二阶常系数线性齐次微分方程62141

1、医用高等数学”医用高等数学第四节第四节 二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程医用高等数学( )aybycyf x方程方程( )0f x 若为二阶常系为二阶常系数线性微分数线性微分方程方程其中其中 、 、 是已知常数是已知常数,且且abc0a0aybycy为二阶常系为二阶常系数线性数线性齐次齐次微分方程微分方程下面介绍方程下面介绍方程 解的结构解的结构.0aybycy医用高等数学证明证明:1122yc yc y1122yc yc y1 1221 1221 122()()()a c yc yb c yc yc c yc y也是也是 的的解解，其中，其中 、 为任意常数为任意常数1c

2、2c 定理定理5-15-1 若函数、若函数、 是方程是方程 的两个解，则的两个解，则1( )y x2( )yx1122( )( )yc y xc yx0aybycy0aybycy把、把、 代入方程代入方程 的左边，得的左边，得yy0aybycy医用高等数学11112222()()c aybycycaybyc y1200 0cc 、 线性无关，是指不存在不全为零的常线性无关，是指不存在不全为零的常数数 、 ,使使 ,即即1( )y x2( )yx1k2k1 122( )( )0k y xk y x21( )( )yxy x常数常数否则称否则称 、 线性相关线性相关1( )y x2( )y x 定

3、理定理5-25-2 若函数、是若函数、是方程方程 的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则1( )y x2( )yx是方程是方程 的的通解通解,其中其中 、 为任意常数为任意常数0aybycy0aybycy1122( )( )yc y xc yx1c2c医用高等数学,xye设将其代入将其代入以上以上方程方程, 得得2()0 xabc e0,xe故有故有02cba特征方程特征方程21,242bbaca特征根特征根 由定理由定理5-2,求方程求方程 的通解的关键是的通解的关键是先要求出它的先要求出它的两个线性无关的特解两个线性无关的特解.0aybycy 由于方程具有线性常系数的特点由于方程

4、具有线性常系数的特点,而指数函数的导数而指数函数的导数仍为指数函数仍为指数函数,故我们可假设方程有形如故我们可假设方程有形如 的解的解.xye的解法的解法0aybycy医用高等数学11,xye22xye方程有方程有两个线性无关的特解两个线性无关的特解所以所以方程的通解为方程的通解为1212xxyc ec e214,2bbaca2242bbaca特征根为特征根为( () )当当 , ,特征方程特征方程有两相异实根有两相异实根042 acb根据判别式的符号不同根据判别式的符号不同,分下面三种情况讨论分下面三种情况讨论医用高等数学(2) (2) 当当 , ,方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根0

5、42 acb21( )yu x y设另一特解为11xye12,2ba 一特解为一特解为特征根为特征根为1121( )( )xxyu x eu x e1112211( )2( )( )xxxyu x eu x eu x e若若 是原方程的解是原方程的解,应有应有2( )yx0222 cyybya医用高等数学所以所以方程的通解为方程的通解为112()xycc x e,)(xxu 取取12xyxe则222yyy，将将 代入以上方程代入以上方程,得得1112111(2)()0 xxxa uuu eb uu ecue因因 ,故故10 xe2111(2)()0auab uabc000au 所以所以( )0

6、u x12( )u xcc x医用高等数学()1,ixye()2ixye1,i2i特征根为特征根为(3) (3) 当当 , ,方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根042 acb利用欧拉公式利用欧拉公式cossiniei可将可将 和和 改写成如下形式改写成如下形式1y2y()1(cossin)ixxi xxyeeeexix()2(cossin)ixxi xxyeeeexix医用高等数学重新组合重新组合*1121()2yyycos,xex*2121()2yyyisin,xex得方程的通解为得方程的通解为12(cossin).xyecxcx不难看出不难看出 和和 线性无关线性无关*1y*2y医用高等

7、数学求解求解二阶常系数齐次二阶常系数齐次线性线性微分方程的一般步骤微分方程的一般步骤:（1）写出相应的特征方程）写出相应的特征方程; （2）求出特征根）求出特征根; （3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,按下表写出方程按下表写出方程的通解的通解. 通解通解0 cyybya的根的根02cba12不相等实数根12相等实数根12ii共轭复数根、12(cossin).xyecxcx112()xycc x e1212xxyc ec e ( 4) 若问题要求出满足初始条件的特解若问题要求出满足初始条件的特解,再把初始条件再把初始条件代入通解中代入通解中,即可确定即可确定 、 ,从而获得满足初始

8、条件的特从而获得满足初始条件的特解解.1c2c医用高等数学例例5-135-13 求下列方程的通解求下列方程的通解(1) 430yyy(2) 2 220yyy(3) 230yyy解解 (1)(1)特征方程为特征方程为2430rr所以方程的通解为所以方程的通解为31212 ,xxyc ec ec c为任意常数123,1rr解得解得医用高等数学21212 ,xycc x ec c为任意常数所以方程的通解为所以方程的通解为122rr 解得解得 (2) (2)特征方程为特征方程为22 220rr所以方程的通解为所以方程的通解为 (3) (3)特征方程为特征方程为2230rr解得解得1,212ri 121

9、2cos2sin2 ,xyecxcxc c为任意常数医用高等数学解解 特征方程为特征方程为2450即即(1)(5)0特征方程有两个不相等的实数根特征方程有两个不相等的实数根121,5 512xxyc ec e所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得5125xxyc ec e 例例5-145-14 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 450yyy 、 的特解的特解. .(0)1y(0)2y将将 、 代入以上二式代入以上二式,得得(0)1y(0)2y医用高等数学1212125cccc 解此方程组，得解此方程组，得1211,22cc所以所求特解为所以所求特解为51122

10、xxyee解解 特征方程为特征方程为2690例例5-155-15 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 690yyy 、 的特解的特解. .(0)0y(0)1y医用高等数学即即2(3)0特征方程有两个相等的实数根特征方程有两个相等的实数根1233312xxyc ec xe所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为对上式求导对上式求导,得得33312233xxxyc ec ec xe 112031ccc将将 、 代入以上二式代入以上二式,得得(0)0y(0)1y医用高等数学解此方程组，得解此方程组，得120,1cc所以所求特解为所以所求特解为3xyxe解解 特征方程为特征方程为24130特征根为特征根为1,223i 212(cos3sin3 )xyecxcx所以所求方程的通解为所以所求方程的通解为例例5-165-16 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 、 的特解的特解. .(0)0y(0)1y4130yyy医用高等数学对上式求导对上式求导,得得22112(32)cos3(32)sin3 xyeccxccx 1210,3cc所以所求特解为所以所求特解为21sin 33xyex将将 、 代入以上二式代入以上二式,得得(0)