第4章 几种常见的概率分布

1、第四章 几种常见的概率分布 第一节 二项分布一、二项总体1. 定义 由非此即彼事件构成的总体，叫做二项总体(binomial population) 孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n 尾鱼苗的成活数等2. 表示方法 通常给“此”事件以变量“1”，具概率 ，给“彼”事件以变量“0”，具概率1- 。二项总体又称0、1总体。l 在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，n次，现在我们来求事件A 恰好发生k(0kn)次的概率Pn(k)。l 先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有 l 其中Ak(k=1,2,3,4)表示事件A在第k次试验发生； (k=1,2,3,

2、4)表示事件A在第k次试验不发生。由于试验是独立的，按概率的乘法法则，于是有 l 由于以上各种方式中，任何二种方式都是互不相容的，按概率的加法法则，在4 次试验中，事件A恰好发生2次的概率为l 一般，在n重贝努利试验中，事件A恰好发生k(0kn)次的概率为二、二项分布 如果我们每次独立抽取二项总体的n个个体，则所得变量X将可能有0，1，n，共n+1种变量有它各自的概率而组成一个分布。这个分布就叫做二项概率分布，或简称二项分布（binomial distribution) 由此得到计算二项分布任何一项概率的通式为：p(x) =Cnx x(1- )n-x 二项分布是一种离散型随机变量的概率分布 性

3、质l 例1：若研究施用某种农药后蚜虫的死亡数，设死虫子为0，其概率为0.3；其活的为1，概率为0.7。如每次观察5只，结果将有0（5只全死）、1（4死1活）、2（3死2活）、3（2死3活）、4（1死4活）、5（5全活），共6种变量。由这6种变量的相应概率组成的分布，就是n=5时活虫数的二项分布。二项式分布的形状 二项概率分布图 三、服从二项分布的随机变量的特征数施用某种农药蚜虫存活概率分布施用某种农药蚜虫存活概率p(x=5)0.16807p(x=1)0.16807p(x=4)0.36015p(x=0.8)0.36015p(x=3)0.3087p(x=0.6) 0.3087p(x=2)0.132

4、3p(x=0.4) 0.1323p(x=1)0.02835p(x=0.2)0.02835p(x=0)0.00243p(x=0)0.00243总和数 比率幻灯片111. 二项式分布的参数l 平均数l 以总和数表示时=n l 以比率表示时 = l 方差l 以总和数表示时2=n (1- )l 以比率表示时 2= (1- )/n2. 证明平均数、方差3. 实例总和数比率4. 二项总体分布及二项分布参数比较 5. 二项分布偏斜度和峭度 四、二项分布应用实例l 小鼠毛型受一对等位基因控制，Wv正常直毛对wv波浪毛为显性。以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，与纯合基因型wvwv的小鼠为母本杂交。杂交后代毛型分

5、布符合二项分布。实验只选每窝8只的，多于或少于8只的都淘汰，预期每窝小鼠毛型表现。第二节 泊松分布l 描述在一指定时间范围内或在指定的面积或体积内某一事件出现的个体数的分布l 泊松分布是一种离散型随机变量的概率分布实例 调查某种猪场闭锁育种群仔猪畸形数，共记录200窝， 畸形仔猪数的分布情况如下表所示。试判断畸形仔猪数是否服从泊松分布。 畸形仔猪数统计分布解：根据泊松分布的平均数与方差相等这一特征，若畸形仔猪数服从泊松分布，则由观察数据计算的平均数和方差就近于相等。样本均数和方差S2计算结果如下：可以认为畸形仔猪数服从泊松分布。 幻灯片24l 麦田内，平均每10 m2有1株杂草，现在要问每10

6、0m2麦田中，有0株杂草，有1株杂草，有2株杂草，的概率是多少？第三节 正态分布 两头少，中间多，两侧对称一、正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为 -<<， > 0 其中为平均数，2为方差，则称随机变量x服从正态分布(normal distribution)， 记为xN(,2)。 随机变量X的落入任意区间（a，b）概率： 相应的概率分布函数为二、正态分布曲线1正态分布密度函数的图像 正态分布密度曲线以x=为对称轴作对称分布，曲线有个最高点，以此点的横坐标为中心，向两边单调下降。 连续型随机变量的概率分布 2. 正态分布的特征 (1) 正态分布密度曲线是单峰、

7、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=； (2) f(x)在x=处达到极大，极大值 ； (3) f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-至+； (4) 曲线在x=±处各有一个拐点，即曲线在(-,-)和(+,+) 区间上是下凸的，在-,+区间内是上凸的； (5) 正态分布有两个参数，即平均数和标准差。是位置参数。 当恒定时，愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，愈小，曲线沿x轴愈向左移动。是变异度参数，如下图所示。当恒定时，愈大，表示x的取值愈分散， 曲线愈“胖”；愈小，x的取值愈集中在附近，曲线愈“瘦”。相同而不同的三个正态分布相同而不同的三个正态分布(6) 分布密度曲线与横轴所夹的面积为

8、1，即：三、标准正态分布 1. 标准正态分布定义 =0,2=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作 (u)和(u) 随机变量u服从标准正态分布，记作uN(0，1) 2. 标准正态分布曲线标准正态分布密度函数曲线 分布函数曲线 l x=0时，(x) 达到最大值 (1) 关于点（0，0.5）对称，该点也 l 是它的拐点l (2)x取值离原点越远， (x) 值越小° (2) 曲线以y = 0和y = 1为渐近线； l (3)关于y轴对称，即(x)= (- x) (3) (1.960)(1.960)

9、 = 0.95l (4)在x=1有两个拐点 (4) (2.576)(2.576) = 0.99(5)曲线与x轴间所夹面积为1l 由于正态分布的重要性，它的密度函数及分布函数的数值都已被编成表格备查(附表2)。l 注意的是多数表中只给出x0的 (x)和(x)值，这是因为由它们的对称性，有：l 因此可容易地算出x任意取值时 (x)和(x)的值。 3. 标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则u在u1,u2内取值的概率为：(u2)(u1) 常用关系式: P(0u u1)(u1)-0.5 P(uu1) =(-u1) P(uu1)=2(-u1) P(u u1)=1-2(-u1) P(u1u u2

10、)(u2)-(u1) 幻灯片35例：已知uN(0，1)，试求： (1) P(u-1.64)? (2) P (u2.58)=? (3) P (u2.56)=? (4) P(0.34u1.53) =? 解： (1) P(u-1.64)=0.05050 (2) P (u2.58)=(-2.58)=0.00494 (3) P (u2.56)=2(-2.56) =2×0.00523=0.01046 (4) P (0.34u1.53)=(1.53)-(0.34) =0.93699-0.63307=0.30392幻灯片364. 一般正态分布的概率计算 若随机变量 x服从正态分布N(,2)，则x的取

11、值落在任意区间x1,x2的概率，记作P(x1x x2)，等于下图中阴影部分曲边梯形面积。即： 正态分布的概率l 对于服从一般正态分布的随机变量X，需先把它标准化，然后再查表。标准化方法如下：设XN(，2)，令， 则U N(0, 1)，即这样，只要先计算U的值，就可以从标准正态分布表中查出所需要的数值了。 例： 已知小麦穗长服从N（9.978, 1.4412），求下列概率：（1）穗长<6.536cm,（2）穗长>12.128cm,（3）穗长在8.573cm与9.978cm之间。解：5. 几对常见的区间与其相对应的面积或概率 面积或概率 区间 ± 1 =0.6827 

12、7; 2 =0.9545 ± 3 =0.9973 ± 1.960 =0.9500 ± 2.576 =0.99006. 正态分布的单双侧临界值l 上侧临界值P(U> )= ，下侧临界值P (U <- )= (附表3 上侧临界值)l 若将一定曲线下面积，平分到两侧尾区，则每侧曲线下面积为/2, 即P( )= , 这时的 称为的双侧临界值。 注意：的双侧临界值=/2的上侧临界值幻灯片43l 例如，x落在(-1.960,+1.960)之外的为0.05，而/2为0.025。即l P(x-1.960)= P(x+1.960)=0.025l 例如：x落在(-2.57

13、6,+2.576)之外的为0.01，而/2为0.005，即 P(x-2.576)= P(x+2.576)=0.005例如，已知uN(0,1)试求： (1) P(u-)+P(u )=0.10的 (2) P(-u=0.86的解： （1) P(u- )= P(u )=0.10/2=0.05= 由附表3查得： =1.645 (2) P (- u )=0.86 ，=(1- P (- u )/2=（1-0.86）/2=0.14/2=0.07 由附表3查得： =1.476例如：已知猪血红蛋白含量x服从正态分布 X N(12.86，1.332)， 若P(xL1) =0.03, P(xL2)=0.03，求L1,

14、 L2 解：由题意可知由附表3查得： =1.881,所以 (L1-12.86)/1.33=-1.881， (L2-12.86)/1.33=1.881 即 L1 10.36，L2 15.36。7.中心极限定理（独立同分布）l 研究随机变量和的极限分布是正态分布的一类定理，称为中心极限定理。l 假设被研究的随机变量X，可以表示为许多相互独立的随机变量Xi的和。如果Xi的数量很大，而且每一个Xi对于X所起的作用又很小，则X可以被认为服从或近似地服从正态分布。 设随机变量序列独立于一分布内, 且有期望和方差：则对于任意实数 x,记则 Y n 为的标准化随机变量。即 n 足够大时，Y n 的分布函数近似于标准正态随机变量的分布函数近似近似服从已知、，不论总体是否