2022年平面向量测试题及详解

1、学习必备欢迎下载平面向量第卷(选择题共 60 分) 一、选择题 (本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。) 1(文)(2011 北京西城区期末)已知点 a( 1,1)，点 b(2，y)，向量 a(1,2)，若 aba，则实数 y 的值为 () a 5b6c7d8 答案 c 解析 ab(3，y1)， aba，31y12， y 7. (理)(2011 福州期末 )已知向量a(1,1)， b(2，x)，若 a b 与 4b2a 平行，则实数x的值为 () a 2b0c1d2 答案 d 解析 ab(3，x1)，4b2a (6,4x2)，a

2、b 与 4b2a 平行，36x14x2， x 2，故选 d. 2(2011 蚌埠二中质检)已知点a(1,0)，b(1,3)，向量a(2k1,2)，若 aba，则实数 k 的值为 () a 2 b 1 c1 d2 答案 b 解析 ab(2,3)， aba， 2(2k1)320， k 1，选 b. 3(2011 北京丰台期末)如果向量a(k,1)与 b(6，k1)共线且方向相反，那么k的值为() a 3 b2 c17d.17答案 a 解析 由条件知，存在实数 0，使 a b， (k,1)(6 ，(k1) )，k6k1 1，k 3，故选 a. 4(文)(2011 北京朝阳区期末)在 abc 中， m

3、 是 bc 的中点， am1，点 p 在 am 上精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载且满足 ap2pm，则 p a (pbpc)等于 () a49b43c.43d.49答案 a 解析 由条件知， pa (pbpc)pa (2pm) p a ap |pa|223|ma|249. (理)(2011 黄冈期末 )在平行四边形abcd 中， e、f 分别是 bc、cd 的中点， de 交 af于 h，记 ab、bc分别为 a、b，则 ah() a.25a45bb.25a45

4、bc25a45bd25a45b答案 b 解析 afb12a，dea12b，设dh de，则dh a12 b，ahaddh a 112b，ah与af共线且 a、b不共线，121121， 25， ah25a45b. 5(2011 山东潍坊一中期末)已知向量a(1,1)，b(2，n)，若|ab|a b，则 n () a 3 b 1 c1 d3 答案 d 解析 a b(3,1n)，|a b|9 n12n22n10，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载又 a b2n， |ab|

5、a b，n22n10n2，解之得n3，故选 d. 6 (2011 烟台调研 )已知 p 是边长为 2 的正 abc 边 bc 上的动点，则ap (abac)() a最大值为8 b是定值6 c最小值为2 d与 p 的位置有关答案 b 解析 设 bc 边中点为d，则ap (abac)ap (2ad) 2|ap| |ad| cos p ad2|ad|26. 7(2011 河北冀州期末)设 a，b 都是非零向量，那么命题“a 与 b 共线”是命题“|ab|a|b|”的 () a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d非充分非必要条件答案 b 解析 |ab| |a|b|? a 与 b 方向相同，或a、

6、b 至少有一个为0；而 a 与 b 共线包括a 与 b方向相反的情形，a、b 都是非零向量，故选b. 8(2011 甘肃天水一中期末)已知向量a(1,2)，b (2， 4)，|c|5，若 (ab) c52，则 a与 c 的夹角为 () a 30b60c120d150答案 c 解析 由条件知 |a|5，|b|2 5，ab (1，2)，|ab|5，(a b) c52，55 cos 52，其中 为 ab 与 c的夹角， 60 . ab a， ab 与 a 方向相反，a 与 c 的夹角为120 . 9(文)(2011 福建厦门期末 )在 abc 中， c90 ，且 acbc3，点 m 满足 bm2ma

7、，则 cm cb等于 () a 2 b3 c4 d6 答案 b 解析 解法 1： 如图以 c 为原点， ca、 cb 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则 a(3,0)，b(0,3)，设 m(x0，y0)，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载bm 2ma，x0 2 3x0y0 32 y0，x02y01，cm cb(2,1) (0,3)3，故选 b. 解法 2： bm2ma， bm23ba，cb cmcb (cbbm)|cb|2cb23ba92333 2 223.

8、( 理 )(2011 安 徽 百 校 联 考 ) 设o为 坐 标 原 点 ， 点a(1,1) ， 若 点b(x ， y) 满 足x2y22x2y 10，1 x2，1 y2，则oa ob取得最大值时，点b 的个数是 () a 1 b2 c3 d无数答案 a 解析 x2y22x2y10，即 (x1)2(y1)21，画出不等式组表示的平面区域如图， oa obxy，设 xyt，则当直线y x 平移到经过点c 时， t 取最大值，故这样的点 b 有 1 个，即 c 点10(2011 宁夏银川一中检测)a，b 是不共线的向量，若ab1ab，aca2b(1，2r)，则 a、b、c 三点共线的充要条件为()

9、 a 1 2 1 b121 c1 21 0 d1210 答案 d 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载分析 由于向量 ac，ab有公共起点，因此三点a、b、c 共线只要 ac，ab共线即可，根据向量共线的条件可知存在实数 使得 ac ab， 然后根据平面向量基本定理得到两个方程，消去 即得结论解析 a、b、c 共线， ac，ab共线， 根据向量共线的条件知存在实数 使得ac ab，即 a 2b (1a b)，由于 a，b 不共线，根据平面向量基本定理得112，消去 得

10、 12 1. 11(文)(2011 北京学普教育中心)设向量 a(a1，a2)，b (b1，b2)，定义一种向量运算ab(a1，a2)(b1，b2)(a1b1，a2b2)已知 m 2，12， n3， 0 ，点 p(x，y)在 ysinx的图象上运动，点 q 在 yf(x)的图象上运动，且满足 oq m opn(其中 o 为坐标原点 )，则 yf(x)的最大值及最小正周期分别为() a 2；b2；4c.12；4d.12；答案 c 解析 设点 q(x，y)，则 oq(x， y)，由新定义的运算法则可得：(x ，y) 2，12(x，y)3，02x3，12y ，得x 2x3y12y，x12x6y2y，

11、代入 ysinx，得 y12sin12x6，则f(x)12sin12x6，故选 c. (理)(2011 华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图，在矩形oacb 中， e 和 f 分别是边ac 和 bc 的点，满足ac3ae，bc3bf，若 oc oe of其中 ， r，则 是() 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a.83b.32c.53d1 答案 b 解析 ofobbf ob13oa，oeoaae oa13ob，相加得 oeof43(oaob

12、)43oc，oc34oe34of， 343432. 12(2011 辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量ab与ac满足ab|ab|ac|ac| bc 0，且ab|ab|ac|ac|12，则 abc 的形状为 () a等腰非等边三角形b等边三角形c三边均不相等的三角形d直角三角形答案 a 分析 根据平面向量的概念与运算知，ab|ab|表示 ab方向上的单位向量，因此向量ab|ab|ac|ac|平行于角a 的内角平分线 由ab|ab|ac|ac| bc0 可知， 角 a 的内角平分线垂直于对边，再根据数量积的定义及ab|ab|ac|ac|12可求角 a. 解析 根据ab|ab|ac|ac| bc0

13、知，角 a 的内角平分线与bc 边垂直， 说明三角形是等腰三角形，根据数量积的定义及ab|ab|ac|ac|12可知a120 .故三角形是等腰非等边的三角形点评 解答本题的关键是注意到向量ab|ab|，ac|ac|分别是向量 ab，ac方向上的单位向量，两个单位向量的和一定与角a 的内角平分线共线第卷 (非选择题共 90 分) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载二、填空题 (本大题共4 个小题，每小题4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上) 13(文)(20

14、11 湖南长沙一中月考)设平面向量a (1,2)，b (2，y)，若ab，则 |3ab|等于 _答案 5 解析 3ab(3,6)( 2，y)(1,6y)，ab， 21y2， y 4， 3ab(1,2)，|3ab|5. (理)(2011 北京朝阳区期末)平面向量a 与 b 的夹角为60 ，a(2,0)，|b|1，则 |a2b|_. 答案 2 3 解析 a b|a| |b|cos6021121，|a2b|2|a|24|b|24a b444 112，|a 2b|23. 14(2011 华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知 a (2 ，1)，b(3， )，若 a，b为钝角，则 的取值范围是

15、 _答案 32且 3 解析 a，b为钝角， a b3(2 ) 4 60， 32，当 a 与 b 方向相反时， 3， f(1)的 m 的取值范围为 _答案 0mf(1)得 f(m2)f(3)，f(x)在1， )上为减函数，m23， m1，m0， 0m1. 16(2011 河北冀州期末)已知向量a sin ，14，b(cos ，1)，c(2，m)满足 ab且(a b) c，则实数m_. 答案 522精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解析 a b， sin cos 140

16、， sin2 12，又 a b sin cos ，54，(ab)c，m(sin cos )520，m52 sin cos， (sin cos )21 sin2 12， sin cos 22， m522. 三、解答题 (本大题共 6 个小题， 共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分12 分)(2011 甘肃天水期末 )已知向量a( cosx，sinx)，b(cosx，3cosx)，函数 f(x)a b，x 0， (1)求函数 f(x)的最大值；(2)当函数 f(x)取得最大值时，求向量a 与 b 夹角的大小解析 (1)f(x)a b cos2x3sinxcosx

17、32sin2x12cos2x12sin 2x612. x0， ，当 x3时， f(x)max11212. (2)由(1)知 x3，a 12，32，b12，32，设向量a 与 b 夹角为 ，则 cos a b|a| |b|121112， 3.因此，两向量a 与 b的夹角为3. 18(本小题满分12 分)(2011 呼和浩特模拟 )已知双曲线的中心在原点，焦点f1、f2在坐标轴上，离心率为2，且过点 (4，10)(1)求双曲线方程；(2)若点 m(3， m)在双曲线上，求证mf1 mf2 0. 解析 (1)解： e2，可设双曲线方程为x2y2 ，过 (4，10)点， 1610 ，即 6，双曲线方程

18、为x2y26. (2)证明： f1(2 3，0)，f2(23，0)，mf1( 323， m)，mf2(323，m)，mf1 mf2 3m2，又 m 点在双曲线上，9m26，即 m23 0，mf1 mf20，即 mf1mf2. 19(本小题满分12 分)(2011 宁夏银川一中月考，辽宁沈阳二中检测)abc 中，a、b、精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载c 分别是角a、b、 c 的对边，向量m(2sinb,2cos2b)，n(2sin2(4b2)， 1)，mn. (1

19、)求角 b的大小；(2)若 a3， b1，求 c的值分析 根据向量关系式得到角b 的三角函数的方程，解这个方程即可求出角b，根据余弦定理列出关于c 的方程，解这个方程即可解析 (1)mn， m n0，4sinb sin24b2cos2b20，2sinb1cos2bcos2b2 0，2sinb2sin2b 12sin2b20，sinb12，0bb，此时b6，方法一：由余弦定理得：b2a2c22accosb，c23c20， c2 或 c1. 方法二：由正弦定理得bsinbasina，1123sina， sina32， 0a ，a3或23 ，若 a3，因为 b6，所以角 c2，边 c2；若 a23 ，则角 c 23 66，边 cb， c1. 综上 c2 或 c1. 20 (本小题满分12 分)(2011 山东济南一中期末)已知向量a cos3x2，sin3x2， bcosx2， sinx2，且 x2， (1)求 a b 及|ab|；(2)求函数 f(x)a b|ab|的最大值，并求使函数取得最大值时x 的值解析 (1)a bcos3x2co