等腰直角三角形难题

1、等腰直角三角形难题一、选择题（共8小题）1如图，在等腰直角ABC中AC=AB，BDAH于D，CHAH于H，HE、DF分别平分AHC和ADB，则下列结论中AHCBDA；DFHE；DF=HE；AE=BF其中，正确的结论有（）（只需填写序号）ABCD2（2012黄埔区一模）将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的斜边长为（）ABCD3如图：ABC中，ACB=90°，CAD

2、=30°，AC=BC=AD，CECD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：ECA=165°，BE=BC；ADBE；=1其中正确的是（）ABCD4如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）A24B38C46D505如图，ABC中，AC=BC，ACB=90°，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC于M，连CD下列结论：AC+CE=AB；CDA=45°；=定值其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个6如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M，N，使MCN=45°

3、，记AM=m，MN=n，BN=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x、m、n的变化而改变7（2006防城港）如图，在五边形ABCDE中，A=B，C=D=E=90°，DE=DC=4，AB=，则五边形ABCDE的周长是（）ABCD8（2010鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A40B30+2C20D10+10二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）9下列说法：如图1，ABC中，AB=AC，A=45°

4、，则ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形如图2，ABC中，AB=AC，A=36°，BD，CE分别为ABC，ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个如图3，ABC是等边三角形，CDAD，且ADBC，则AD=AB如图4，ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD=AC，DAC=CAB，则DBC=DAB其中，正确的有_（请写序号，错选少选均不得分）10已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，若FC=3厘米，BE=4厘米，则EFP的面积为_平方厘米11一个三角形三个

5、内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为_12一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3：3：2，则这个三角形是_三角形13（2003黄浦区一模）已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第13个等腰直角三角形的面积是_14（2007天水）如图，AD是ABC的一条中线，ADC=45度沿AD所在直线把ADC翻折，使点C落在点C´的位置则=_15如图，在等腰RtABC中，C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持

6、AD=CE连接DE、DF、EF在此运动变化过程中，有下列五个结论：DFE是等腰直角三角形； 四边形CDFE不可能为正方形；DE长度的最小值为4； 四边形CDFE的面积保持不变；CDE面积的最大值为8其中正确结论是_16（2011贵阳）如图，已知等腰RtABC的直角边长为l，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_17已知ABC的三边长a、b、c满足，则ABC一定是_三角形18（2010厦门）如图，以第个等腰直角三角形的斜边长作为第个等腰直角三角

7、形的腰，以第个等腰直角三角形的斜边长做为第个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第个等腰直角三角形的斜边长为_厘米19（2010丹东）已知ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是_20已知ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则ABC的形状是_三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）21（2010唐山一模）（1）如图1，以等腰直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的

8、中点，则DE与AM之间的数量关系为_；（2）如图2，以任意直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为_；（3）如图3，以任意非直角ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，请直接写出线段DE与AM之间的数量关系22（2010平房区一模）如图1，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点D为AB边中点，以点D为顶点作PDQ=90°，DP、DQ分

9、别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N（1）求证：EM+FN=AC；（2）把PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2），则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是_；（3）在PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中，设DP交直线BC于点G，连接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的长23（2009莆田二模）已知在ABC中，A=90°，AB=AC，D为BC的中点（1）如图，E、F分别是AB，AC上的动点，且BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形；（2）在（1）的条件下，四边形AEDF的面积是否变化，证明你的结论；（3）若E、F分别为AB，

10、CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论24（2007大连）两个全等的RtABC和RtEDA如图放置，点B、A、D在同一条直线上操作：在图中，作ABC的平分线BF，过点D作DFBF，垂足为F，连接CE证明BFCE探究：线段BF、CE的关系，并证明你的结论说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以将“两个全等的RtABC和RtEDA”改为“两个全等的等腰直角ABC和等腰直角EDA（点C、A、E在同一条直线上）”，其他条件不变，完成你的证明，此证明过程最多得2分25（2009德城区）一位同学拿了两块45°的三角尺MNK、ACB做了一个探

11、究活动：将MNK的直角顶点M放在ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为_，周长为_；（2）将图1中的MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为_，周长为_；（3）如果将MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证26（2007自贡）已知：三角形ABC中，A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其

12、他条件不变，那么，DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论等腰直角三角形难题参考答案与试题解析一、选择题（共8小题）1如图，在等腰直角ABC中AC=AB，BDAH于D，CHAH于H，HE、DF分别平分AHC和ADB，则下列结论中AHCBDA；DFHE；DF=HE；AE=BF其中，正确的结论有（）（只需填写序号）ABCD考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有分析：利用同角的余角相等，得CAH=ABD，再利用AAS判定AHCBDA；如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点G，证明CHBM，同旁内角CHD与MDH互补，两角的平分线互相垂直；

13、利用角平分线的定义，得EHA=FDB，又EAH=FBD，AH=BD，得出EHAFDB，进而得出结论；根据EHAFDB，得AE=BF解答：解：CAH+BAD=90°，ABD+BAD=90°CAH=ABD又CHA=ADB=90°，AC=ABAHCBDA（AAS）；如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD、HE，两延长线交于点GCHD+HDM=90°+90°=180°CHBMDF平分ADBDG平分HDM又HE平分AHCHGD=90°DFHE；EHA=CHAFDB=ADB又CHA=ADBEHA=FDB又EAH=FBD，AH=BDEH

14、AFDBDF=HE；EHAFDBAE=BF；故选D点评：本题考查了全等三角形的判定及其性质，平行线的性质，同角的余角相等等知识2（2012黄埔区一模）将一个斜边长为的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到另一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到又一个等腰直角三角形（如图3），若连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的斜边长为（）ABCD考点：等腰直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：通过分别计算折叠两次后的等腰三角形的腰长，归纳总结得到折叠n次的等腰三角形的腰长等于的n次方，然后根据等腰直

15、角三角形的斜边为腰长的倍，即可表示出图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的斜边长解答：解：根据题意得出：第一次折叠后，如图2，腰长为，第二次折叠后，如图3，腰长为=（）2，依此类推，将图1的等腰直角三角形折叠n次后新等腰三角形的腰长为（）n，则将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的斜边长为（）n=（）n1故选C点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的运用，解题的关键是利用勾股定理分别计算出折叠两次后的等腰三角形的腰长，从中发现规律，此类题目难度较大，属于难题3如图：ABC中，ACB=90°，CAD=30°，AC=BC=AD，CE

16、CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：ECA=165°，BE=BC；ADBE；=1其中正确的是（）ABCD考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形菁优网版权所有分析：根据：CAD=30°，AC=BC=AD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出ECA=165°，从而得证结论正确；根据CECD，ECA=165°，利用SAS求证ACDBCE即可得出结论；根据ACB=90°，CAD=30°，AC=BC，利用等腰三角形的性质和ACDBCE，求出CBE=30°

17、，然后即可得出结论；过D作DMAC于M，过D作DNBC于N由CAD=30°，可得CM=AC，求证CMDCND，可得CN=DM=AC=BC，从而得出CN=BN然后即可得出结论解答：解：CAD=30°，AC=BC=AD，ACD=ADC=（180°30°）=75°，CECD，DCE=90°，ECA=165°正确；CECD，ECA=165°（已证），BCE=ECAACB=16590=75°，ACDBCE（SAS），BE=BC，正确；ACB=90°，CAD=30°，AC=BC，CAB=ABC=4

18、5°BAD=BACCAD=4530=15°，ACDBCE，CBE=30°，ABF=45+30=75°，AFB=1801575=90°，ADBE证明：如图，过D作DMAC于M，过D作DNBC于NCAD=30°，且DM=AC，AC=AD，CAD=30°，ACD=75°，NCD=90°ACD=15°，MDC=DMCACD=15°，在CMD和CND中，CMDCND，CN=DM=AC=BC，CN=BNDNBC，BD=CD正确所以4个结论都正确故选D点评：此题主要考查等腰直角三角形，全等三角形的判

19、定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题4如图，在2×3矩形方格纸上，各个小正方形的顶点称为格点，则以格点为顶点的等腰直角三角形的个数为（）A24B38C46D50考点：等腰直角三角形菁优网版权所有专题：网格型；规律型分析：以格点为端点的线段长度可取8个数值：1，2，2，3以这些线段组成的等腰直角三角形的斜边有以下四种情况，2，2，；然后按斜边长分四类来进行计数即可解答：解：（1）当斜边长为时，斜边一定是小正方形的对角线，这样的线段有12条，每条这样的线段对应着两个等腰直角三角形，共有2×12=24（个）

20、同理（2）当斜边长为2时，共有6+2×4=14（个） （3）当斜边长为2时，共有2×4=8（个） （4）当斜边长为时，共有4（个） 综上所述，满足要求的等腰直角三角形共有24+14+8+4=50（个）故选D点评：（1）利用分类讨论的数学思想求解时，一定要做到分类既不重复，又不遗漏；（2）请读者尝试以下两种思路解答本题：以等腰直角三角形的直角边的不同情况来分类讨论求解；利用轴对称图形的对称性求解5如图，ABC中，AC=BC，ACB=90°，AE平分BAC交BC于E，BDAE于D，DMAC于M，连CD下列结论：AC+CE=AB；CDA=45°；=定值其中正确

21、的有（）A1个B2个C3个D4个考点：等腰直角三角形；三角形内角和定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线菁优网版权所有专题：证明题分析：过E作EQAB于Q，作ACN=BCD，交AD于N，过D作DHAB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DM=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AM=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出；根据三角形外角性质求出CND=45°，证ACNBCD，推出CD=CN，即可求出；证DCMDBH，得到CM=BH，AM=AH，即可求出解答：解：过E作EQAB于Q，ACB=90&

22、#176;，AE平分CAB，CE=EQ，ACB=90°，AC=BC，CBA=CAB=45°，EQAB，EQA=EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，QEB=45°=CBA，EQ=BQ，AB=AQ+BQ=AC+CE，正确；作ACN=BCD，交AD于N，CAD=CAB=22.5°=BAD，DBA=90°22.5°=67.5°，DBC=67.5°45°=22.5°=CAD，DBC=CAD，AC=BC，ACN=DCB，ACNBCD，CN=CD，ACN+NCE=90°，NCB+BC

23、D=90°，CND=CDN=45°，ACN=45°22.5°=22.5°=CAN，AN=CN，NCE=AEC=67.5°，CN=NE，CD=AN=EN=AE，正确，正确；过D作DHAB于H，MCD=CAD+CDA=67.5°，DBA=90°DAB=67.5°，MCD=DBA，AE平分CAB，DMAC，DHAB，DM=DH，在DCM和DBH中M=DHB=90°，MCD=DBA，DM=DH，DCMDBH，BH=CM，由勾股定理得：AM=AH，=2，正确；故选D点评：本题主要考查对三角形的外角性质，三

24、角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键6如图，在等腰RtABC的斜边AB上取两点M，N，使MCN=45°，记AM=m，MN=n，BN=x，则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D随x、m、n的变化而改变考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：几何综合题分析：把ACN绕C点逆时针旋转45°，得CBD，这样ACM+BCN=45°就集中成一个与MCN相等的角，在一条直线上的

25、m、x、n集中为DNB，只需判定DNB的形状即可解答：解：如图：作ACMBCD，ACM=BCD，CM=CD，MCN=NCD=45°，又CN=CN，MNCDNC，MN=ND，AM=BD=m，又DBN=45°+45°=90°，n2=m2+x2故选B点评：本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为60°、90°；（2）图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转180°，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端

26、点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合7（2006防城港）如图，在五边形ABCDE中，A=B，C=D=E=90°，DE=DC=4，AB=，则五边形ABCDE的周长是（）ABCD考点：等腰直角三角形；多边形内角与外角菁优网版权所有专题：压轴题分析：可连接CE，作AFCE，BGCE于F、G，根据多边形的内角和定理和等腰直角三角形的性质即可求出AB、AE+BC，进而求出答案解答：解：连接CE，作AFCE，BGCE于F、G，根据五边形的内角和定理和已知条件，可得CDE，AEF，BCG都是等腰直角三角形，则CE=4，FG=AB=，AE+BC=3×=6，所以五边形的周长是4+4+

27、6+=14+故选B点评：此题主要是作辅助线，发现等腰直角三角形注意：等腰直角三角形的斜边是直角边的倍8（2010鼓楼区二模）小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A40B30+2C20D10+10考点：等腰直角三角形菁优网版权所有分析：所求正方形的边长即为AB的长，在等腰RtACF、CDE中，已知了CE、DE、CF的长均为10，根据等腰直角三角形的性质，即可求得AC、CD的长，由AB=AC+CD+BD即可得解解答：解：如图；连接AB，则AB必过C、D；RtACF中，AC=AF，CF=10；则A

28、C=AF=5；同理可得BD=5；RtCDE中，DE=CE=10，则CD=10；所以AB=AC+CD+BD=20；故选C点评：理清题意，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键二、填空题（共12小题）（除非特别说明，请填准确值）9下列说法：如图1，ABC中，AB=AC，A=45°，则ABC能被一条直线分成两个小等腰三角形如图2，ABC中，AB=AC，A=36°，BD，CE分别为ABC，ACB的角平分线，且相交于点F，则图中等腰三角形有6个如图3，ABC是等边三角形，CDAD，且ADBC，则AD=AB如图4，ABC中，点E是AC上一点，且AE=AB，连接BE并延长至点D，使AD

29、=AC，DAC=CAB，则DBC=DAB其中，正确的有（请写序号，错选少选均不得分）考点：等腰直角三角形；角平分线的定义；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形菁优网版权所有专题：证明题分析：不管过A（或过B或过C）作直线，都不能把三角形ABC分成两个等腰三角形，即可判断；求出A=ABD=DBC=ACE=BCE=36°，根据三角形的内角和定理求出三角形其余角的度数，根据等腰三角形的判定定理推出边相等，即可判断；求出ACD=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AD=AC，即可判断；过C

30、作CFBD交AB的延长线于F，连接DC，EF，求出EF=BC，证三角形全等推出DE=EF，DC=CF，推出CD=BC，推出CDB=CBD，根据三角形的内角和定理求出CDB=CAB即可解答：解：若ABC中，AB=AC，A=45°，不论过A作直线（或过B作直线或过C作直线）都不能把三角形ABC化成两个等腰三角形，错误；图中，有等腰三角形7个：ABD，CBD，ACE，CDE，BEF，CDF，FBC，错误；等边ABC，AB=AC，ACB=60°，ADBC，CDAD，DCB=D=90°，ACD=30°，AD=AC=AB，正确；过C作CFBD交AB的延长线于F，连接

31、DC，EF，=，AE=AB，AD=AC，AF=AC=AD，CE=BF，即BECF，CE=BF，四边形BECF是等腰梯形，EF=BC，在DAC和FAC中，DACFAC，CD=CF，同理DE=EF，AD=AC，AE=AB，ADC=ACD，AEB=ABE，DAC=BAC，DAC+ACD+ADC=180°，CAB+AEB+ABE=180°，ACD=AEB，AEB=DEC，ACD=DEC，DE=CD，DC=CF=EF=ED，EF=CB，DC=BC，CBD=CDE，DCA=DEC=AEB=ABE，由三角形的内角和定理得：CDE=CAB=DAB，DBC=DAB，正确故答案为：点评：本题考

32、查了等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判断，角平分线定义，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用，第小题证明过程偏难，对学生提出较高的要求，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键10已知ABC中，AB=AC，BAC=90°，直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点F、F，若FC=3厘米，BE=4厘米，则EFP的面积为平方厘米考点：等腰直角三角形；三角形的面积菁优网版权所有专题：几何综合题分析：根据题意PCF可看作PAE顺时针旋转90°得到，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可求出EF的长，进而可得出面积

33、解答：解：A、连接AP，在ABC中，AB=AC，BAC=90°，CP=BP，APC=EPF=90°，APF=90°APE=BPE，又AP=BP，FAP=EBP=45°，FAPEBP，PE=PF，可知AF=BE，又AC=AB，AE=CF，EF2=AC2+AF2=25，PE=PF=厘米面积=平方厘米故答案为：点评：本题结合等腰直角三角形考查了旋转的基本性质，难度较大，要学会运用旋转的知识解答几何问题11一个三角形三个内角之比为1：1：2，则这个三角形的三边比为1：1：考点：等腰直角三角形菁优网版权所有分析：根据角度的关系可以求出三角形的角的度数，进而就可以求

34、出边的比解答：解：一个三角形三个内角之比为1：1：2三角分别为180°×=45°，180°×=45°，180°×=90°故三角形为等腰直角三角形，这个三角形的三边比为1：1：点评：本题考查了等腰直角三角形三边及三角的关系，需同学们熟练掌握12一个三角形不同顶点的三个外角的度数比是3：3：2，则这个三角形是等腰直角三角形考点：等腰直角三角形菁优网版权所有分析：根据邻补角互补的性质，三角形内角和定理可知这个三角形的形状解答：解：由题意，设这三个外角的度数分别为：3X，3X，2X，则对应的相邻的内角分别为：18

35、0°3X，180°3X，180°2X，则180°3X+180°3X+180°2X=180°，解得X=45°，则三角形的三个内角分别为：45°，45°，90°，这个三角形是等腰直角三角形点评：本题通过设适当的参数，根据邻补角互补和三角形内角和定理建立方程，求得三角形的各角的度数后判定三角形的形状13（2003黄浦区一模）已知第一个等腰直角三角形的面积为1，以第一个等腰直角三角形的斜边为直角边画第二个等腰直角三角形，又以第二个等腰直角三角形的斜边为直角边画第三个等腰直角三角形，以此类推，第

36、13个等腰直角三角形的面积是4096考点：等腰直角三角形菁优网版权所有专题：规律型分析：由已知条件得出规律：每作一次图，三角形面积变为原来的2倍利用规律推理即可求解解答：解：根据题意：每作一次图，三角形面积变为原来的2倍；且第一个等腰直角三角形的面积为1，故第13个等腰直角三角形的面积是1×212=4096点评：本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题14（2007天水）如图，AD是ABC的一条中线，ADC=45度沿AD所在直线把ADC翻折，使点C落在点C´的位置则=考点：等腰直角三角形菁优网版权所有分析：根据折叠的性质可

37、知CD=CD，CDA=ADC=45°，易证明CDB是等腰直角三角形，所以可求得BC=BD=×BC，整理即可求得比值解答：解：CD=CD，CDA=ADC=45°CDC=BDC=90°BD=CDBD=CD；即CDB是等腰直角三角形，BC=BD=×BC=点评：本题利用了：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；等腰直角三角形的性质求解15如图，在等腰RtABC中，C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE连接

38、DE、DF、EF在此运动变化过程中，有下列五个结论：DFE是等腰直角三角形； 四边形CDFE不可能为正方形；DE长度的最小值为4； 四边形CDFE的面积保持不变；CDE面积的最大值为8其中正确结论是考点：等腰直角三角形；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：解答此题的关键是在于判断DFE是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF，由SAS定理可得CFEADF，从而可证DFE=90°可得DF=EF，可得DFE是等腰直角三角形正确；，再由补割法可证是正确的判断与，DFE是等腰直角三角形；可得DE=DF，当DFBC时，DF最小，DE取最小值4，故错误

39、，CDE最大的面积等于四边形CDEF的面积减去DEF的最小面积，由可知是正确的，个，故正确解答：解；连接CFABC为等腰直角三角形，FCB=A=45°，CF=AF=FB，AD=CE，ADFCEF，EF=DF，CFE=AFD，AFD+CFD=90°CFE+CFD=EFD=90°，EDF是等腰直角三角形，正确；当D、E分别为AC，BC的中点时，四边形CDEF是正方形，因此错误；ADFCEF，SCEF=SADF，是正确的；DEF是等腰直角三角形，当DE最小时，DF也最小，即当DFAC时，DE最小，此时DF=BC=4，DE=DF=4，错误；当CDE面积最大时，由知，此时D

40、EF的面积最小，此时，SCDE=S四边形CEFDSDEF=SAFCSDEF=168=8，正确综上所述正确的有故答案为：点评：此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题16（2011贵阳）如图，已知等腰RtABC的直角边长为l，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为15.5考点：等腰直角三角形；三角形的面积；勾股定理菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；规律型分析：根据ABC是边长为L的等腰直角

41、三角形，利用勾股定理分别求出RtABC、RtACD、RtADE的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可解答：解：ABC是边长为1的等腰直角三角形，SABC=×1×1=212；AC=，AD=2，SACD=××=1=222；SADE=×2×2=2=232第n个等腰直角三角形的面积是2n2SAEF=242=4，SAFG=252=8，由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15.5故答案为：15.5点评：此题主要考查学生对等腰直角三角形、三角形

42、面积公式和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据ABC是边长为1的等腰直角三角形分别求出RtABC、RtACD、RtADE的面积，找出规律17已知ABC的三边长a、b、c满足，则ABC一定是等腰直角三角形考点：等腰直角三角形；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理菁优网版权所有分析：先根据非负数的性质求出a、b、c的值，再根据三角形的三边关系进行判断即可解答：解：ABC的三边长a、b、c满足，a1=0，b1=0，c=0，a=1，b=1，c=a2+b2=c2，ABC一定是等腰直角三角形点评：本题考查的知识点是：一个数的算术平方根与某个数的绝对值

43、以及另一数的平方的和等于0，那么算术平方根的被开方数为0，绝对值里面的代数式的值为0，平方数的底数为0及勾股定理的逆定理18（2010厦门）如图，以第个等腰直角三角形的斜边长作为第个等腰直角三角形的腰，以第个等腰直角三角形的斜边长做为第个等腰直角三角形的腰，依此类推，若第个等腰直角三角形的斜边长为厘米，则第个等腰直角三角形的斜边长为厘米考点：等腰直角三角形；勾股定理菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：先设第个等腰直角三角形的斜边是x，第个的等腰直角三角形的斜边是x，那么第个等腰直角三角形的斜边是2x，从而有第n个等腰直角三角形的斜边是（）n1x，根据题意可得（）91x=16，解即可解答：解

44、：设第个等腰直角三角形斜边长是x，根据题意得：（）91x=16，16x=16，x=点评：此题关键是找出规律，然后才可以得出关于x的方程，解出x19（2010丹东）已知ABC是直角边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是考点：等腰直角三角形菁优网版权所有专题：压轴题；规律型分析：依次、反复运用勾股定理计算，根据计算结果即可得到结论解答：解：根据勾股定理，第1个等腰直角三角形的斜边长是，第2个等腰直角三角形的斜边长是2=（）2，第3个等腰直角三角形的斜边长是2

45、=（）3，第n个等腰直角三角形的斜边长是（）n点评：根据勾股定理一步一步计算，找出规律，解答20已知ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则ABC的形状是等腰直角三角形考点：等腰直角三角形菁优网版权所有分析：已知ABC是轴对称图形，则ABC是等腰三角形，且三条高的交点恰好是C点，故ABC是直角三角形；故ABC的形状是等腰直角三角形解答：解：ABC是轴对称图形，且三条高的交点恰好是C点，则ABC的形状是等腰直角三角形点评：本题考查轴对称的性质对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等三、解

46、答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）21（2010唐山一模）（1）如图1，以等腰直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为DE=2AM；（2）如图2，以任意直角ABC的直角边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，则DE与AM之间的数量关系为DE=2AM；（3）如图3，以任意非直角ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角ABE和ACD，M是BC的中点，试判断DE与AM之间的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若以ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角ABE和ACD，其它条件不变，请直接写出线段

47、DE与AM之间的数量关系考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理菁优网版权所有分析：（1）易知四边形BCDE是正方形，那么ED=BC，且ABC是等腰直角三角形，由此可得ED=BC=2AM（2）解法与（1）类似，由于ABE、ACD都是等腰直角三角形，可证得RtABCRtAED，则BC=DE，而AM是斜边BC上的中线，即可得到ED=BC=2AM（3）与（1）（2）的结论相同，仍然要用全等三角形来求解延长BA到F，使得BA=AF，连接FC，易知AM是BCF的中位线，即CF=2AM，因此只需证得ED=CF即可由于EAF、CAD都是直角，减去同一个角DAF后，得到EAD=CAF，而

48、AF=AE、CA=AD，由此可得ADEACF，由此得证（4）思路和解法与（3）完全相同解答：解：（1）由于ABC、ABE和ACD都是全等的等腰直角三角形，所以AE=AB=AC=AD，且ECBD，则四边形ABCD是正方形，故DE=BC=2AM（2）ABE和ACD都是等腰直角三角形，BAE=CAD=BAC=EAD=90°，且AE=AB，AC=AD，EADBAC，DE=BC；而AM是RtABC斜边上的中线，则DE=BC=2AM（3）DE=2AM；理由如下：延长BA至F，使得BA=AF；则AM是BCF的中位线，CF=2AMBAE=EAF=CAD=90°，EAD=FAC=90

49、6;DAF，又AE=AF=AB，AD=AC，AEDAFC，得DE=CF，故DE=2AM（4）DE=2AM，解法和（3）完全相同点评：此题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质，难度较大22（2010平房区一模）如图1，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点D为AB边中点，以点D为顶点作PDQ=90°，DP、DQ分别交直线AC、BC于E、F，分别过E、F作AB的垂线，垂足分别为M、N（1）求证：EM+FN=AC；（2）把PDQ绕点D旋转，当点E在线段AC的延长线上时（如图2），则线段EM、FN、AC之间满足的关系式是EMFN=AC；（3）在

50、PDQ绕点D由图1到图2的旋转的过程中，设DP交直线BC于点G，连接BE，若FG=10，AE=3CE，求BE的长考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；旋转的性质菁优网版权所有专题：综合题分析：（1）连接CD，由D为等腰直角三角形斜边AB的中点，根据三线合一得到CD垂直于AB，CD为角平分线，从而得到ECD=B=45°，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=DB，再由EDC与CDF互余，且CDF与FDB互余，根据同角的余角相等得到EDC=FDB，根据ASA可得三角形CED与三角形FBD全等，根据全等三角形的对应边相等可得ED=FD，再根据同角的余角相等得到一对角相等，一对直角

51、相等，且DE=DF，根据AAS得到三角形EDM与三角形FND全等，可得MD=FN，又三角形AEM为等腰直角三角形，故EM=AM，所以EM+FN等量代换为AD，而在等腰直角三角形ACD中，根据45°的余弦函数定义可得AD=AC，从而得证；（2）连接CD，同理可得EMFN=AC；（3）过D作DH垂直于AC，又BC垂直于AC，得到DH与BC平行，根据D为AB中点，得到H也为AC中点，得到DH为三角形ABC的中位线，根据中位线的性质得到DH等于BC的一半，即为AC的一半，又AE=3EC，得到AC=2EC，从而得到BC=2EC，可得HD=EC，设CE=x，则AE=3x，AC=AECE=2x，可得AH=HC=CE=x，且AC=BC=EH=2EC=2x，由HAD=45°，AHD=90°，得到AHD为等腰直角三角形，同理AEM和FND都为等腰直角三角形，可表示出AM=EM=AE=x，进而得到HD=AH=x，由EC=CH=x，得到C为HE的中点，即CG为中位线，根据三角形中位线定理得到CG=HD=x，用GB=BCCG，表示出GB，由第二问得到EMFN=AC，将表示出的EM及AC代入表示出FN，即为DN，利用勾股定理表示出BF，由GF=GB+BF