小学数学《乘法原理与加法原理》练习题(含答案)

1、小学数学乘法原理与加法原理练习题（含答案）乘法原理一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有叫种不同的方法，做第二步有im种不 同的方法，做第n步有叫种不同的方法，则完成这件事一共有NnmXimXXmn种不同的方法.乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一 不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关【例1】有5个人排成一排照相，有多少种排法？5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法?5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法?5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法

2、【例2】（1）有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？（2） 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一 个三位数。例如，532吃掉311, 123吃掉123。但726与267相互都不被吃掉。问：能吃掉678的三位数 共有多少个？（3）由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？【例3】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图.现用 红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色.共有多 少种不同的染色方法？【例4】（1）（迎春杯决赛）如右图（1）是中国象棋盘，如果

3、双方准 备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有 多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”,使得每一列有一个“兵”，每一 行至多有一个“兵”.有多少种不同的放法？【例5】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？【例6】（第十五届迎春杯决赛）如果一个四位数与一个三位数的和是1999,并且四位数和三位数 是由7个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？加法原理一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有皿种不同做法，第二类方法中有m2种不同做 法，第k类方法中有1咏种不同的做法，则完成这件事共

4、有N= mi + nt+】叫种不同的方法。加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的 问题可以使用加法原理解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。【例7】小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？综合应用CACDE【例9】（1）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）用数字1、2、3组成没有重复数字的3位数，一共可以组成 多少个不同的3位数？这些3位数的和是多少？（2）（迎春杯刊赛）用1、2、3组成三位数（其中数字允许重复），那么所有这样的三位数总和是多少？（3）用0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的

5、4位数？其中偶数和奇数分别有多少个？（4）利用数字1, 2, 3, 4, 5共可组成多少个数字不重复的偶数？【例10】在1到3000中含数字7的数有多少个?【例11】从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法?【例12】右图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点 和D点的不同路线共有多少条?【例13】用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？习题十1.用2、3、5、6、8、9这6个数字组成5位数，可以组成多少个奇数?2.小明要登上10级台阶,他每一步只能登2级或3级台阶，他登上10

6、级台阶共有多少种不同的登法?ABCLHE3.（迎春杯初赛）如右图，图中有25个小方格，要把5枚不同的硬币放在方格里，使每 行、每列只出现一枚硬币，那么共有多少种放法？4 .如右图，A, B, C, D, E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的 区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5 .如右图，从甲到乙最近的道路有几条。甲6 .某工作需要钳工2人和电工2人共同完成。现有钳工2人、电工2人，另有1人钳工、电工都会。从这5人中挑选4人完成这项工作，共有多少种不同选法？7 .从1到300的自然数中，完全不含有数字3的有多少个?8 .大林和小林共有小人书不超过50本

7、，他们各自有小人书的数目有多少种可能的情况?【例14】有5个人排成一排照相，有多少种排法？5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。第一个位置可从5个人中任选一人，有5种选法； 第二个位置只能从剩下的4个人中任选一人，有4种选法，同理，第三、第四、第五个位置分别有3种、 2种、1种选法。每个位置上站了一人就是一种排法。根据乘法原理，共有5X4X3X2X1=120种排法。 5个人排成两排照相，可先排前排、再排后排，依次也有5个位置

8、，类似的方法可得共有 5X4X3X2X1=120 种排法。这里，限定某人必须站在中间，他的位置固定了，而其余4人可以任意站位，类似的分析可知共有 4X3X2X1=24 种排法。这里，限定某人必须站在两头，这件事分两步完成，第一步，安排限定的人，有2种方法；第二步，安 排其它的4人，类的分析，有4X3X2X1=24种方法，根据乘法原理，共有2X (4X3X2X1)=24X2=48 种排法.【例15(1)有三本不同的书放到5张同样的书桌上，一共有多少种放法？(2) 一个三位数，如果它的每一位数字都不小于另一个三位数对应数位上的数字，就称它“吃掉”另一 个三位数。例如，532吃掉311, 123吃掉

9、123。但726与267相互都不被吃掉。问：能吃掉678的三位数 共有多少个？(3)由数字2、3、4、5、6、7、8共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？分析：(1)此题学生容易错写为5X4X3；放一本课本看成一个步，则可分为五步，故5X5X5=125种.（2）共有4X3X2=24 （种）.（3）要组成四位数，需一位一位地确定各个数位上的数字，即分四步完成，由于要求组成的数是奇数， 故个位上只有能取3、5、7中的一个，有3种不同的取法；十位上，可以从余下的6个数字中取一个，有 6种取法；百位上有5种取法；千位上有4种取法，故可由乘法原理解决,所以，由2、3、4、5、6、7、 8共可组成3X6X

10、5X4=360个没有重复数字的四位奇数.【例16】（小数报数学竞赛初赛）某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图.现 用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色.共有 多少种不同的染色方法？ 分析：用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次染色，根据乘法原理，共有5X4X3X3X3X3X3=4860种不同的染色方法.【例17（迎春杯决赛）如右图是中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总 共有多少种不同的放置方法？（2）（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）在右图（2）中放四个棋子“兵”， 使得每一列有一个“兵”，每一行至多有一个“兵，有多少种不同

11、的 放法？ 分析：（1）设甲方先放棋子,乙方后放棋子.那么甲方可以把棋子放在棋盘的任意位置，故甲方有：10X9=90 种不同的放置方法.对应甲方的第一种放法，乙方按规定必须去掉甲方棋子所在的行与列，而放置在剩下 的任意位置，所以乙方有：9X8=72种不同的放置方法.因此，总共有：72X90=6480种不同的放置方法.（2）第一列有2种放法.第一列放定后，第二列又有2种放法.如此下去，共有2X2X2X2=16种不 同的放法.【例18】有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？分析：将10块糖排成一排，糖与糖之间共有9个空。从头开始，如果相邻两块糖是分在两天吃的，那么 就在其

12、间画一条线,下图表示10块糖分在五天吃：第一天吃2块，第二天吃3块，第三天吃1块，第四 天吃2块，第五天吃2块。因为每个空都有加线与不加线两种可能，根据乘法原理，不同的加线方法共有 29=512 （种）。因为每一种加线方法对应一种吃糖的方法，所以不同的吃法共有512种。【例19】(第十五届迎春杯决赛)如果一个四位数与一个三位数的和是1999,并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的。那么，这样的四位数最多能有多少个？分析：设满足题意的四位数为“bed ,三位数为或容易得到a=l, b+e=9, (e对)，c+f=9, d+g=9°为了计算这样的四位数最多有多少个，由题设条件a, b

13、, c, d, e, f, g互不相同，可知，数字b有7种 选法(b,l, 8, 9), c有6种选法(#1, 8, b, e), d有4种选法(卡1, 8, b, e, c, f)。于是，依乘法 原理，这样的四位数最多能有(7x6x4=) 168个。【例20】小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？分析：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故 有2种登法。登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶 的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和

14、，共有1+2=3 (种)，一般地, 登上第n级台阶，或者从第(n-1)级台阶跨一级上去，或者从第(n-2)级台阶跨两级上去。根据加法 原理，如果登上第(n-1)级和第(n-2)级分别有a种和b种方法，8g则登上第n级有(a+b)种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数°如右图，再产L由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。其中从第三个数起，每个数都闫卫广是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接

15、写出计算得出的登上各级台阶的方法数。蝌【例21】(D (第五届希望杯六年级培训试题)如右图(1),从学校到少年宫的最短路线有多少条？(2)(第五届希望杯六年级1试)小君家到学校的道 路如右图(2)所示。从小君家到学校的最短路线有多少种不同的走法？分析：(1)最短路线只能向上或向右走，利用加法原理如下图(3),共有90种最短路线;(2)如下图(4),依照上题思路，共有10种不同走法.(3)(4)综合应用【例22(1)(兴趣杯少年数学邀请赛决赛)用数字1、2、3组成没有重复数字的3位数，一共可以组成多少个不同的3位数？这些3位数的和是多少？(2)(迎春杯刊赛)用1、2、3组成三位数(其中数字允许重

16、复)，那么所有这样的三位数总和是多少？(3)用0、1、2、3可以组成多少个没有重复数字的4位数？其中偶数和奇数分别有多少个？(4)利用数字1, 2, 3, 4, 5共可组成多少个数字不重复的偶数？分析:(1)共有 3X2X1=6 个 3 位数.这些 3 位数的和为：(1+2+3) X100+(1+2+3) X10+(1+2+3) X2 =1332 或 123+132+213+231+312+321=1332.(2)用数字1、2、3组成3位数，一共可以组成多少个3位数：3X3X3=27 (种)，每个位置上的数字都 有3种可能(即1、2、3),所以当1、2、3是百位数字时各有9个三位数，当1、2、

17、3是十位数字时各有 9个三位数，当1、2、3是个位数字时各有9个三位数，因此所有这样三位数总和是： 9X(100+200+300)+(10+20+30)+(1+2+3)=5994.(3)用0、1、2、3可以组成没有重复数字的4位数：3X3X2X1=18 (个)；先计算偶数的个数，末尾数 字为。或2,若末尾数字为0,那么前3位有3X2X1=6种，若末尾数字为2,那么前3位有2X2X 1=4 种，因此其中偶数有10个，那么奇数就有18-10=8个.(4)分为5种情况：一位偶数只有两个：2和4；二位偶数共有：2X4=8 (个)；三位偶数由上述(2)中 求得为24个；四位偶数共有2X(4X3X2)=4

18、8个.括号外面的2表示个位数有2种选择(2或4)；五位偶 数共有2X (4X3X2X0=48个；由加法原理，偶数的个数共有：2+8+24+48+48=130.【例23】 在1到3000中含数字7的数有多少个？分析：正面想很困难，不妨从另外一个角度考虑，知道这其中不含7的数字有多少个，就知道含7的数字 有多少个。不含7的：一位数8个，两位数有8X9=72个，三位数有8X9X9=648个，四位数有：2X9 X9X9=1458 个，所以含有 7 的数字有 3000-8-72-648-1458=814 个.【例24】从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法?分析：符

19、合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国 画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5X3=15种选法.第二类为国画、水彩画各一 幅，由乘法原理有5X2 = 10种选法,第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3X2=6种选法.这三类是 各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15+10+ 6 =31 种.【例25】左下图是某街区的道路图。从A点沿最短路线到B点，其中经过C点和D点的不同路线共有多少条？分析：本题可将从A到B分为三段，先是从A到C,再从C到D,最后从D到B。如右上图所示，从A到C 有3种

20、走法，从C到D有4种走法，从D到B有6种走法。因为从A到B是分几步走的，所以应该用乘法 原理，不同的路线共有？ 3X4X6=72 （条）.【例26】用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 分析：本题与例3表面上十分相似，但解法上却不相同。当区域A与区域E颜色相同时，A有5种颜色可选；B有4种颜色可选；C有3种颜色可选；D也有3 种颜色可选。根据乘法原理，此时不同的染色方法有：5X4X3X3=180 （种当区域A与区域E颜色不同时，A有5种颜色可选；E有4种颜色可选；B有3种颜色可选；C有2种 颜色可选；D有2种颜色可选。根据乘

21、法原理，此时不同的染色方法有：5X4X3X2X2=240 （种）。再根据加法原理，不同的染色方法共有：180+240=420 （种）。附加题目附1 （D （第四届小数报竞赛初赛）从南京到上海的某次快车中途要停靠六个大站.铁路局要为这次 快车准备多少种不同的车票？这些车票中最多有多少种不相同的票价？（2）用两个3, 一个1, 一个2可组成不同的四位数，这些四位数共有多少个？（3）在下面一排数字中间的任意两个位置写上两个“ + ”号，可以得到三个自然数相加的加法算式，所 有可以这样得到的不同的加法算式共有多少个？123456789分析：（1）共有8个站.每个站到其它7个站各需1种车票，共有7X8=

22、56种车票.因为A站到B站与B 站到A站的票价相同，所以最多有56+2=28种票价.（2）四个不同的一位自然数可以组成4X2X3X1=24 （个）不同的四位数.当其中两个数码相同时，位置 互换时数不变,所以组成的不同四位数共有：24+2=12 （个）.-®®©-l®（3） 8个位置插入2号，共有8X7+2=28 （种）方法.【附2】用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称，问共有多少种不 同的涂法？ 分析：按题意可知，1、4对称，2、3对称，这样1、2、A、B、C、D、E均有两种选 择，2x2x2x2x2x2x2=128 种°附3（

23、华杯赛口试）这是一个棋盘，将一个白子和一个黑子放在棋盘线交叉点上，但不 能在同一条棋盘线上.问：共有多少种不同的放法？ 分析：黑子有12个不同位置，对于黑子每一种确定的位置，白子个不同的放法，所以共有 12X6=72种不同的放法.附4（数学奥林匹克初赛）甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左往右数，如果甲不排在第一个位 置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有多 少种？ 分析：甲不排在第一个位置，所以第一个位置上可放乙、丙、丁，有3种可能情况，如果第一个位置上放 乙，不论二、三、四哪个位置放甲，丙、丁也就放定了.因此，对第一位置放乙，甲可以放在二

24、、三、四 这三个位置之一，有3种可能情况，具体如下：一 二 三 四 乙 甲 丁 丙 乙 丁 甲 丙 乙 丙 丁 甲对第一位置放丙或丁，也各有3种情况，因此不同的排法共有：3X3=9（种）.附5（兴趣杯少年数学邀请赛决赛）某种奖券的号码有9位，如果奖券至少有两个非零数字并且从左 边第一个非零数字起，每个数字小于它右边的数字，就称这样的号码为“中奖号码”，如000000015, 000001257. “中奖号码”有多少个？分析：号码19各出现1或。次，按递增顺序排列（前面补0）,共产生2X2X2X2X2X2X2X2X2=2"个号码，其中无非零数字或仅有1个非零数字的应予排除.所以，中奖号

25、码有51210=502个.【附6】在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于6的共有多少个?分析：前两位有：15, 24, 33, 42, 51, 60六种，后两位增加“06”这种情况，所以共6X7=42 （种）.【附7】（小学数学奥林匹克决赛）由1、2、3、4四个数字组成的四位数共有24个，将它们从小到大排 列起来，第18个数等于多少？分析：千位是1、2、3、4的各有24+4=6 （个），6X3=18,所以第18个数是千位是3的最大的数3421.【附8】（小学数学奥林匹克决赛）由1、2、3、4、5五个数字组成的五位数共有120个，将它们从大到 小排列起来，第95个数等于多少？

26、分析：万位是5, 4, 3, 2, 1的各有120+5=24（个），24X4=96,所以第95个数是万位是2的数中第二 小的数21354.附9 一次考试的选择题有A, B, C, D四个选项，允许选一项或者多项（可以全选，但不能都不选），问 这个选择题有多少种不同的答案？分析：法1：每个选项或者选或者不选，有2种可能，根据乘法原理，有2X2X2X2=16种可能，但其中 不允许都不选，所以有15种.法2：选一个选项有4种选法，选2个选项有6种，选3个选项有4种，选 4个选项有1种，加起来也是15种.附10沿左下图中箭头所指的方向从A到B共有多少种不同的走法？分析：如右上图所示，先标出到C点的走法数，再标出到D点和E点的走法数，然后标出到F点的走法数, 最后标出到B点的走法数。共有8种不同的走法。【附按图中箭头所示的方向行走，从A点走到B点的不同路线共 有多少条？ 分析：同样用上题的方法，标上数字，有55条。21551334习题十1.用2、3、5、6、8、9这6个数字组成5位数，可以组成多少个奇数? 分析:3X5 X4X3X2=360.2.小明要登上10级台阶，他每一步只能登2级或3级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法? 分析：仿照例题思想可得：0、1、1、1、2、2、3、4、5、7 ,共