高等数学,隐函数求导

1、目录 上页 下页 返回 结束 第八章 第五节一、一个方程所确定的隐函数一、一个方程所确定的隐函数 及其导数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组二、方程组所确定的隐函数组 及其导数及其导数隐函数的求导方法 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .例如, 方程02CyxC 0 时, 不能确定隐函数?2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.本节讨论本节讨论:目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数一、一个方程所确定的隐函数及其导数定理定理1.1. 设函数),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程00),(xyxF在点单值连续函数 y = f

2、 (x) , )(00 xfy 并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下： 具有连续的偏导数;的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy满足条件导数解释为什么？目录 上页 下页 返回 结束 0),(yxF两边对 x 求导0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则目录 上页 下页 返回 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,22ddxy2yxxyyxxFFFFF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy)(2y

3、xyxyyyyxFFFFFFF二阶导数 :)(yxFFxxyxxydd则还可求隐函数的 解释解释解释目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 验证方程01esinyxyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数, )(xfy 0dd,0dd22xxyxxy解解: 令, 1esin),(yxyyxFx;0)0 , 0(F,eyFxx连续 ;由 定理1 可知,1)0 , 0(yF,0, )(xfy 导的隐函数 则xyFy cos在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可且并求按隐函数确定的条件目录 上页 下页 返回 结束 ,eyFxxxyFy cos0ddxxy0 xFFyx 1xy cosyxe

4、0, 0yx0dd22xxy)cose(ddxyyxx3100yyx)e(yx)(cosxy )(eyx) 1sin(yy1, 0, 0yyx01sin),(yxeyyxFx2)cos( xy 目录 上页 下页 返回 结束 0 xy30dd22xxy)(, 01esinxyyyxyxyycos两边对 x 求导1两边再对 x 求导yyyy cos)(sin2令 x = 0 , 注意此时1,0yy0e yxyyxxey0 yx)0 , 0(cosexyyx导数的另一求法导数的另一求法 利用隐函数求导由条件目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 若函数 ),(000zyxP),(zyxFzyz

5、xFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ;则方程0),(zyxF在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:满足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在点满足:某一邻域内可唯一确目录 上页 下页 返回 结束 0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得,0),(),(所确定的隐函数是方程设yxFyxfz则zFxz00),(000zFzyx的某邻域内在0),(zyxF也可直接对它求导目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设,04

6、222zzyx解法解法1 利用隐函数求导0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再对 x 求导目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用公式设zzyxzyxF4),(222则,2xFxzxFFxz两边对 x 求偏导)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz目录 上页 下页 返回 结束 zxFFxz xz例例3. 设F( x , y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解法解法1 利用偏导数公式.是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF y

7、z212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程故zyzxFFyzFFxz,目录 上页 下页 返回 结束 对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 微分法.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0微分形式不变性目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数二、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定

8、理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuvuvuFGGFGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.3.,0),(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF则方程组0),(,0),(vuyxGvuyxF),(00yx在点的单值连续函数单值连续函数),(, ),(yxvvyxuu且有偏导数公式 : 在点的某一邻域内可唯一唯一

9、确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),(0000vuyxG导数；, ),(000yxuu ),(000yxvv 定理简单介绍，直接切入如下方法目录 上页 下页 返回 结束 vuvuGGFFvuGFJ),(),(定理证明略.仅推导偏导数公式如下：),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF目录 上页 下页 返回 结束 0),(),(,(0),(),(,(yxvyxuyxGy

10、xvyxuyxF,的线性方程组这是关于xvxu0),(0),(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对 x 求导得,),(),(yxvvyxuu设方程组,0vuvuGGFFJ在点P 的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0解的公式 故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录 上页 下页 返回 结束 xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设, 1,0vxuyvyux.,yvxvyuxu解解:xyyxJJx

11、u122yxvxuyyu方程组两边对 x 求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxvyuxJxv122yxuyvx练习练习: 求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案答案:由题设故有目录 上页 下页 返回 结束 例例5.5.设函数在点(u,v) 的某一),(, ),(vuyyvuxx0),(),(vuyx 求解解: 对 x , y 的偏导数.邻域内有连续的偏导数,且 ),(, ),(vuyyvuxx),(, ),(vuyyvuxx目录 上页 下页 返回 结束 式两边对 x 求导, 得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy目录 上页 下页 返回 结束 uy0 x

12、vxu1xuxvuxvxvy, 0J注意vyvxJ011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理, 式两边对 y 求导, 可得,1vxJyuuxJyv1目录 上页 下页 返回 结束 例例5的应用的应用: 计算极坐标变换sin,cosryrx的反变换的导数 .xrxrxrxrcossin0sincos1xrx同样有22yxyyr22yxxy所以解：cos1rrsin1rcossinsincosrrJr yJ1cos22yxxryJ 122yxyuv目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 隐函数( 组) 存在定理2. 隐函数 ( 组) 求导方法方法1. 利用复合函

13、数求导法则直接计算 ;方法2. 利用微分形式不变性 ;方法3. 代公式 .思考与练习思考与练习设, ),(zyxzyxfz求.,yxzxxz目录 上页 下页 返回 结束 zx 提示提示:),(zyxzyxfzxz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 11f 1zx2f yxzxzy 211fyxf21fzyfyx 01f 1yx2f zxyxzy 21fzxf21fzyf目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxzyxfz解法2. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yxzd1f zyxddd2f zyxyzxxzyddd:dx解出 d x21fzyfzfyxfd

14、121yfzxfd21.zx第六节 由d y, d z 的系数即可得目录 上页 下页 返回 结束 )()(xzzxyy及,2e yxyx备用题备用题.ddxu求分别由下列两式确定 :又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 ,1. 设解解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得1ddfxu0)()(eyxyyxyyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(e1zxzxzx,dsine0tttzxx(2001考研)解得因此2fxy3)sin()(e1fzxzxxdxdzfdxdyffdxdu321目录 上页 下页 返回 结束 zxFyFy0zFz fx)1 (y2. 设)(, )(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数 , 求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导, 得ffxfzyfx xzyFzFyF)0( zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(1999考研)目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 微分法.0),(),(zyxFyxfxz对各方程两边分别求微分:化简得消去yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0d z)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1可得二元线性代数方程组解的公式222111cybxacy