Newton-Cotes求积公式

1、第七章第七章 微积分的数值计算方法微积分的数值计算方法n传统方法的困境传统方法的困境n数值积分的基本思想数值积分的基本思想n数值积分的一般形式数值积分的一般形式n代数精度问题代数精度问题求函数求函数 f(x) 在区间在区间 a,b 上的定积分上的定积分 ( )baIf x dx是微积分学中的基本问题。是微积分学中的基本问题。返回章 7.1 基本概念基本概念badxxffI)()(对于积分公式有则由的原函数如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技术和科学研究中,常会见到以下现象:的一些数值只给出了的解析式根本不存在)(,)()1

2、(xfxf不是初等函数如求不出来的原函数)(,)()()2(xFxFxf求原函数较困难的表达式结构复杂,)()3(xf传统方法的困境传统方法的困境以上这些现象,Newton-Leibniz很难发挥作用!只能建立积分的近似计算方法-数值积分数值积分正是为解决这样的困难而提出来的，正是为解决这样的困难而提出来的，不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。不仅如此，数值积分也是微分方程数值解法的工具之一。数值积分的基本思想数值积分的基本思想 数值积分数值积分-是计算定积分的具有一定精度的近似值的各种计算方法。 从几何上几何上看，就是计算曲边梯形面积曲边梯形面积的近似值。 最简单的办法，是用许

3、多小矩形之和小矩形之和近似曲边梯形的面积，如图7-0所示，这就是-矩形公式矩形公式：图图7-0 矩形规则矩形规则yxa=x0 x1x2xixi+1xn-1xn =bf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x)1000121( )()(),0nnbiiiaiinnf x dxf x hA fbaAAAAhAn(1)图图7-1 梯形规则梯形规则xa=x0 x1x2xixi+1xn-1xn =byf0f1f2fifi+1fn-1fnf(x) 如果改用许多小梯形之和近似曲边梯形的面积，如图7-1，就会更精确些，这就是-梯形公式梯形公式。011211010( )2222bnnannniiiiifffff

4、ff x dxhhhffhhfA f012111,22nnAh AAAh Ah(2)( )() ( ), , baIf x dxba fa b积分中值定理但 具体位置一般是不知道的，( )f 称为函数y=f(x)在区间a, b上的平均高度。这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法。( )f一般地，我们取a,b内若干个节点处的高度的加权平均的方法近似地得出平均高度。数值积分的一般形式数值积分的一般形式 数值积分的一般形式是：数值积分的一般形式是：0( )nbiinaif x dxA fR其中，其中，fi -是函数是函数f(x)在节点在节点 xi 上的函数值，它可能以列表上

5、的函数值，它可能以列表形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函形式给出，也可以是由函数的解析式计算出的函数值；数值；Ai -称为节点称为节点 xi 上的权系数，也称求积系数。上的权系数，也称求积系数。 正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积正是由于权系数的构造方法不同，从而决定了数值积分的不同方法。分的不同方法。(3)记数值积分公式为记数值积分公式为0,ninnniiIA fIIR 即 特点：特点： 把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的把求积过程（极限过程）转化为有限次的乘法与加法的代数运算。代数运算。 xi为节点为节点 ，Ai 为求积系数。为求积系数。需要做的工作：需要

6、做的工作： 1. 确定节点和求积系数；确定节点和求积系数； 2. 估计余项；估计余项； 3. 讨论公式的算法设计及其数值稳定性。讨论公式的算法设计及其数值稳定性。 最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式最常用的一种方法是利用插值多项式来构造数值求积公式,具体步骤如下具体步骤如下:上取一组节点在积分区间,babxxxan10次插值多项式的作nxf)(nkkknxlxfxL0)()()(为插值基函数其中：), 1 , 0)(nkxlk不同的不同的插值方插值方法法有不同有不同的的基函数基函数,不同的不同的表示形表示形式式插值型求积公式插值型求积公式有的近似作为被积函数用,)()(xfxL

7、nbadxxf)(bandxxL)( bankkkdxxlxf0)()(nkbakkdxxlxf0)()(则，若记bakkdxxlA)(badxxffI)(n0() =I (1)nkkkA f x (1)式为数值求积公式式为数值求积公式. Ak为求积系数为求积系数, 且仅与积分区间和求积节点且仅与积分区间和求积节点xk 有关有关.0 ()= (2)nkknkR fI fA f xI fI称为求积余项。0(1)1 ( ) () ( )1 ( )( )(1)!插插值值型型求求积积公公式式bnannkkkbkkabnnaI ff x dxIR fIA f xAlx dxR ffx dxn (1)0,

8、 0( )()nnnbkkakfnfxRff x dxA f x若 为次数的多项式 则( )=0,从而 此时 也就是说，当被积函数也就是说，当被积函数f为次数不超过为次数不超过n 的多项式时，其相的多项式时，其相应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。应的插值型求积公式不是近似公式，而是准确公式。 当然期望公式能对越多的被积函数精确成立，并与当然期望公式能对越多的被积函数精确成立，并与此作为此作为判断求积公式判断求积公式“好好”与与“差差”的一个标准。的一个标准。判断求积公式判断求积公式“好好”与与“差差”的标准的标准代数精度代数精度因此定义代数精度的概念:定义1. 若求积公式 badx

9、xffI)()()()(0fIxfAnnkkk即都准确成立次的代数多项式对任意次数不超过,)(mixPmi即只要立次多项式却不能准确成但对,1mbaidxxP)(nkkikxPA0)(mi, 1 , 0bamdxx1nkmkkxA01则称该求积公式具有m次的代数精度.代数精度也称代数精度也称代数精确度代数精确度可以证明，求积公式可以证明，求积公式 ( )baf x dx0()nkkkA f x具具有有 次次代代数数精精度度的的充充要要条条件件是是它它对对m,都都能能准准确确成成立立 但但对对( )1, ,mf xxx1( )mf xx不能准确成立不能准确成立.显然，一个求积公式的代数精度越高，

10、显然，一个求积公式的代数精度越高，它就能对更多的被积函数它就能对更多的被积函数f(x)准确成立，准确成立，从而具有更好的实际计算意义。从而具有更好的实际计算意义。结论：结论： 含有含有n+1个节点的插值型求积公式个节点的插值型求积公式 的代数精度至少为的代数精度至少为n.例1. 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.)()()0()()0(2)()(120fIhffahhffhdxxffIhhdxxI00解:221hI 202231hahhI0)(xxf对于hI 1hhdxxI011)(xxf对于22hhdxxI022)(xxf对于33h3)221(ha1II 令121a302224

11、1hahhIhdxxI033)(xxf对于44h44h4023251hahhIhdxxI044)(xxf对于55h65h3 , 2 , 1 , 0)()(1jxIxIjj)()(414xIxI因此所以该积分公式具有3次代数精确度 n 1 Newton-Cotes公式公式n 2常用的常用的NC公式公式n3. Newton-Cotes公式的稳定性 7.2 Newton-Cotes求积公式求积公式1、Newton-Cotes数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式,)(baCxf设函数为插值多项式及余项分别的Lagrangexf)(等份分

12、割为将积分区间nba,nkkhaxk, 1 ,0,为步长其中nabh各节点为nkkknxlxfxL0)()()()()!1()()(1)1(xnfxRnnn10( )(), , nniixxxa b 其中101( )( ),()()jnkj nkjnkkj kxxxlxxxxxx 而)()()(xRxLxfnn因此对于定积分badxxffI)()(banndxxRxL)()(有badxxffI)()( bankkkdxxlxf0)()(bandxxR)(nkkkxfA0)(bandxxR)(令nkkknxfAfI0)()(banndxxRIR)()(badxxffI)()()()()(nnIR

13、fIfI即有bakkdxxlA)(其中dxxxxxbakjnjjkj 0n阶阶Newton-Cotes求积公式求积公式Newton-Cotes公式的余项公式的余项(误差误差)()(fIfInbakkdxxlA)(dxxxxxbakjnjjkj 0:的计算kA注意是等距节点thax假设,bax由, 0nt可知kAdxxxxxbakjnjjkj 0dthhjkhjtnkjnj 00)()(dtjtknkhnkjnjkn 00)()!( !)1(dtjtknknabnkjnjkn 00)()!( !)1()()()(nkkCabAnkkknxfAfI0)()(nkknkxfCab0)()()(所以N

14、ewton-Cotes公式化为( )a,bnkCCotes称为系数,独立于区间和被积函数,只与等分区间数n有关，从而与求积问题本身没有关系.Nowton-Cotes型求积公式的误差分析定理定理7.2.1 Newton-Cotes求积公式的余项可表示为：( ) , ,n+1n+1（1 1）对对n n为为奇奇数数的的情情形形，设设函函数数则则f xCa b2(1)R ( ) , n n，nnnfr hfa b01r(1)()(1)!nnn dn 其中( ) , ,f xCa bn+2n+2（2 2）对对n n为为偶偶数数的的情情形形，设设函函数数则则3(2)R ( ) , n n，nnnfr hf

15、a b其中201r(1)()(2)!nnn dn2、低阶Newton-Cotes公式及其余项在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也最重要三个公式,称为低阶公式(1). 梯形公式及其余项梯形公式及其余项abhbxaxn, 110则取dtt10)1()1(0CCotes系数为21dtt10)1(1C21求积公式为)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即上式称为梯形求积公式梯形求积公式,也称两点公式两点公式，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1

16、fIT 梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(1dxbxaxfTRba )(2)()(dxbxaxfba )(2)(,ba第二积分第二积分中值定理中值定理6)(2)(3abf (1)1( )( )( )(1)!，与与 有有关关nnnfRxxnx)(12)(3fab 2312)(|)(|MabTR|)(|max,2xfMbax 梯形公式具有1次代数精度故(2). Simpson公式及其余项2,2,2210abhbxabxaxn则取Cotes系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求积公式为)(2fI20)

17、2()()(kkkxfCab)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为Simpson求积公式求积公式，也称三点公式或抛物线公式三点公式或抛物线公式记为)(2fIS Simpson公式的余项为)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有3次代数精度(3). Cotes公式及其余项4,4 , 1 , 0, 4abhkkhaxnk则取Cotes系数为dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttt

18、tC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(4907求积公式为)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式称为Cotes求积公式求积公式，也称五点公式五点公式记为)(4fIC Cotes公式的余项为)()(4IRCRbadxx

19、R)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有5次代数精度 常用的常用的NC公式：公式：10203015(4)0121 () ( )()( ) 2122 () ( )(4)( ) 390 xxxxnhhf x dxfffnSimpsonhhf x dxffff 梯梯形形30405(4)0123012347(6)3 (38) 33 ( )(33)( )8804 () 2 ( )(7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()458 (945xxxxnSimpsonhhf x dxfffffnCoteshf x dxf xf xf xf xf xhf ) () , , () (

20、0,1, ) iiibahxaihff xinn 其其中中： 常用的常用的NC公式公式 观察这些公式的代数精度阶数，自然会得出结论：观察这些公式的代数精度阶数，自然会得出结论：1. 梯形规则简单，有梯形规则简单，有1阶代数精度；阶代数精度；2. 再增加一个节点，就是具有再增加一个节点，就是具有3阶代数精度的阶代数精度的Simpson公式；公式；3. 而而Simpson3-8公式又增加一个节点，精度公式又增加一个节点，精度却没有提高。却没有提高。所以，人们一般常用前两个方法。所以，人们一般常用前两个方法。0( )002.( )1.11nbkaknnnkkkkf xAdx baCAba 一般求积公

21、式对准确成立因此即( )3.00(0, )nkCknk当A( )1.(),(0, )nkkAba CknCotes系数的性质系数的性质:三、Newton-Cotes公式的稳定性(舍入误差)dtjtknknCnkjnjknnk 00)()()!( !)1(考察Cotes系数 , ,( )ja bxf x只只与与积积分分区区间间的的节节点点 的的划划分分有有关关 与与函函数数无无关关, ,因此用Newton-Cotes公式计算积分的舍入误差主要由的计算引起函数值)(kxf其值可以精确给定。响的舍入误差对公式的影只需讨论)(kxf)()()(,)(计算值的近似值作为而以为精确值假设kkkxfxfxf

22、为误差)()(kkkxfxf)( fInnkknkxfCab0)()()(记)(计算值的近似值为nI而理论值为)( fInnkknkxfCab0)()()(的误差为与nnII)()(fIfInnnkkknkxfxfCab0)()()()(nnII nkknkCab0)()(nkknkCab0)()(nnII nknkCab0)()(|max|k有若,0,)(nkCnknnII nknkCab0)()()(ab ( )01nnkkC性质：即nnII )(ab Newton-Cotes公式的舍入误差只是函数值误差的倍)(ab 时，公式都是稳定的当事实上8,n公式是稳定的时即CotesNewtonC

23、nknk,0,)(nknkCab0)()(有有正有负若,)(nkCnknkCab0)()()(ab 此时,公式的稳定性将无法保证因此,在实际应用中一般不使用高阶Newton-Cotes公式而是采用低阶复合求积法(下节) 7.2 复化求积法复化求积法 , ,1a bn 当当积积分分区区间间的的长长度度较较大大 而而节节点点个个数数固固定定时时, ,直接使用直接使用Newton-Cotes公式的余项将会较大公式的余项将会较大；,1n 而而如如果果增增加加节节点点个个数数 即即增增加加时时, ,公式的舍入误差又很难得到控制。公式的舍入误差又很难得到控制。为了提高公式的精度为了提高公式的精度,又使算法

24、简单易行又使算法简单易行,往往使用复合方法往往使用复合方法 , a b即即将将积积分分区区间间分分成成若若干干个个子子区区间间, ,然后在每个小区间上使用低阶然后在每个小区间上使用低阶Newton-Cotes公式，公式，最后将每个小区间上的积分的近似值相加。最后将每个小区间上的积分的近似值相加。一、复化求积公式一、复化求积公式等份分割为的积分区间将定积分nbadxxfba,)(nkkhaxk, 1 ,0,nabh各节点为公式上使用在子区间CotesNewtonnkxxkk)1, 1 , 0(,1节点为步长为等份分割为将,1lhlxxkk1,2,kkkkkxllhxlhxlhxx记为121,kl

25、lklklkkxxxxx)(1)(klxxIdxxfkkliliklikkxfCxx0)(1)()(求积公式阶的上作在CotesNewtonlxfxxkk)(,1liliklixfCh0)()(badxxf)(101)(nkxxkkdxxf10)(nkklI由积分区间的可加性积分区间的可加性, 得100)()(nkliliklixfCh复化求积公式复化求积公式nI1,l 时 可得复化梯形求积公式nbaTdxxf)(1010)1()(nkiikixfCh101)()(21nkkkxfxfh11 ( )2()( )2nnkkbaTf af xf bn复化梯形公式复化梯形公式:称为复化称为复化Sim

26、pson公式或复化抛物线公式公式或复化抛物线公式10121)()(4)(61nkkkkxfxfxfh111012 ( )4()2()( )6nnkkkkbaf af xf xf bn求积公式可得复合时Simpsonl,2nbaSdxxf)(10202)2()(nkiikixfCh例1.10sindxxxI计算定积分使用各种复合求积公式解:为简单起见,依次使用n=8的复化梯形公式、 n= 4的复化Simpson公式.可得各节点的值如右表 0 10.125 0.997397870.25 0.989615840.375 0.976726740.5 0.958851080.625 0.936155640.75 0.908851680.875 0.87719257 1 0.84147098)(iixfx012345678xxxxxxxxx梯形01021112212231324Simpsonxxxxxxxxx8T )1()(2)0(16171kkfxff分别由复化梯形、Simpson公式有94569086. 04S)1()(2)(4)0(241313021fxfxffkkkk94608331. 08T94569086. 04S94608331. 0原积分的精确值为10sindxxxI67