(几何篇)相似形的综合运用(二)

1、18. 相似形的综合运用（二）知识考点：本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。精典例题：【例 1】如图已知， ABC 中， AB 5，BC 3，AC 4， PQ AB， P 点在 AC 上（与点A、 C 不重合）， Q点在 BC上。（ 1）当 PQC的面积与四边形 PABQ的面积相等时，求 CP的长。（ 2）当 PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等时，求 CP的长。（ 3）试问：在 AB 上是否存在点 M，使得 PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出 PQ的长。解：（ 1）四边形PAB

2、Q，S PQC:S ABC1 : 2SPQCS又 PQAB， PQC ABCSSPQCABC2421PC1， PC28AC22故PC 22（ 2） PQC的周长与四边形 PABQ的周长相等 PCCQ PAAB QB 1 （ ABC的周长） 62又 PQ AB， CPCQ，即CP 6CP ，解得 CP24CACB437CCCPQPQQPABAMM B AMB例1图1例1图2例1图3（ 3）依题意得（如图2）当 MPQ 900， PM PQ时，由勾股定理的逆定理得 C900， ABC的 AB边上的高为 12 ，设 PM PQ x512xx60605，解得 x PQAB， CPQ CAB，1237，

3、即 PC537560当 MQP900 ， QPQM时，同理可得 PC37依题意得（如图3）当 PMQ 900 ， MP MQ 时，由等腰直角三角形的性质得：M1 / 5到 PQ的距离为1 PQ，设 PQ x ，由 PQ AB可得 CPQ CAB，所以有：2121Ax5x，解得 x120 ，即 PQ120251249495【例2】如图， ABC A B C ， C C 900， AC 3cm， A B 5cm，先将 ABC 和 A B C 完全重合，再将BBCABC 固定， A B C 沿 CB 所在的直线向左以每秒1cm 的速例 2 图度平行移动，设移动x 秒后， ABC 与 A B C 的重

4、叠部分的面积为 y232。cm ，则 y 与 x 之间的函数关系式为，秒后重叠部分的面积为8cm3 x2答案： y3x 6 （ 0 x 4）8变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。探索与创新：【问题】在ABC中， D 为 BC 边上的中点， E 为 AC 边上任意一点，BE 交 AD于点某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：当AE 11时，有AO 22 （如图 1）ACO。AC211AD321当 AE111时，有 AO22（如图 2）AC32AD422当 AE111时，有 AO22（如图 3）AC43AD523在图4 中，当 AE1时，参照上述研究结论，请你

5、猜想用n 表示 AO 的一般结AC1nAD论，并给出证明（其中n 是正整数）。分析：特例能反映个性特征信息,个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。特例所反映的个性特征 ,往往通过类比就可以反映其共性规律。对照（ 1）、（ 2）、（ 3）很容易猜想得到这样一个结论：独想：当 AE1时，有 AO2成立。AC1 nAD2nAAAAEEEOEOOOFBDC BDC BDC BDC问题图 1问题图 2问题图 3问题图 4证明：过点D 作 DF BE，交 AC于点 F D 是 BC的中点 F 是 EC的中点由 AE1可知 AE1AC1 nECn2 / 5 AE 2 EF n AE 2 AF 2 n A

6、OAE2AD AF2n跟踪训练：一、填空题：1、梯形 ABCD中， AB CD， AB CD， AC、 BD交于点 O，过点 O的直线分别交AB、 CD于 E、F，若 AE1 ， FC 4cm，则 CD cm。AB32、如图， O 是平行四边形ABCD对角线的交点， OEAD 交 CD 于 E， OFAB 于 F，那么S OEF S平行四边形 ABCD 。BAADGOFHEEBFCCD第2题图第3题图3、如图，在梯形ABCD中， ABCD，中位线EF 交 BD 于 H，AF 交 BD 于 G， CD 4AB，则S梯形 ABCD S GHF 。二、选择题：矩形 ABCD中， AB 3， AD 4

7、， DE垂直对角线 AC于 E，那么 S ADE S DCE （）A、 43B、 169C、2 33D、34三、解答题：1、如图，在正方形ABCD中， M是 AB 上一点， BMBN，作 BP MC于 P，求证： DPNP。ADAHDyECMPGMQBAP BOxFBNCC第2题图第 4题图第1题图2、如图，在四边形ABCD中， E、 F、 G、 H 分别是AB、 BC、 CD、 DA 上的点，且AEBFDGAHk (k0) ，阅读下段材料，然后再回答后面的问题：EBFCGCHD3 / 5连结 BD， AEAH ， EHBDEBHD BFDG ， FGBD， FG EHFCGC连结 AC，则

8、EF 与 GH是否一定平行？答：。当 k 值为时，四边形 EFGH是平行四边形；在的情况下，对角线 AC与 BD只须满足条件时， EFGH是矩形；在的情况下，对角线 AC与 BD只须满足条件时， EFGH是菱形。3、已知 ABC中， AB 23 ，AC 2，BC边上的高 AD3 。（ 1）求 BC的长；（ 2）如果有一个正方形的一边在AB上，另外两个顶点分别在 AC、 BC上，求正方形的面积。提示： D 点可能在 BC上或在 BC的延长线上，问题要分类讨论。3、已知抛物线y1 x 23mx 18m 2m 与 x 轴交于 A（ x1 ， 0 ）， B（ x2 ， 0 ）8( x1x2 )两点，与

9、y 轴交于点C 0O为坐标原点。（ ， b ），（ 1）求 m 的取值范围；（ 2）若 m1A、 B、C 三点的坐标；， OA OB 3OC，求抛物线的解读式及18（ 3）在（ 2）的情形下，点P、 Q 分别从 A、 O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB、 OC向 B、 C 运动，连结 PQ与 BC交于 M，设 AP k ，问是否存在 k 值，使以 P、 B、 M 为顶点的三角形与 ABC相似。若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由。跟踪训练参考答案一、填空题：1、 12；2、 1 8； 3、 152；二、选择题： B三、解答题：1、证 BPM CPB， PBN PCD；2、不一定；1； AC BD； AC BD