251平面向量应用举例1

1、2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法平面几何中的向量方法 由于向量的由于向量的线性运算线性运算和和数量积运算数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质许多性质. .如平移、全等、相似、长度、夹角都如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表可以由向量的线性运算及数量积表示出来示出来. .问题：问题：平行四边形是表示向量加法与减法的平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图几何模型。如图，你能发现平行四边形对角你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,acabad ,d

2、babad abcd猜想：猜想：2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？类比猜想，平行四边形有相似关系吗？例例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和abdc已知：平行四边形已知：平行四边形abcd。求证：求证：222222abbccddaacbd 分析：因为平行四边形对边平行且相分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设等，故设 其它线段对应其它线段对应向量用它们表示。向量用它们表示。badaab ,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？的基本思路吗？（1）建立建立平面几何与向量的平面几何与向量的

3、联系联系，用向量表，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，）通过向量运算，研究研究几何元素之间的几何元素之间的关关系系，如距离、夹角等问题；，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形练习练习、证明直径所对的圆周角是直角、证明直径所对的圆周角是直角abco如图所示，已知如图所示，已知 o，ab为为直径，直径，c

4、为为 o上任意一点。上任意一点。求证求证acb=90分析分析：要证要证acb=90，只，只须证向量须证向量 ，即即 。cbac 0cbac思考：能思考：能否用向量否用向量坐标形式坐标形式证明？证明？ab例例2 如图，如图， abcd中，点中，点e、f分别分别是是ad 、 dc边的中点，边的中点，be 、 bf分别分别与与ac交于交于r 、 t两点，你能发现两点，你能发现ar 、 rt 、tc之间的关系吗？之间的关系吗？abcdefrt猜想：猜想：ar=rt=tc（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元