42换元法1第一换元法

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法 第四四章 一、第一类换元法一、第一类换元法dxxxf)()( )()(xuduuf 基本思想基本思想)()(xdxf)(xu做变量替换做变量替换已知设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换元公式定理定理1 1例例12cos2xdx 1(2 )2dxdx 凑微分凑微分2cos2xdx 12cos2(2 )2xdx cos2(2 )xdx 令令2ux cosudu 原原式式sinucsi

2、n2.xc例例2 2 求求.231dxx 解解),23(21xddxdxx 231)23(23121xdxduu 121cu ln21.23ln21cx dxbaxf)( baxuduufa)(1一般地一般地令令32ux22)(1d1axxa例3. 求求.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1cuaarctan1caxa)arctan(1想到公式21duucu arctan)(ax例4. 求求).0(d22axax21duu想到cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxcax arcsin22dxaxcaxaxaln21例5. 求求.d22

3、axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lncaxax)( d小结小结1 求不定积分时，首先要与已知的基本积求不定积分时，首先要与已知的基本积分公式相对比，并利用简单的变量代换，分公式相对比，并利用简单的变量代换，把要求的积分化成已知的形式，求出以把要求的积分化成已知的形式，求出以后，再把原来的变量换回。后，再把原来的变量换回。 前前5个例子中采用代换个例子中采用代换 u=ax+b, du与与dx只相差一个常数只相差一个常数 du=a dx 。 注意例注意例3，4与例与例5解法

4、差别。解法差别。例6. 求求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdcx cosln?dcotxxxxxsindcoscx sinlnxxsinsindxxdtan类似例例7 7 求求.12dxxx解解)1 (21122xdx原式原式2123223)1 (1xccx232)1 (31例例8 8 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121cu ln21.ln21ln21cx 例例9. 求求.d3xxex解解: 原式原式 =xexd23)3d(323xexcex332例例1010

5、 求求解解.2arcsin412dxxx dxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx .2arcsinlncx 小结2：常用的凑微分形式xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xeefxxd)()(3)(xefxedxxxfd)()(2114)(xf1)(xd1xxxfd)(ln)(15)(ln xfxlndxxxfd)()(16)(xfxd2xxxfdcos)(sin)(7)(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)(8)(cosxfxcosdxxxfdse

6、c)(tan)(29)(tan xfxtandxxxfdcsc)(cot)(210)(cot xfxcotdxxxfd)(arcsin)(2111)(arcsin xfxarcsindxxxfd)(arctan)(2112)(arctan xfxarctand1dxxx xxd12原原式式 xxd1)1(2cx 14解解练习：1xxxdcos1122cx1sin例例1212 求求.)1(3dxxx 解解dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1()1(1)1(132xdxx 221)1(2111cxcx .)1(21112cxx 例例1313 求求.25812dxxx 解解dxxx 2581

7、2dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31cx 422.25xdxxx2221()2 (1)4原原式式d xx解解22221(1)2 (1)2d xx2221()12141 ()2xdx211arctan42xc练习练习例例1414 求求.11dxex 解解dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxededx .)1ln(cexx 小结小结3 通过加项、减项化成已知的积分形式通过加项、减项化成已知的积分形式例例1515 求求解解.cossin32xdxxxdxx32cossin)(sincossi

8、n22xxdx)(sin)sin1 (sin22xdxx)(sin)sin(sin42xdxx.sin51sin3153cxx说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇拆开奇次项次项去凑微分去凑微分.)2cos2cos21 (241xx 例16 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321c利用倍角公式 降幂例

9、例1717 求求解解1.cos11 dxx dxxcos11dxx2cos212dxx2sec212.2tancx22sec2xdx例例1717 求求解解2.cos11 dxx dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 dxxx2sincos1 )(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotcxx 例例1818 求求解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21coscosbababa ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21cxx 例例19

10、19 求求解解（一）（一） dxxsin1.csc xdx xdxcsc dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxcx 2tanln.cotcsclncxx （使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）解解（二）（二） dxxsin1 xdxcsc dxxx2sinsin )(coscos112xdxxucos duu211 duuu111121cuu 11ln21.cos1cos1ln21cxx 类似地可推出类似地可推出.tanseclnsec cxxxdx例例20. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(t

11、anxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanc小结小结4 4 注意三角公式使用，如和差化积，积化和差，注意三角公式使用，如和差化积，积化和差，和差倍半角公式，三角函数恒等式等。和差倍半角公式，三角函数恒等式等。求不定积分中，公式变形和联想非常重要。求不定积分中，公式变形和联想非常重要。复杂积分式的凑微分法：复杂积分式的凑微分法：dxxx44221cossin.例dxxxx 4cos4cossin2原式原式 222)(cos4)(cosxxdcx )2cosarcsin(2解解dxxexxx)()(.1122例dxxexeexxxx )1 () 1(原原式式)()1()1(xxxxxxedxexexexe )1 ()(xxxxexexedcxexexx 1