第26讲进位制问题

1、第26讲进位制问题内容概述本讲不着重讨论进制屮运算问题，我们是关心”这个数字，即为儿进制.对于进位制 我们要注意木质是："进制就是逢进一.但是，作为数论的一部分，具体到每道题则其方法还是较复杂的.说明：在本讲中的数字，不特加说明，均为十进制.典型问题1.在几进制中有4x 13=100.【分析与解】我们利用尾数分析來求解这个问题：不管在儿进制均有m xo =(“但是，式中为100,尾数为0.也就是说已经将12全部进到上一位.所以说进位制为12的约数，也就是12, 6, 4, 3, 2.但是出现了 4,所以不可能是4, 3, 2进制.我们知道10x(13) 0 = (52) 10,因52

2、 100,也就是说不到10就已经进位，才能是 100,于是我们知道n <10.所以，"只能是62.在三进制中的数12120120110110121121,则将其改写为九进制,其从左向右数第1位数 字是几？【分析与解】我们如果通过十进制來将三进制转化为九进制，那运算量很大.注意到，三进制进动两位则我们注意到进动了 3个3,于是为9.所以变为遇9进1.也 就是九进制.于是，两个数一组，两个数一组，每两个数改写为九进制，如下表：12 12012011 0110 1211213进制55164135479进制所以,首位为5.评注：若原为料进制的数，转化为料*进制，则从右往左数每£

3、;个数一组化为料*进制.如：2进制转化为8进制，23=8,则从右往左数每3个数一纽化为8进制.10 1000011012 进制158进制(10100001101) .=(2415)3. 在6进制中有三位数abc ,化为9进制为cba ,求这个三位数在进制中为多少?【分析与解】(abc) &二a x6+ b x6+c=36a +6b + c ；(cha) 9 = c x92+b x9+d=81c+9b+d .所以 36a +6b +c=81c+9b +a ；于是 35a二3b+80c ；因为35q是5的倍数，80c也是5的倍数.所以3b也必须是5的倍数，乂(3, 5)=1. 所以，b二0

4、或5. 当b =0,则 35a二80c；则 7a二 16c； (7, 16)=1,并且a、cho,所以67=16, c=7： 但是在6, 9进制，不可以有一个数字为16. 当 b 二 5,则 35。二 3x5+80c；则 7。二 3+16c； mod 7 后，3+2c 三 0所以c=2或者2+7r伙为整数).因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于 是 c 二2.于是,35a=15+80x2； a =5.于是(abc) § =(552) 6 =5 x62+5x 6+2=212.所以.这个三位数在十进制中为212.4. 设1987可以在b进制屮写成三位数xyz ,且x +y +

5、z=l+9+8+7,试确定出所有可能的尢、 y > z 及b.【分析与解】-得：(z?2-l)x + (/?-l) y =1987-25.则(b t) (b+1)兀+ (b t) y =1962,即(/? -1) (/? +1) x + y 二1962所以,1962是(b-1)的倍数.1962=2x9x109：当/?-1=9时，b=10,显然不满足;护19x 5y = 9z = 11当 b-l=ls 时,b=19,贝 ij(z?-l)(z?+l)x + y =18x (20兀+ y )=1962；则 20x + y=109,所以，x=, "二(不满足),则y = 9 y = 2

6、9显然，当/?二109不满足，b二2x109不满足，当/? =9x109也不满足.于是为(59b) |9 = (1987) i(), b 代表 11.5. 下面加法算式中不同字母代表不同的数字，试判定下面算式是什么进制，a、b、c、d的 和为多少？【分析与解】于是，我们知道«=4,所以为4进制，abc 七b d c b d c da + bbdcc+a11dcca+ 110c c/b dcd1dcd1 0c0瑟)温:唸?a + 1t0cc1 0£0于足02. jm进位制 为 2x2=4所以a-3_312+ 10210 20则 a+b+c+d=3+l+2+0=6.6. 一个非

7、零自然数，如果它的二进制表示中数码1的个数是偶数，则称z为“坏数”.例如: 18= (10010) 2是“坏数” 试求小于1024的所有坏数的个数.【分析与解】 我们现把1024转化为二进制：(1024) 1o=2,o = (10000000000)2.于是，在二进制中为11位数，但是我们只用看10位数中情况.并且，我们把不足 10 位数的在前面补上 0 ,如/ 、( 、/ ( 、111.10000.0j> v丿111.1=0111.1则，rjwrj% rim rtwyi 5不15个应以上()2j_v_丿(必1 )21必1)2<10屁迓)可以含2个1,4个1,6 个 1, 8 个

8、i, 10 个 1.于是为 u)+u)+ q+c；°+*10x9 . 10x9x8x7 . 10x9x8x7x6x5 . 10x9x8x7x6x5x4x3 . t=十十十十12lx2x3x4ix2x3x4x5x6 ix2x3x4x5x6x7x8二45+210+210+45+1二511于是，小于1024的“坏数”有511个./ 7. 计算：3x3x3.x3-l 26 的余数.v2003个3丿【分析与解】/ 、/ 、( 3x3x3.x3-l1000.x0-1二222.2l丿12003 个 3)(2001个3)3< 20()3 个 2 )26=(222) 3 所以,/x3x3x3.x

9、3-l 4-26= 222.2 十(222)j_7丿乂 一v_ 丿2003个3丿(222) 3整除(222) 3，20034-3： 6672,所以余(22) 3 =8.所以余数为8.8. 一个10进制的三位数，把它分别化为9进制和8进制数后，就又得到了 2个三位数.老 师发现这3个三位数的最高位数字恰好是3、4、5,那这样的三位数一共有多少个？【分析与解】 我们设(3ab) 10 = (4cd) 9 = (5ef ) 8 ；我们知道(4 cd) 9在(400) 9(488) 9之间，也就是4 x92-5x9-1,也就是324406； 还知道(5幼'儿 在(500) &(577)

10、 &之间，也就是5x826x8=1,也就是320383；又知道(3“)在(300)(399) ()z间.所以，这样的三位数应该在324383 z间，于是有383-324+1二60个三位数满足条件.9. 一袋花生共有2004颗，一只猴子笫一天拿走一颗花牛，从笫二天起，每天拿走的都是以 前各犬的总和. 如果氏到最示剩下的不足以一次拿走时却一次拿走，共需多少天？ 如果到某天袋里的花生少于已拿走的总数时，这一天它又重新拿走一颗开始，按原规 律进行新的一轮.如此继续，那么这袋花生被猴子拿光的吋候是笫几天？【分析与解】 我们注意到每天12348163264前若干天的和210<2004<2u前1天为1,前2天为21前3天是口所以前11天为2”，前12天是所以共需12天.2",也就是说不够笫11天拿的，但是根据题中条件知.每天11