n求积公式求积公式,能不能在区间能不能在区间a,b上适当选上适当选择择n个节点个节点x1,x2,xn,使插值求积公式使插值求积公式的代数精度高于的代数精度高于n？ 答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度最高达到2n+1，这就是所要介绍的高斯求积公式。这就是所要介绍的高斯求积公式。为考虑一般性为考虑一般性,设求积公式为设求积公式为bankkkxfAdxxf0)()(是权函数

2、0)()()()(1xxfAdxxfxbankkk注意此时的代数精度最高为注意此时的代数精度最高为2n-1高斯求积公式（一）定理：（一）定理： 求积公式求积公式 的的代数精度最高不代数精度最高不超超2n-1次。次。 证明：分别取证明：分别取 f(x)=1, x，x2，.xn 时代入公式，并让其成为等式得时代入公式，并让其成为等式得 A1 + A2 + + An =ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x1 rA1 + x2 rA2+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 上式共有上

3、式共有 r 个个 等式，等式，2n个待定系数个待定系数(变元变元),要想如上方程组有唯一解，应有方要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数程组中方程的个数等于变元的个数,即即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是数精度至少是2n-1,下面下面证明代数精度只能是证明代数精度只能是2n-1. 如果事先已选定如果事先已选定a ，b中求积节点中求积节点xk如下如下a x1 x n b,上式成为上式成为n个未知个未知数数 A1、.An的的n元线性方程组，此时要元线性方程组，此时要r=n 时方程组时方程组有唯一解有唯一解 bankkkxfA

4、dxxfx1)()()(高斯求积公式 事实上,取 2n次多项式次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2.(x-xn)2 代入求积公式,有左= 右= =0左右,故不成立等式,定理得证. 定义定义: 使求积公式使求积公式达到最高代数精度达到最高代数精度2n-1的求积公式称为的求积公式称为Guass求积公式求积公式Guass求积公式的节点xk称为Guass点点,系数Ak称为Guass系数系数.因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论结论:插值型插值型求积公式的代数精度求积公式的代数精度d满足满足：n-1 d 2n-1baodxxgx)()(nkkkxgA1)(bankkkxfAdxx

5、fx1)()()(高斯求积公式定理定理: 若f(2n)(x)在a,b上连续，则高斯求积公式的余项为其中(a,b),w(x)=(x-x1)(x-x2).(x-xn)。高斯求积公式的系数高斯求积公式的系数Ak恒为正恒为正,故高斯求积公式是稳定的故高斯求积公式是稳定的. Guass求积公式有多种求积公式有多种,他们的他们的Guass点点xk, Guass系数系数Ak都有表可以查询都有表可以查询.dxxwxnfRbannn)()()!2()(2)2(高斯求积公式常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式1.Gauss - Legendre 求积公式求积公式 (1)其中高斯点为Legendre多项式的零点 L

6、n(x)=对于一般有限区间对于一般有限区间a,b，用线性变换用线性变换x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成使它变成为为-1,1。111)()(nkkkxfAdxxfnnnndxxdn)1(!212高斯求积公式 n xk(n) Ak(n) Rn1 0 2 2 -0.5773503 1 +0.5773503 1 3 -0.7745967 5/9=0.5555556 +0.7745967 5/9=0.5555556 0 8/9=0.8888889 4 -0.8611363 0.3478548 -0.3399810 0.6521452 +0.3399810 0.6521452 +0.86113

7、63 0.3478548 5 -0.9061799 0.2369269 -0.5384693 0.4786287 0 0.5688889 +0.5384693 0.4786287 +0.9061799 0.2369269 )(157501)6(f3472875)()8(f1237732650)()10(fGauss- Legendre 点及系数表点及系数表)(31f)(1351)4(f高斯求积公式例题例题利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算解令x=1/2 (1+t), 则用高斯-Legendre求积公式计算求积公式计算.取n=5 积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公

8、式精确度是很高的101xdx111031tdtxdxI)5(5)5(5)5(2)5(2)5(1)5(1313131tAtAtAI69314719. 0高斯求积公式2.Gauss - Chebyshev 求积公式求积公式 (2)其中高斯点为Chebyshev 多项式Tn(x)的零点 Tn(x)=cos(narccos(x)1112)(1)(nkkkxfAdxxxfnAnkxkk,2) 12(cos高斯求积公式3.Gauss - Laguerre 求积公式求积公式 (3)4 .Gauss - Hermite 求积公式求积公式 (4)01)()(nkkkxxfAdxxfenkkkxfAdxxfxe1

9、)()(2高斯求积公式例题例题:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较令I= 各种做法比较如下： 一、Newton-Cotes公式公式 当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831dxxx10sindxxx10sin高斯求积公式94569086. 0) 1 ()7()(2)0(2sin10fhfhffhdxxx 二二:用复化梯形公式用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 三：用复化抛物线

10、令h=1/8=0.125946083305. 0) 1 ()6()2(2)7()(4) 0(3sin10fhfhfhfhffhdxxx高斯求积公式 四、 Romberg公式公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831高斯求积公式17745907. 0) 17745907. 0(21sin5555556. 0I 五、五、Gauss公式公式 令x=(t+1)/2, 用用2个节点的个节点的Gauss

11、公式公式 用用3个节点的个节点的Gauss公式公式 =0.9460831 9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sinI1021sin8888889. 017745907.0)17745907.0(21sin5555556.0dtttI1112/)1sin(高斯求积公式比较 此例题的精确值为0.9460831. 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。高斯求积公式总结1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算