电磁场理论基础第2章ppt课件

1、第二章 电磁场基本方程 第二章第二章 电磁场根本方程电磁场根本方程 2.1 静态电磁场的根本定律和根本场矢量静态电磁场的根本定律和根本场矢量 2.2 法拉弟电磁感应定律和全电流定律法拉弟电磁感应定律和全电流定律 2.3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 2.4 电磁场的边境条件电磁场的边境条件 2.5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量 2.6 独一性定理独一性定理 第二章 电磁场基本方程 2 .1 静态电磁场的根本定律和根本场矢量静态电磁场的根本定律和根本场矢量 2 .1 .1 库仑定律和电场强度库仑定律和电场强度 图 2-1 两点电荷间的作用力 第二章 电磁场基本方程 221rqqK

2、rF 式中, K是比例常数, r是两点电荷间的间隔, 是从q1指向q2的单位矢量。假设q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。 比例常数K的数值与力 , 电荷及间隔所用的单位有关。 本书全部采用1960年国际计量大会经过的国际单位制(SI制), 根本单位是米(m) , 千克(kg) , 秒(s)和安培(A)。 电磁学中其他单位都可由之导出, 今已列在附录C中, 以供查用。在SI制中, 库仑定律表达为 r )(42021NrqqrF第二章 电磁场基本方程 式中, q1和q2的单位是库仑(C), r的单位是米(m), 0是真空的介电常数: mF /1036110854. 89120设某点实验

3、电荷q所遭到的电场作用力为F, 那么该点的电场强度为 )/(mVqFE 由库仑定律知, 在离点电荷q间隔为r处的电场强度为 204rqrE(2-4)第二章 电磁场基本方程 2 .1 .2 高斯定理高斯定理, 电通量密度电通量密度 除电场强度除电场强度E外外, 描画电场的另一个根本量是电通描画电场的另一个根本量是电通量密度量密度D, 又称为电位移矢量。又称为电位移矢量。 在简单媒质中在简单媒质中, 电通量密电通量密度由下式定义度由下式定义: )/(2mCED是媒质的介电常数, 在真空中=0。 这样, 对真空中的点电荷q, 由式(2-4)知, 24rqrD第二章 电磁场基本方程 电通量为 qrrq

4、dsDS2244此通量仅取决于点电荷量q, 而与所取球面的半径无关。 根据立体角概念不难证明, 当所取封锁面非球面时, 穿过它的电通量将与穿过一个球面的一样,仍为q。假设在封锁面内的电荷不止一个, 那么利用叠加原理知, 穿出封锁面的电通量总和等于此面所包围的总电量 SQdsD这就是高斯定理的积分方式(1839年由德国K .F .Gauss导出), 即穿过任一封锁面的电通量, 等于此面所包围的自在电荷总电量。 对于简单的电荷分布, 可方便地利用此关系来求出D。 第二章 电磁场基本方程 假设封锁面所包围的体积内的电荷是以体密度v分布的, 那么所包围的总电量为 dvQVvVVvdvDdv上式对不同的

5、V都应成立, 因此两边被积函数必定相等, 于是有 vD第二章 电磁场基本方程 2 .1 .3 比奥比奥-萨伐定律萨伐定律, 磁通量密度磁通量密度 图 2-2 两个载流回路间的作用力 第二章 电磁场基本方程 l lrrdlIIdlF20) (4式中, r是电流元Idl至Idl的间隔, 是由dl指向dl的单位矢量, 0是真空的磁导率: r mH /10470lBIdlF302044llrrdlIrrdlIB第二章 电磁场基本方程 矢量B可看作是电流回路l作用于单位电流元(Idl=1 Am)的磁场力, 它是表征电流回路l在其周围建立的磁场特性的一个物理量, 称为磁通量密度或磁感应强度。它的单位是 T

6、mWbmsVmAN22毕奥-萨伐(J .B .Biot-F .Savart, 法)定律, 于1820年独立地基于磁针实验提出。 磁通量密度为B的磁场对电流元Idl的作用力为 BIdlF第二章 电磁场基本方程 或用运动速度为v的电荷Q表示, Idl=JAdl=vAdlv=Qv, 其中A为细导线截面积, 得 BQvF对于点电荷q, 上式变成 BqvF通常将上式作为B的定义公式。点电荷q在静电场中所受的电场力为qE, 因此, 当点电荷q以速度v在静止电荷和电流附近时, 它所受的总力为 )(BvEqF第二章 电磁场基本方程 例例 2 .1 参看图参看图2-3, 长长2l的直导线上流过电流的直导线上流过

7、电流I。 求真空中求真空中P点的磁通量密度。点的磁通量密度。图 2-3 载流直导线 第二章 电磁场基本方程 解 采用柱坐标, 电流Idz到P点的间隔矢量是)( ) (),( 2/122dzzzzdzzRdlzzRzzzR222202/3220)()(4) (4lzzllzzlIzzdzIBll对无限长直导线, l, 有 20IB 第二章 电磁场基本方程 2 .1 .4 安培环路定律安培环路定律, 磁场强度磁场强度对于无限长的载流直导线对于无限长的载流直导线, 假设以假设以为半径绕其一周为半径绕其一周积分积分B, 可得可得 IdlBIdIdlBlll0002在简单媒质中, H由下式定义: )/(

8、mABH第二章 电磁场基本方程 H称为磁场强度, 是媒质的磁导率。在真空中=0, 于是有 lIdlH这一关系式最先由安培基于实验在1823年提出, 故称之为安培环路定律。它阐明, 磁场强度H沿闭合途径的线积分等于该途径所包围的电流I。这里的I应了解为传导电流的代数和。利用此定律可方便地计算一些具有对称特征的磁场分布。 SsdsJdsH)(由于S面是恣意取的, 所以必有 JH 第二章 电磁场基本方程 2 .1 .5 两个补充的根本方程两个补充的根本方程 在物理学中我们知, 在静电场中E沿任何闭合途径的线积分恒为零: ldlE0利用斯托克斯定理可将左端化为E的面积分, 从而得 0E这是静电场的另一

9、根本方程, 阐明静电场是无旋场即保守场。静电场的保守性质符合能量守恒定律。这样, 它和重力场性质类似。 物体在重力场中有一定的位能, 同样地, 电荷在静电场中也具有一定的电位能。 从而可引入电位函数: E第二章 电磁场基本方程 静电场既然是无旋场, 那么必然是有散场, 它的通量源就是电荷。电力线起止于正负电荷。静磁场的特性那么正好相反。由于在自然界中并不存在任何单独的磁荷, 磁力线总是闭合的。这样, 闭合的磁力线穿进封锁面多少条, 也必然要穿出同样多的条数, 结果使穿过封锁面的磁通量恒等于零, 即 SdsB0将左端化为B的体积分知 0 B第二章 电磁场基本方程 2 .2 法拉第电磁感应定律和全

10、电流定律法拉第电磁感应定律和全电流定律 2 .2 .1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 静态的电场和磁场的场源分别是静止的电荷和等速运动的电荷(恒定电流)。 它们是相互独立的, 二者的根本方程之间并无联络。 但是随时间变化的电场和磁场是相互关联的。这首先由英国科学家法拉第在实验中察看到。 他发现, 导线回路所交链的磁通量随时间改动时, 回路中将感应一电动势, 而且感应电动势正比于磁通的时间变化率。 楞次(H .E .Lenz, 俄)定律指出了感应电动势的极性, 即它在回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的磁场妨碍磁通的变化。这两个结果的结合就是法拉第电磁感应定律, 其数学表达式为 第二

11、章 电磁场基本方程 dtdm式(2-26)可写成 (2-26)SllSdlBvdstBdsBdtddlE)(右边第一项为哪一项磁场随时间变化在回路中“感生的电动势; 第二项是导体回路以速度v对磁场作相对运动所引起的“动生电动势.第二章 电磁场基本方程 运用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同时, 假设回路是静止的, 那么穿过回路的磁通量的改动只需由于B随时间变化所引起的项。 因此得 SSdstBdsE)(由于S是恣意的, 从而有 tBE这是法拉第电磁感应定律的微分方式。其意义是, 随时间变化的磁场将激发电场。这导致极重要的运用。我们称该电场为感应电场, 以区别于由电荷产生的库仑电场

12、。库仑电场是无旋场即保守场; 而感应电场是旋涡场。其旋涡源就是磁通的变化。 第二章 电磁场基本方程 2 .2 .2 位移电流和全电流定律位移电流和全电流定律 微分方式根本方程如下: 0BDJHtBEv第二章 电磁场基本方程 在任何时辰电荷守恒定律都应成立。法拉第已在1843年用实验证明了这一定律。 其数学表达式就是电流延续性方程: SdtdQdsJJ是电流密度即电流的体密度, 它的方向就是它所在点上正电荷流动的方向, 其大小就是在垂直于该方向的单位面积上, 每单位时间内经过的电荷量, 单位为A/m2。因此, 假设体积中各处都有电荷流动, 那么经过某封锁面S的总电流为 。 它是每单位时间流出S面

13、的电荷量, 应等于S面内每单位时间所减少的电荷量-dQ/dt。 SIAdsJ(2-30)第二章 电磁场基本方程 把式(2-30)两端用体积分表示, 对静止体积V有 VVVcvdvtdvtJdv上式对恣意选择的V都成立, 故有 tJv这是微分方式的电流延续性方程。 JH0)(第二章 电磁场基本方程 tJHv0)(tDJH)(tDJH 的量纲是(库仑/米2)/秒=安/米2, 即具有电流密度的量纲, 故称之为位移电流密度(displacement current density)Jd, 即 tD /tDJd第二章 电磁场基本方程 lSdstDJdlH对左端运用斯托克斯定理, 便得到其积分方式: 它阐

14、明: 磁场强度沿恣意闭合途径的线积分等于该途径所包曲面上的全电流。 第二章 电磁场基本方程 2 .2 .3 全电流延续性原理全电流延续性原理 dvctJJJJ0)(dvcJJJ对恣意封锁面S有 0)()(dvJJJdsJJJVdvcSdvc即 0dvcIII第二章 电磁场基本方程 穿过任一封锁面的各类电流之和恒为零。这就是全电流延续性原理。将它运用于只需传导电流的回路中, 得知节点处传导电流的代数和为零(流出的电流取正号, 流入取负号)。这就是基尔霍夫(G .R .Kirchhoff, 德)电流定律: I=0。 第二章 电磁场基本方程 例例 2 .2 设平板电容器两端加有时变电压设平板电容器两

15、端加有时变电压U, 试推导经过电容试推导经过电容器的电流器的电流I与与U的关系。的关系。 图 2-4 平板电容器 第二章 电磁场基本方程 tEAtDAAJIIdd解解 设平板尺寸远大于其间距, 那么板间电场可视为均匀, 即E=U/d, 从而得 tUdAItUCI式中C=A/d为平板电容器的电容。 第二章 电磁场基本方程 2 .3 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 2 .3 .1 麦克斯韦方程组的微分方式与积分方式麦克斯韦方程组的微分方式与积分方式 图 2-5 麦克斯韦 第二章 电磁场基本方程 表表2-1 麦克斯韦方程组及电流延续性方程麦克斯韦方程组及电流延续性方程 第二章 电磁场基本方程 这四个方

16、程的物理意义可简述如下: ;(a) 时变磁场将激发电场; ;(b) 电流和时变电场都会激发磁场; ;(c) 穿过任一封锁面的电通量等于此面所包围的自在电荷电量; ;(d) 穿过任一封锁面的磁通量恒等于零。 第二章 电磁场基本方程 麦氏方程组中的四个方程并不都是独立的。 表2-1中两个散度方程(c) , (d)可由两个旋度方程(a) , (b)导出。例如, 对式(b)取散度, 得 0tDJ将延续性方程(e)代入上式, 有 0)(Dttv那么 )(常数CDv第二章 电磁场基本方程 2 .3 .2 本构关系和动摇方程本构关系和动摇方程 对于简单媒质, 本构关系是(接表 2-1 的序号) )()()(

17、hEJgHBfED对于真空(或空气), =0, =0, =0。 =0的媒质称为理想介质, =的导体称为理想导体, 介于二者之间的媒质统称为导电媒质。 第二章 电磁场基本方程 假设媒质参数与位置无关, 称为均匀(homogeneous)媒质; ; 假设媒质参数与场强大小无关, 称为线性(linear)媒质; ; 假设媒质参数与场强方向无关, 称为各向同性(isotropic)媒质; ; 假设媒质参数与场强频率无关, 称为非色散媒质; 反之称为色散(dispersive) 媒质。第二章 电磁场基本方程 利用式(f) , (g) , (h)关系后, 表2-1中的式(a)(d)化为 0/HEtEJHt

18、HEv第二章 电磁场基本方程 )()(2HtEEE222tEE022tEE即 0)(222tHHH第二章 电磁场基本方程 为研讨简单媒质中的有源区域时, J0, v0, 由类似的推导得 JtHHtJtEEv222222该二式称为E和H的非齐次矢量动摇方程。 其中场强与场源的关系相当复杂, 因此通常都不直接求解这两个方程, 而是引入下述位函数间接地求解E和H。 第二章 电磁场基本方程 2 .3 .3 电磁场的位函数电磁场的位函数 由表2-1中的麦氏方程组式(d)知, B=0 。由于 ( A)=0, 因此可引入下述矢量位函数A(简称矢位或磁矢位): AHAB1即 而由表2-1中的麦氏方程组式(a)

19、知, 0tBE0tAE第二章 电磁场基本方程 由于 =0, 因此可引入标量位函数(简称标位或电标位)如下: tAEtAE即这里 前加负号是为了使 时化为静电场的E=- 。 0/tAtAtJA因 A= ( A)- 2A, 上式可改写为 tAJtAA222(2-47)第二章 电磁场基本方程 为使方程(2-47)具有最简单的方式, 我们令 tA此式称为洛仑兹规范(Lorentz gauge)。 JtAA222vAt2vt222第二章 电磁场基本方程 JAtA)()(222Jtt222tJv第二章 电磁场基本方程 例例2 .3 试用麦克斯韦方程组导出图试用麦克斯韦方程组导出图2-6所示的所示的RLC串

20、联电路串联电路的电压方程的电压方程(电路全长久小于波长电路全长久小于波长)。 图 2-6 RLC串联电路 第二章 电磁场基本方程 解解 沿导线回路沿导线回路l作电场作电场E的闭合途径积分的闭合途径积分, 根据表根据表2-1中中的麦氏方程式的麦氏方程式(a)有有 ldtddlE上式左端就是沿回路的电压降, 而是回路所包围的磁通。将回路电压分段表示, 得 0dtdUUUUdacdbcab 设电阻段导体长为l1, 截面积为A, 电导率为, 其中电场为J/, 故 AlRIRlAIlJdlJUbaab111,第二章 电磁场基本方程 电感L定义为m/I, m是经过电感线圈的全磁通, 得 dtdILdtdU

21、mbc经过电容C的电流已由例2 .2得出: IdtCUdtdUCIcd1设外加电场为Ee, 那么有 edaeadedaVdlEdlEU第二章 电磁场基本方程 由于回路中的杂散磁通可略, d/dt0, 从而得 eVIdtCdtdILIR1这就是大家所熟知的基尔霍夫电压定律。对于场源随时间作简谐变化的情形, 设角频率为, 上式可化为 CLjIIRUs1第二章 电磁场基本方程 例 2 .4 证明导电媒质内部v=0。 ; 解 利用电流延续性方程(2-31), 并思索到J=E, 有 tEv在简单媒质中, E=v/, 故上式化为 0vvt其解为 )/(3)/(0mCetvv第二章 电磁场基本方程 可见,

22、v随时间按指数减小。衰减至v0的1/e即36.8%的时间 (称为驰豫时间)为=/(s)。对于铜, =5.8107S/m, =0, 得=1 .510-19s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其中的v可看作零。 第二章 电磁场基本方程 2 .4 电磁场的边境条件电磁场的边境条件 2 .4 .1 普通情况普通情况 图 2-7 电磁场边境条件 第二章 电磁场基本方程 得到E和H的切向分量边境条件为 ttEE21对此回路运用表2-1中的麦氏旋度方程式(a) , (b),可得 lJdstDlHHdlEdstBlElElElEdlEsSlttStlt10)(212121第二章 电磁场基本方程 计算穿出

23、小体积元Sh外表的D , B通量时, 思索到S很小, 其上D , B可视为常数, 而h为高阶微量, 因此穿出侧壁的通量可忽略, 从而得 SBBdsBSSDDSnDSnDdsDnnSsnnS)()()(212121式中s是分界面上自在电荷的面密度(C/m2)。对于理想导体, , 其内部不存在电场(否那么它将产生无限大的电流密度J=E), 其电荷只存在于理想导体外表, 从而构成面电荷s。 于是有 nnsnnBBDD2121第二章 电磁场基本方程 表表2-2 电磁场的边境条件电磁场的边境条件 第二章 电磁场基本方程 上述边境条件的含义可归纳如下: 任何分界面上E的切向分量是延续的; 在分界面上假设存

24、在面电流(仅在理想导体外表上存在), H的切向分量不延续, 其差等于面电流密度; 否那么, H的切向分量是延续的; 在分界面上有面电荷(在理想导体外表上)时, D的法向分量不延续, 其差等于面电荷密度; 否那么, D的法向分量是延续的; 任何分界面上B的法向分量是延续的。第二章 电磁场基本方程 表表2-3 两种理想介质间的边境条件两种理想介质间的边境条件 2 .4 .2 两种特殊情况两种特殊情况 理想介质是指 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介质的分界面上不存在面电流和自在电荷，即Js=0, 。00s第二章 电磁场基本方程 表表2-4 理想介质和理想导体间的边境条件理想介质和理想导体间的边

25、境条件 第二章 电磁场基本方程 图 2-8 理想导体外表的电磁场 第二章 电磁场基本方程 例2.5 同轴线横截面如图2-9a所示。设经过直流I,内外导体上电流大小西等，方向相反。求各区中的H和H,并验证各分界处的边境条件。图 2-9 (a) 同轴线; (b)平板电容器 第二章 电磁场基本方程 解解 在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的在直流情形下内外导体中电流密度是均匀的,分别分别为为 。)(1,1222bcJaJba22222,22:) 1 (aIHaIHaIJHaa由于H只需H分量，由附录A中的式A-31知，aJaIzaIzHzzHH22221)(1第二章 电磁场基本方程 2021,2,

26、2:IzHIHIHba3bbJbcIzbccIzHbccIHbccIbJIHcb)(212,)(2:2222222222222222第二章 电磁场基本方程 以上H结果证明表2-1中的麦氏方程组式(b)处处成立。下面再验证边境条件: 40, 0, 02:HHIIHcaIHHaIHHaaIHHatttt22,2:2122211 处bIHHbIHbIHbtttt22,2:3232 处00, 02:43422223ttttHHHbccccIHc处第二章 电磁场基本方程 例例 2 .6 设平板电容器二极板间的电场强度为设平板电容器二极板间的电场强度为3 V/m, 板间媒板间媒质是云母质是云母, r=7

27、.4, 求二导体极板上的面电荷密度。求二导体极板上的面电荷密度。 解解 参看图参看图2-9(b), 把极板看作理想导体把极板看作理想导体, 在在A , B板外表分板外表分别有别有 210121012111/1097. 1/1097. 1310854. 84 . 7mCDmCEDnSBnnSA第二章 电磁场基本方程 2 .5 坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量2 .5 .1 坡印廷定理的推导和意义坡印廷定理的推导和意义 JEtDEtBHHEtDJEtBHHEHEEHHE)()()()()()()(第二章 电磁场基本方程 将上式两端对封锁面S所包围的体积V进展积分, 并利用散度定理后得 SVdvJEtDEtBHdsHE)(222221212121EttEtEtEtEEtEEtEEtEEtDEzyxzzyyxxsVVJdvEdvHEtdsHE222121)(第二章 电磁场基本方程 式中右端各项被积函数的含义是: 221Ewe电场能量密度, 单位: (F/m) (V2/m2)=J/m3; 221Hwm磁场能量