无穷小的比较--无穷小的阶推荐课件

1、2021/8/221第六节第六节 无穷小的比较无穷小的比较 无穷小的阶无穷小的阶一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、二、 等价无穷小等价无穷小三三、 小结小结2021/8/222一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如, ,23;xx比比要要快快得得多多;sin大大致致相相同同与与xxxxx3lim20,0 xxxsinlim0, 1 观察下列极限观察下列极限当当 时时,0 x 221,sin ,sinx xx xx都是无都是无穷小穷小.不可比不可比. .,不不 存存 在在2201sinlimxxxxxx1sinlim0 00型型极限不同极限不同, ,反映了无穷小趋向于零的速度的反映了无穷小趋

2、向于零的速度的“快慢快慢”程度不同程度不同. .2021/8/223定义定义: :lim0, (1)如果如果 则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小设设 是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小, 且且0 ( )o 记作记作 (2)如果如果 ,lim 则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小；的无穷小； (3)如果如果 , lim0C 则称则称 与与 是是同阶同阶的无穷小；的无穷小；特殊地特殊地,如果如果lim1, 则称则称 与与 是是等价等价的无穷小；的无穷小；;记作记作 (4)如果如果 ,lim0,0kCk k无穷小；无穷小； 则称是的则称是的 阶的阶的2021/8/224，03

3、lim20 xxx例如，因为例如，因为所以当所以当0 x 时，时，sin x与与x是等价无穷小是等价无穷小2(3 ),(0).xoxx 即即所以当所以当0 x 时，时，2x是比是比3x高阶的无穷小高阶的无穷小因为因为，1sinlim0 xxxsin,(0).xxx 即即2201lim9(3 )xxx ，而而所以当时，所以当时，0 x 2x是是3x二阶无穷小二阶无穷小2021/8/225证明证明 因为因为30 xxxxsintanlim )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 例例1 1 证明：证明：0 x 当

4、当时，时，tansinxx 为的三为的三x阶无穷小阶无穷小所以所以tansinxx 为为x的三阶无穷的三阶无穷小小301sin(1)coslimxxxx 30sin (1cos )limcosxxxxx 2021/8/226二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换(2), lim 定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) )证证 limlimlim(3)lim 存在存在 lim则则是同一极限过程是同一极限过程的的(1) ( )( )( )( )xxxx 、无穷小；无穷小；lim() limlim 2021/8/227几个常见的等价无穷小几个常见的等价无穷小:上述等价无穷小中的上述等价无

5、穷小中的 可以是可以是函数形式函数形式,xsin;xx211cos;2xx sinxx tan x arcsin x arctan x ln(1)x 1,xxe (1)1,(0)axaxa 1 lnxaxa 当当 时时,0 x 但在所考虑的极限过程中但在所考虑的极限过程中,此函数的此函数的极限极限应为零应为零. 2021/8/228例例2 2解解22021)2(limxxx 原原式式.8 例例3 求极限求极限201sin1lim1xxxxe 解解 因为因为0 x11sin1sin ,2xxxx 221 xex 所以所以有有20sin 2lim.1cosxxx 求求211cos,2xx sin2

6、 2 .xx0 x 当当时时,201sin1lim1xxxxe 201sin2limxxxx 12 2021/8/229例例4 4.1sin)1(lim0 xxexx求求解解.1,sin,0 xexxxx 时时当当xxxx) 1(lim0 原原式式. 1 )1(lim0 xx若未定式的分子或分母为若干个因子的若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积乘积,不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .切记切记: :只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子作无穷小等价代作无穷小等价代换换, ,注意：注意：则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换等

7、价无穷小代换, 而不会改变原式的极限而不会改变原式的极限对于对于代数和代数和中各无穷小中各无穷小不能不能分别代换分别代换.2021/8/2210解解解解错错例例5 530tansinlim.sin 2xxxx 求求当当 时时,0 x tan,sin.xxxx 30lim(2 )xxxx 原式原式0. 23012lim(2 )xxxx 原式原式1.16 301sin(1)coslim(2 )xxxx 30sin(1cos )lim(2 ) cosxxxxx 2021/8/2211例例 6 计算计算)()ln()ln(sinlim型型0022220 xexxexxxx 解解)ln()sinln(l

8、im112220 xxxexxe因为因为,时时0 x,sin)sinln(xexexx221 xx )ln( 1,所以所以22221xexexx )ln(于是于是xexxexxxx2)ln()ln(sinlim2220 xxxexxe2220sinlim 1 22220ln(sin)lnlimln()lnxxxxxxeexee 原式原式2021/8/2212解解)()(lim0 xxx 201arcsincoslim( 1arcsincos)xxxxkxxxx )arcsincos1(lim2120 xxxxkx )121(21 k1 34k 当当 时时, 与与 0 x2)(kxx xxxxc

9、osarcsin1)( _ k是等价无穷小是等价无穷小, 则则例例7 (0702)2021/8/2213例例8 (040210)计算极限计算极限1)3cos2(1lim30 xxxx解解)1ln(t t由由 与与 等价等价 得得:)0( t113232 xxxexcosln)cos(原式原式20cos13limxxx 0 xcos13xx 16 32xxcosln2021/8/2214三、小结三、小结1 1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速两无穷小趋于零的速度快慢度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行但并不是所有的无穷小都可进行比较比较.2、等价

10、无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法, , 注意适用条件注意适用条件. .高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.2021/8/2215练习练习 (030104)21ln(1)0_lim(cos )xxx 解解221lncosln(1)ln(1)00lim(cos )limxxxxxxe 20lncoslimln(1)xxx 20cos1limxxx 20ln(1cos1)limxxx 211ln(1)20lim(cos ).xxxe 12 2021/8/2216练习练习),( ,sinsinlim且且不不同同时时为为零零求

11、求 xxeexxx0解解xxeexxx222110 cossinlim原原式式)cossincossin(limxxexxexxx222122210 而而xxexx2cos2sin21lim0 xxx)(lim02021/8/2217xxexx2cos2sin21lim0 所以所以xxeexxx sinsinlim0 1 xxx)(lim0 2021/8/2218任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？思考题思考题2021/8/2219思考题解答思考题解答,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim 不存在且不为无穷

12、大不存在且不为无穷大不能不能时时例例如如，当当 x故当故当 x函数函数)()(xgxf和和不能不能比较比较.2021/8/2220一、一、 填空题：填空题：1 1、2 2、3 3、4 4、_;2sin3tanlim0 xxx_;)(sinarcsinlim0 nmxxx_;)21ln(lim0 xxx_;arctan1sin1lim20 xxxxx练习题练习题2021/8/22215 56 6、xaxnx1)1(lim10 =_.=_. _;2sin2lim nnnx2021/8/22227 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . . 8 8、 当、

13、当0 x时， 无穷小时， 无穷小xcos1 与与nmx等价，等价，则则 ._,nm 2021/8/2223二、求下列极限二、求下列极限axaxax tantanlim(1) xxxx30sinsintanlim (2) eelim(3)xxxx sinsinlim0 (4)2021/8/2224三、三、 证明： 若证明： 若 ,是无穷小， 则是无穷小， 则)(0 . . 四、 设四、 设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . . 2021/8/2225一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、na； 7 7、3