第三讲：线性规划(两节)

1、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题二元一次不等式（组）与平面区域：1 二元一次不等式ax + by + c> 0在平面直角坐标系中 表示直线ax + by + c = 0某一侧所有点组成的平面区 域。2判断方法：直线定界，特殊点定域；若cho,则直线定界，原点定域；片算通车一、13 相关结论: 若不等式ax + by + co «0）,则边界应画成虚线,否则应画成实线。画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。若。测赣示慣线处+ by + c>q ax + by + c = q的右上方半平而；若d幺侧表乐直戯+ c <0ax

2、 + hy + c = 0的左上方半平面；若。测表示直线必+ by + c v 0ax + hy + c = q的左下方半平面;若a幺侧表乐直戯+ by + c >0ax + hy + c = 0的右下方半平面；p漳通车5（5）不等式组所表示的区域是各不等式所表示的平面区域的公共部分。片直通车t 1注：1°解题步骤： 作直线(实或虚);选特殊点并代入直线方程的左边;确定不等式所在平面区域；若不等式组，则找出公共部分。p蔼:通车例12°求整点时，可利用画表格进行求解。r寡通车8二、题组1:2.在坐标平面上，不等式组1< -3 x +11.设集合a= (x, y)

3、x, y,xy是三角形的三边长, 则a所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()所表示的平面区域的面积为()(a)7i (b) | (c)豎(d)2%<()3若a为不等式组”()表示的平面区域，则当。从y-x<22连续变化到1时，动直线兀+ y = o扫过4中的那部分区域的面积为x-yo4若不等式组$芍表示的平面区域是一个三角形,y刁0x + y w a则。的取值范围是(c. 1w更d. 0<°£1或°2彳33x + y <45已知点pg)，)的坐标满足条件)7兀，点0为坐标原x>i点，那么ipoi的最小值等于最大值等于尢+)mo,

4、6在平面直角坐标系中，不等式组*-y + 2no,表示的x < 2平面区域的面积是()(a)4v2(b)4(c)2a/2(d)2三.简单线性规划:1 有关概念：由的不等式(或方程)组成的不等式 组称为兀y的约束条件。关于的一次不等式或方 程组成的不等式组称为兀,y的线性约束条件。欲达到 最大值或最小值所涉及的变量兀y的解析式称为目标函 数。关于兀y的一次目标函数称为线性目标函数。 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x,y） 称为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。x + y &

5、lt;5,3x + 2y < 12,如，设x、y满足约束条件05x53, 则使得目标函0< j<4.数z = 6x + 5y的最大的点（兀，y）是2解线性规划问题的步骤：（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小 的直线；片直通车例3（3）求：通过解方程组求出最优解；（4）答：作出答案。3 几个结论：线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处 取得，也可能在边界处取得。r真通车6求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义在y轴上的截距或其相反数。y三x,

6、例设变量兀，y满足约束条件：卜+ 2yw2,则x 三2.z = x 3y 的最值()a. 2 b. -4 c-6 d. -8 3目标函数z = ox + by中，p贏通车2-2(1)当b>0时，直线+= 0向上平移时, z = dx + by增大，向下平移时z =处+伽减少;(2)当bvo时，直线dx + by = 0向上平移时, z = dx + "减少，向下平移时z = or + by增大pi豆通车真题2 4在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是:若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解;±z1=1(在包括边界的情况下)若区域“顶点”不是整点或不

7、包括边界时，其思路是: 用图解法求出线性规划问题的非整数解，并算出此时 目标函数的最优解；逐次调整目标函数的最优值, 供稿约束条件，解不等式组求出取值范围；依次算出小范目内的兀,丁的对应值；根据必须都是整数的条件确定最优整数解。片直通车例4 在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网 络、找整点.平移直线、找出整数最优解、题组2：兀 + y $ 0,1 若x, y满足约束条件< 兀-y+ 3$0, rlj z=2x-y的最大值0ww 3,为x-y 2 _1,2 设变量兀，y满足约束条件" + y21,则目标函数3x-y < 3.z = 4x+y的最大值为()a. 4

8、b. 11c 12 d 14x-2y + 5>()'3设加为实数，若(s)<3-x>0>c(x,y)lx2 + y2<2 內mx + y a 0则加的取值范围是x - 2 w 0,4已知点p (x, y)在不等式组jy-l<0,表示的平面x+2y-2>0区域上运动，则z = x-y的取值范围是 ()a. 2, 1 b2, 1 c. 1, 2 d. 1, 2兀- y +1上0,5若实数上y满足兀+y $（），贝ij z二3“切的最小值兀w 0,是（）a. 0 b. 1 c希 d9y 216 已知实数兀，y满足yw2兀-1如果目标函数z = x-y

9、的兀+ y w加最小值为-1,则实数加等于（）a. 7 b. 5 c 4 d 3x + 2y-19»0,7设二元一次不等式组x-y + 8>0,所表示的平面区2% + y-14<0域为鳳使函数y=a"（m>0, ah1）的象过区域的的取值范围是（(a ) 1,3(b) 2, v10 (0 2, 9(d)皿 9五.线性规划在实际问题中的应用：解线性规划应用问题的一般步骤：p蔼:通车例、5 6理清题意，确定已知量和未知量，列出表格：设好变元并列出不等式组和目标函数由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;在可行域内求目标函数的最优解 还原成实际问题（准确作图，准确计算） 六、题组3：1 某厂生产甲产品每千克需用原料4和原料b分别为 讣,生产乙产品每千克需用原料a和原料b分别为§厶 千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为,元，月初 一次性够进本月用原料人3各w2千克，要计划本月生产 甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最 大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y千克,月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z = dx-.d2y最大的数学模型中，约束条件为（）ax + a2y > qbx + b2y >