模糊合作对策的Shapley值

1、管埋科学学报JOURNAL OF MANAGB/1ENT SCIENCES IN CHINA第9卷第5期2006年10月Vol.9 Nd. 5Oct. 2006Shapley陈雯，张强(北京理工大学管理与经济学院北京100()81):考虑合作对策中支付函数是模糊数的情形利用模糊数学相关理论，对Shapley提出的 三条公理进行拓广并构造了模糊Shapley值.针对局中人在合作完成后需要对具体的联盟收 益进行分配的情况，文中利用构造的模糊Shapley值我属函数给出确定的收益分配方案 最 后将该方法应用到动态联盟伙伴企业收益分配的实例中.:(模糊)合作对策：模糊Slwlcy值；隶属西救©

2、; 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved http:/www .cnki.ncl管埋科学学报JOURNAL OF MANAGB/1ENT SCIENCES IN CHINA第9卷第5期2006年10月Vol.9 Nd. 5Oct. 2006 收箱日期：2005- 0318:修订日2006- 0716.基金坝目:国赛自然料学基金资助項目(70171063: 70171036). 作者简介：陈 雯(1978)，女.河南人博士生.Biuil: chenuvn.1129 bil

3、. edu. cn:N94: A0合作对策是局中人共同取得尽可能大的利益 的竞争决策分析模型在合作对策过程中局中人 要考虑如何结成联盟以及如何重新分配联盟的 支付.二元组(/V)称为局中人集合I = /1.2, n上的合作对策.如果v是I的所有子集形 成的集合2上的映射，即2满足(i) v(0» = 0(ii) 对于K.L 5且k A L = 0则有 v( K JL) >v( K) + v(L)映射v称为支付函数.I的任意子集K称为联盟. 从测度论的观点看，是集合27上的一个超可加 集函数.合作对策有多种解的定义.Shapley值是合作 对策中最常用的一种解概念 1953年.S

4、hapley提 出了求解多人合作对策问题的一种公理化方 法.即首先设置了三个人们普遍接受的公理1(对称性丿如果局中人八丿八对于 任意的联盟K U i i,j总有V( K U/丿= v( K UO7).那么 i(v)="巧2(有效性丿如果对于所有包含/的子:1007 - 9807(2006)05 0050 - 06集 K都有 X K) = v( K i),贝lj i(v) = 0.V) = v( I).3(可加性丿对干任意两个合作对策(/vi)和(人 ，如果存在一个合作对策仃. VI + V2)对于任意的联盟kJ总有(Vj + V2) X (K=刃(K丿 + >2( K)，则 /

5、(V1 十 V2)=,( V|) +i( V2) , i I.然后.求出唯一满足这三个公理的各个局中 人的支付值i(v) fR.“ =x(v( K) - i) , V/ /(1)其中“为联盟K中的人数，为局中人的个数.3 = ( ,(V)/ / 为 Shapley 值向量，简称 Shapley f.它是支付函数v的单调非减函数(证 明见文献/11).在具有趙可加性的合作对策中表 示一特定的分配.Shapley值是定义在经典合作对策理论上的 一种解的形式.经典的合作对策基于两个假设 局中人完全参与到一个特定的联盟之中即每个 局中人要么参加某个联盟.要么不参加某个联盟. 不存在局中人以一定的参与率

6、或参与程度参加某 © 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved http:/www .cnki.ncl53管理科学学报2006年10月个联盟的情况.局中人在合作之前完全清楚地 知道不同的合作策略所产生的收益以及自身参 与特定联盟的所得分配但是'现实中的对策问题 原型往往不满足以上两个假设现实中更多的情 况是局中人分别以不同的参与率或参与程度参加 多个联盟并且在合作之前他们对不同合作策略 下的收益以及自己在特定联盟下的所得分配知道 地不精确、不确定.甚至是不

7、清楚.现实问题对合作对策理论提出的更高要求. 促使国外许多学者展开了不确定环境下的对策理 论研究模糊合作对策的研究就是其中的方向之 一.它的研究重点主要集中在局中人参与联 盟程度模糊化条件下合作对策解的求解.支付 函数模糊化条件下合作对策解恰束解这些具有 模糊信息的合作对策统可称为槌糊合作对策.对干研究重点 Aubin13-51首先提出了模 糊合作对策的概念.指出局中人可以以不同的参 与率参加多个联盟，这个参与率用一个介于【0, 1 I之间的模糊数来表示:Butnariu1691在Aubin提 出的模糊合作对策概念的基础上定义了模糊 Shapley值然而他定义的模糊Shapley值与经典 的S

8、hapley值相比既不单调非减又不连续不能 很好的适应现实的应用要求:Tsurumi等在 Butnariu的基础上构造了一个在Choquet积分上 的模糊Shapley值，使其单调非减且连续.对干研究重点©.Mares"1 151于1995年拓展 了模糊合作对策的概念指出具有模糊支付函数 的合作对策也是模糊合作对策的一种形Mares 在文献12, 13中仿照经典的Shapley值定义了 模糊Shapley值(v( K) O亍k) !( k 1 丿!i ( V)(-v( K- i) . Pi /(2)其中"为联盟K中的人数，为局中人的个数， v(K)为模糊支付函数.

9、然而他定义的模糊 Shapley值很难满足Shiipley提出的三条公理, Marc§最终仅是求得Shapley值的模糊隶属函数， 而没有给出具体的联盟收益分配方案另外.Aarts1161等人研究了单调集合对策的 Shapley值相比之下.模糊集合的Shapley值具有 更广泛的研究意义.本文考虑合作对策中支付函 教是模糊数的情形，利用模糊数学相关理论，对Shapley提出的三条公理进行拓广，构造了模糊 Shapley值并在此基础上给出了确定的联盟收益 分配方案.1Slia pley二元组(/")称为局中人集合1 = 11, 2, ，川上的模糊合作对策，其中D是定义在2上，

10、 取值在模糊数集合刃上的模糊支付函数，即；： 2，f 刃且 7(0) = 0.设H W( V)是模糊数计Q的隶属函数.对 于任意的/0,的截集为v(K)=v /?13丿 > 八这里，可以看作是置信水平或置信度.由模糊数的性质可知.询幻的 截集可以用区间/K) , vR( K)来表示.1在模糊合作对策(/.硏中如果任意 两个联盟K. L U/. K QL = 0.对干给定的&0, 1/总有K JL) >vR( K) + vR(L)v( K JL) >v(K) + vL(D(3丿则称模糊支付函数具有超可加性它们表示 在置信水平 上.没有一个局中人愿意接受比自 己单干所获收

11、益少的合作策略/，7J8/.2对丁给定的 /0, 1/.如果分配x = (冲)g满足x, > &( i) , V/ /v (I) < 刁,(4) 则称x =(Aj/o为模糊合作对策(人刁的一个分配"即3对于模糊合作对策(/. v)和给定的 /0,如果有联盟kJ满足V (S 0 K) = V (S) , Vs C/(5)则称K为模糊合作对策3,研的-承载.这时有 7-( S C K)=孑(S)且跡(S n K)=腐(S 丿.在定义了截集上的上述模糊合作对策相关 概念以后.可将经典Shapley值满足的三条公理拓 广如下.1 (对称性丿如果局中人iJ / .对 干任意

12、的联盟K °八f i ,j总有& ( K i)= 孑(K UJ)用(K 5 ij)二沪(K Ufjj)，那么，倚=艮金，iR(v) = iR(v)该公设表示.在置侑水平 上，每人的分配与他被 赋予的记号无关.2 ( 有效性丿如果对于所有包含i 的子集K都有：(K) = v ( K - i).则S = 5 =0.且若/倚=片, 初(“=汽.该公设表示.若成员i在置信水平 上对每个他参 加的合作没有贡献那么他不应从全体合作在置 信水平上的收益中获得报酬.另外住置信水平 上各成员分配之和应等干全体合作的收益3 (-可加性)对于任意两个模糊合 作对Mr/.vj和门.右八如果存在一个模

13、糊合作 对策(/金十对于任意的联盟k 5总有 (vi + v2)L( K)=匙(K) + VI ( K)和(话 + v2)R( K)=讦(K丿十活(K),那么它们对应的 Shapley值应满足5 +v2)=(巾+丄(厉丿,，/? ( Vi + V2) = ，R(VI)+ 'R (忌2), P i I 该公设表示.当"人同时进行两项合作时在置佰 水平上每人的分配是两项合作的分配之和.1对给定的 /0, I/.存在唯一满足 公设1、2、3的Shapley值*7刁和"(刁满足(孑(K)y-( K 丿丿,iR(v)=刀(匕誉亠丄门X(诙(K) - 7( K - /). V/

14、 / (6) 其中"为联盟K中的人数，”为局中人的个数. (定理1的证明方法与经典Shapley值满足三条公 理的证明方法类似.详细的证明过程可参考文献 /1/J通过定理1可以得到不同置信水平 上的 Shapley值左右端点丿和 询以下的讨论 中则将左右端点形成的区间组成集合套从而得 到模糊Shapley值隶属函数.1对于任意的1, 2 E/0. 1/且| >2.总有: < :G,： < ：(»由模糊数学集合套的性质可知.对干任 意的1， 2 /0, 1/且,> 2,总有比(m VK ( K) I C/vL ( K) /,( K) /,即 v-( K

15、) < v(K), V： f K) < vr2( K)再由Shapley值关于支付函数 ' 单 调非减的性质有< :倚：<1如果对于任意的/0, 17.都有F则/构成集合套.对干任意两个I. 2 /01/且1 > 2,已知V ( V), ( V) <( V)»且由引理1得< 丄，iK(v) <出(6,1I2故 / :(釘"(刁/耳 (v). iR2(v)J.I S和， iR(v)J e/0,1/.构成集合套.4如果存在 /0. 1/,使> iR(v)，则令o =inf / I /0.1/,使 5 > iR(

16、v)2 对于任意的，° /0. 1/且 > o.总有 L(v) > iR(v).已知。/01/且 > °,由引 理1 有：< S, iR(v) <再由定义4知(v) >打沢故5 > (v) > : > iK(7),B卩 L(v) > M(v).3 对于任意的o. 1.2 /o. 1/ 且0 < 2 V!.</ :,(7) c(阿:人即：< (V), (v) W :.已知 n 2 /0. 1/.且1 > 2，由引理1有( v) <( v) , >R (v) S21i£ :

17、倚又知! >2 > 0,由命题 2 得 (V)>沖 > ：(“,故i :G),5 爭询,:(门 /.若 o = 0.510/ r M t (v) J go/构 解合套以上构成集合套的情况讨论后根据表现定 理可刻国模糊Shapley值隶属函数如图1所示.© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved ki.ncl#管理科学学报2006年10月Rg. 2 The nmbership function of fuzzy Shiipley value

18、 whenv) > 叫 V)for any /0.1 /2Shapley并在4-（V）和叫（“中选取与V（ K厂异侧的数 作为.这里的就是联盟收益v（K厂所对应 的 Shapley 值.3Shapley在动态联盟中.原本相互独立的企业彼此进 行核心能力的优化整合.以追求整体经济利益的 最大化，因此，动态联盟的经济活动可看成是多人 合作对策.联盟伙伴的收益分配可看成是多人合 作对策的收益分配问题在模糊Shapley值的模型 中J为”个企业的联盟体.K为/中若干企业合作 的联盟子集丿为联盟K产生的收益，市K / 丿为联盟K中除去企业i产生的收益现假设有A、B、C三家企业（分别代表1,2.3三

19、个局中人） 欲合作一个工程项目.如单干则每企业获利约5 万元.如AM联合则可获利约35万元.如A、C联 合则可获利约25万元B、C联合则可获利约20 万元如A、B、C联合则可获利约50万元上述支 付函数用模糊数表示为© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt56管理科学学报2006年10月yf U ( V)=vf2/ ( V)r八4.V6vtV0,-E.5 .6.7/1.2/( v)=勒3 '3 >0,232 '2

20、*y/1.3/( V)=27JL2 '2 _1L5 '3.；/2.3/( V)=23丄33 、o.丄95彳11 -丄5O以0.2为单位在/0. 1/对于一个具体的联盟收益，局中人仅仅接受 前面所得的模糊Shapley值隶属函数是不满意的. 合作的结束要求将联盟茯得的具体收益以确定的 形式分配给各个盟员.因此必须根据求得的模糊 Sh叩Icy值隶厲函数设计确定的收益分配方案.根据模糊隶厲函数的特点可知.在一个联盟 K中，对于任意给定的收益值v（ K） * .总有一个 隶属度.也就是置信度°相对应.由前面的分析 讨论可知如果对于任意的/01人都有也尺）w竹厉，则根据前面构造

21、的模糊Shapley 值隶属函数（图1丿找到与相对应的分配值 （v）和吧（A并在和叫（？）中选取 与v（K）-同侧（相对于模糊隶属函数的核心来 说隶属度穴等于1的模糊变量要么处在核心的 左边要么处在核心的右边）的数作为几如果 对于任意 /0, 1/.都有 SJ >则根据前面构造的模糊Shapley值隶属函数（图2丿找 到与1- 相对应的分配值 气川丿和 叫（研，v/3J( V 丿/4.5/ (5.6/其它V (30,35/v 6(35,38/其它V 6/23.25/v (25.27/其它V C/15.20/v (20.23/其它V /45,50/v (50.55/其它区间上改变置信水平1

22、Table 1 The -level sets of fuzzy payoff functions=0.8= 0.6= 0.4= 0.2v/1/4.8. 5.2/4.6. 5.4/4.4, 5.6/4.2 5.8/V/2/4.8, 5.2/46. 5.4 /4.4. 5.6/14.2. 5.8/v/3/4.8. 5.2/4 6. 5.4/4.4. 5.6/4.2. 5.8/v/1. 2；/34.O. 35.6/“30 36.2/32.O. 36. 8/31.0, 37.4/v/1. 3/24.6. 25.4/24.2. 25. 8 /23.8. 26 2 /23.4. 26.6/v/2. 31

23、/19.0. 20.6/18.0. 21.2/17.0. 21. 8/16.0. 22.4 /v/L 2. 3/490 51.0/48.0. 52.0/47.0 . 53.0/46.0. 54.0/可得模糊支付函数的截集如表1所示.通过公式(6丿.计算不同置信水平上Shapley值的取值区间.如表2所示.2SliapieyTable 2 The intervals of Shapley values= 0.8=0.6=0.4= 0.21198 20. 3 /19.5. 20.6/“9.3. 20.9 /I9.I. 21.2/2( V)/17.0. 17.9 /16.4. 18.3 /15.9.

24、 18.7 /15.4. 19.1/3。v)/12.3. 12.8 /12.0, 13.1/11.8, 13.4/II.6. 13.7/根据表2的结果刻画局中人1.2和3的模糊 Shapley值隶厲函数，如图3所示.© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All righ

25、ts reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月31.23ShapleyRg. 2 The fuzzy Shap

26、ley membership functions of player 1 . 2 and 3© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月为了选择适宜的合作策略局中人需要根据 上面得到的模糊Shapley值隶属函数进行决策以 局中人1为例.假设他希望决策具有较高的置侑 水平选取 =0.且保守的认为不同联盟的收 益以及自己的所得分配应该取置信水平0. 8的下 限 由此可得= /19.8, 17.0 12.3/.w中

27、人I选取的合作策略是与局中人2、3共同结成联 盟 同理.局中人2、3通过类似局中人1的方法得 到联盟K = 1.2.3是他们的最优策略这样, 联盟K = /I, 2, 3/就组建了.当联盟K = /I, 2. 3/合作结束时.联盟的 实际收益v71，2, 3/ = 51.5,通过计算可得.实 际收益v71.2. 3对应于模糊支付函数V/1.2. 3的隶属度为* = 0.7.处于隶属函数核心的右 侧通过图3可以找到隶属度为0.7 且与v*, 2. 3/同侧的Shapley值分别为/ = 20. 452 = 18. 10 j* = 12. 95以上的计算结果就是在联盟结束时对于动态联 盟总体收益为

28、51.5万元时每个盟员的所得分配.其中局中人1分得20.45万元，局中人2分得18. 10万元.局中人3分得12. 95万元.与经典的Shapley值方法相比，本文提出的方 法将支付函数用模糊数来表示更加贴近现实;与 Marc©的方法相比本文的方法计算量相对较小, 且在得到模糊Shapley值的基础上进一步给出了 确定的收益分配方案更加具有应用价值然而, 在本文的研究中发现若在。/0, 1/且 v。的条件下存在不等式 SC WiR(v) < iR(v),，R(v) <同时成立但不0 0 0构成集合套的情况.因此如何解决模糊Shapley值 的构造与集合套的矛盾将成为以后研

29、究的重点. 此外在后续的研究中，将同时考虑局中人参与联 盟程度模糊化和支付函数模糊化的情形川对模 糊合作对策解的求得展开更深入的研究.© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月© 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. hUp:/kirwt#管理科学学报2006年10月| 1

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