第一节向量及其线性运算

1、2021-11-231第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一一 问题的提出问题的提出四四 空间直角坐标系空间直角坐标系六六 小结与思考判断题小结与思考判断题二二 向量的概念向量的概念三三 向量的线性运算向量的线性运算五五 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算2021-11-232一一 问题的提出问题的提出 在平面解析几何中，我们曾经用代数的方法来解决集合问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。和解决平面问题相仿，我们先是给出空间直角坐标系的定义，接着给出空间中任意一点的坐标表示。和平面上任意两点间的距离相仿我们给出空间中任意两点间的距离公式。2021-11-233

2、 向量是我们解决空间解析几何问题的一个重要工具，同时向量的方法也是力学，物理学以及其他应用学科的一个好的方法。在这一节，我们在引入向量概念的基础上，给出向量的加减数乘的概念。同时要会应用向量来解决空间几何中的问题。大家需要注意的是，向量的方法是我们解决以后问题的一个重要的方法。2021-11-234向量：既有大小又有方向的量.向量表示：以1m为起点，2m为终点的有向线段. 1m2m a21mm模长为1的向量.21mm00a零向量：模长为0的向量（它的方向是任意的）.0|a21mm| |向量的模：向量的大小（长度）.单位向量：二二 向量向量( (vector)vector)的概念的概念或或或或2

3、021-11-235自由向量：不考虑起点位置的向量. .相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量. .ba向径： 空间直角坐标系中任一点 与原点构成的向量. ommba 记作记作量的方向相同或相反；平行向量：如果两个向ba2021-11-2361 加法(addition)：abc（平行四边形法则）特殊地：若ababc|bac 分为同向和反向bac|bac 三三 向量的线性运算向量的线性运算（operations of vectors)cba2021-11-237向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：.abba （2）结合律：cbacba )().(cba 2 减

4、法(subtraction)( baba abb b cbabac )(ba ba ab2021-11-238设 是一个数，向量a与 的乘积a 规定为 ,0)1(a 与与a同向，同向，|aa , 0)2(0 a , 0)3(a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 aaaa) 1( ,11)4(时，有当(multiplication by numbers)3 向量与数的乘法2021-11-239数与向量的乘积符合下列运算律（1）结合律：)()(aa a)( （2）分配律：aaa )(baba )(（3）分配律：向量相加及数乘向量统称为向量的线性运算.2021-11-2310同方向的单位向量，

5、表示与非零向量设aa0按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.2021-11-2311.01ababa，使一的实数分必要条件是：存在唯的充平行于，那么向量设向量定理我们用数乘向量来说明两个向量的平行关系：证证条件的充分性显然；下证必要性ab设设,ab取取正值，同向时与当ab2021-11-2312取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即有即有.同向同向与与此时此时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性再证再证 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，

6、0 a，故故0 . 即即2021-11-2313例例1 1 化简化简 43315abbba解解ba 541351)4151(.1217411ba 43315abbba2021-11-2314平行四边形的对角线平行四边形的对角线互相平分互相平分解解abcdmab交交点点。是是平平行行四四边边形形对对角角线线的的这这里里，、表表示示向向量量和和试试用用设设中中在在平平行行四四边边形形例例mmdmcmbmababadaababcd .,2 amacba2 maba2)()(21bama mamc)(21bamc mdbdba2)(21abmd mdmb)(21bamc 2021-11-2315x横轴

7、横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系.即以右手握住z轴，当右手的四个手指从正向x轴以2 角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向. 四四 空间直角坐标系空间直角坐标系角坐标系。它们构成了一个空间直轴，为原点的两两垂直的数就确定了三条都以向量和三个两两垂直的单位在空间取定一点okjio,2021-11-2316xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限2021-11-2317空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 对应11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(z

8、yxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c2021-11-2318 o1x轴轴x上点上点p 11i pxi xopiop 平行平行与与向量向量i xop 11x实数实数轴轴y上点上点p 11i yoq 11y实数实数轴轴z上点上点p 11i zor 11z实数实数以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijk2021-11-2319xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0(zyb),(zyxm

9、 ), 0 , 0(zr omr)0 ,(yxn oroqopnmpnopkzj yi x ，称为向量的坐标分解式称为向量的坐标分解式kzj yi xr 向向量量沿沿三三个个坐坐标标轴轴方方向向的的分分称称为为向向量量 rkzj yi x,空间的点空间的点m),(zyx 11kzj yi xr 11),(zyxr 向量的坐标式向量的坐标式2021-11-2320设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 空间两点间

10、的距离空间两点间的距离2021-11-2321,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo 1mpnqr 2m2021-11-2322五五 利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算利用向量的坐标，可得向量的加减法、向量与数的乘法运算,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kb

11、ajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2021-11-2323解解,111zzyyxxam ,222zzyyxxmb 设设),(zyxm为直线上的点，为直线上的点，例例 3 3 设设),(111zyxa和和),(222zyxb为为两两已已知知点点，而而在在ab直直线线上上的的点点m分分有有向向线线段段ab为为两两部部分分am、mb，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1( ，即即 mbam，求求分分点点的的坐坐标标. abmxyzo2021-11-2324由题意知：由题意知：mbam ,111zzyyxx ,222

12、zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzm为为有有向向线线段段ab的的定定比比分分点点.m为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 2021-11-2325六六 向量向量 的模、方向角、投影的模、方向角、投影量的模与两点间的距离向1.小，即长度向量的模就是向量的大omzyxr),(设向量222zyxr 2021-11-2326xyzo 1mpnqr 2m),(),(22221111zyxmzyxm任取两点任取两点21mm2om1om 2om),(222zyx 1om),(111zyx 2

13、1mm2om1om ),(222zyx ),(111zyx ,121212zzyyxx .21221221221zzyyxxmm 2021-11-2327例例 4 4 求求证证以以)1 , 3 , 4(1m、)2 , 1 , 7(2m、)3 , 2 , 5(3m 三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形. 解解 221mm,14)12()31()47(222 232mm, 6)23()12()75(222 213mm, 6)31()23()54(222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立.2021-11-2328例例 5 5 设设p在在z轴轴上上，它它到到)7

14、 , 1 , 4(1 p的的距距离离与与到到点点)2, 5 , 3(2 p的的距距离离相相等等，求求点点p的的坐坐标标. 解解设设p点坐标为点坐标为), 0 , 0(z因因为为p在在 z 轴轴上上， 1pp 222)7(10)40( z 2pp 1pp,2pp,914 z所求点为所求点为).914, 0 , 0( 222)2(05)03(z 2021-11-2329空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向量a与向量b的夹角 ),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 0() 2 向量的

15、方向角与方向余弦2021-11-2330 xyzo 1m 2m cos|aaxcos|aaycos|aaz向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .pqr的方向角称为向量与三坐标轴的夹角向量aa,2021-11-23310222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式2021-11-23321coscoscos222方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos特殊地：单位向量的方向余弦为1sinsinsin2222021-11-2

16、333例例 6 6 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式. 解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 2021-11-2334例例 7 7 设设有有向向量量oa，已已知知6 oa，它它与与x轴轴和和y轴轴的的夹夹角角分分别别为为3 和和4 ,求求a的的坐坐标标. 解解设设向向量量oa的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,

17、3 2021-11-2335)cos,cos,(cos6 oaa的的坐坐标标为为 )21,22,21(6 )21,22,21(6 or)3,23 , 3(or )3 ,23 , 3( )3,23 , 3(or )3 ,23 , 3( 2021-11-2336空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u aa 过过点点a作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点a 即即为为点点a在在轴轴u上上的的投投影影.2021-11-2337.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uabuuab.abababuuabuabab ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数

18、是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数3 向量在轴上的投影2021-11-2338空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uaa bb 已知向量的起点已知向量的起点a和终点和终点b在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为ba ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段ba 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.2021-11-2339abjupr.ba 向量向量ab在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（1 1） 向向量量ab在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：abjupr cos| ab 证证uaba b b abjuprabju pr cos| ab u 2021-11-2340关于向量的投影定理（关于向量的投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上