2022年微积分基本定理教案

1、第五章定积分及其应用第三节微积分基本定理教学基本信息教学课题第三节微积分基本定理教学时间45分钟教学重点微积分基本公式教学对象高职高专学生教学难点变上限积分函数及导数教学内容1.变上限积分函数的定义 . 2.变上限积分函数的导数 . 3 .微积分基本定理 . 教学要求1.理解变上限积分函数定义及其导数；2.熟练掌握牛顿莱布尼兹公式的应用. 双语教学微积分： calculus; 变上限积分函数： integration of variable upper limit function；导数 derivative； 牛顿莱布尼兹 :newton-leibniz. 教学过程一、复习1. 定积分的定义

2、2. 定积分的几何意义3定积分的性质二、引入新课一蝴蝶在一正弦形,0,sinxxy花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？问题 1：蝴蝶活动的区域面积如何表示？学生回答 ：0sin xdxs问题 2：能否用定积分的定义求出积分值？学生回答 ：不能。因为在求积分和时不易计算。有没有简单的方法求出这个积分值呢？有。通过“微积分基本定理”的学习。 我们将给出求定积分的一种简单方法。三、探究感性认识变上限积分函数例如2110dxx220dxx2930dxx下限是一常数 , 给出一个上限x, 通过求对备注引入问题, 激起兴趣,案例教学法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

3、 - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -应的定积分 . 有唯一确定的一个积分值y 与之对应 .dttyx0是一个以x为自变量的函数。1、变上限积分函数的定义定义 1：设)(xf为区间,ba上的连续函数 , 任取,bax都有唯一确定的定积分)()(dttfdxxfxaxa与之对应 . 这种对应满足函数的定义. 因此 , 它是定义在区间,ba上的函数 . 记为: xadttfx)()(（其几何意义如图）xadttfx积分函数。形式的函数称为变上限形如)()(例 1 判断下列函数是否为变上限积分函数xatdtex)(axtdtex)(xaxdtxcos)(xaxdtx

4、2cos)(提问学生，询问原因 ) 通过例题讲解 . 使学生进一步体会变上限积分函数的特征: 下限是一常数 , 上限只有一个自变量x. 同时, 这是一类函数 . 这类函数如同其它函数一样, 可以计算求其定义域, 值域在这我们根据需要, 只学习它的一条性质 - 导数. 从而引出2、变上限积分函数的导数b,)()()(,b,)()(，b,f(x)1axxfdttfdxdxadttfxaxaxa，且上可导在数限积分函则变上上连续在如果定理对于定理的证明不要求掌握. 例 2 求下列函数的导数0arctan)()2()()1 (xxattdtxdtex( 提问学生，询问原因 ) xxatedtex)()

5、1(:）（解提 问 学生， 询问原因提 问 学生， 询问原因教 师 根据 学 生axyo)(xxb 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -xtdtxxarctan)arctan()2(0）（例 3 的值计算200arctanlimxtdtxx212arctanlimarctanlim:0200 xxxtdtxxx解该题进一步深化对变上限积分函数是一类函数的理解. 同时加深了变上限积分函数的性质的应用 . 定理 2（原函数存在定理）.b,)f()()(，b,)f(上的一个原函数区间在是则函

6、数上连续在如果axdttfxaxxa定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 3、微积分基本定理如 果)(xf是 连 续 函 数)(xf在 区 间,ba上 的 一 个 原 函 数 。 则)()()(afbfdxxfba证已知)(xf是)(xf的一个原函数，又dttfxxa)()(也是)(xf的一个原函数 , ,)()(baxcdttfxfxa则令ax,)()(cdttfafaa则,)(caf则,)()(baxcdttfxfxa即令bx),()()(afdttfbfba则,),()()(baxafbfdttfba即.,)(上连续

7、在注意条件：baxf例 411211dxx求定积分2)1arctan(1arctanarctan11:11112xdxx解例 5 5042dxx求定积分1394)4()4()42()42(42:522202522050 xxxxdxxdxxdxx解例 6dxx121求解2ln2ln1lnln11212xdxx回 答 总结答案问题驱动法 （加深理解）例 4 的选取主要熟悉公式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -?,1:11莱布尼兹公式吗能用牛顿计算定积分问dxx对本节开始引例的解答一蝴蝶

8、在一正弦形,0,sinxxy花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？.2cossin:00 xxdxa面积解四、课堂练习 （分组练习 , 教师答疑）)2(.)(10求设xtdtex、2)2(e)(:exx解ytdt、yxa求.cos22)2(2cos:xxy解x2cos2.)1()(3的极值求xadttxf、.2121)1() 1(.,0)(,1., 0)(,10)(,11)(:10210为函数的极小值函数为减函数时函数为增函数时时定义域为解ttdttfxfxxfxxfxxxfr五、课堂小结本节通过几个例子的讲解, 轻而易举推出变上限积分函数的概念; 学习了变上限积分函数的导数 . 在此基础上推出了微积分基本公式. 1. 变上限积分函数 :xadttfx)()(2. 变上限积分函数的导数 :)()(xfx提 问 学生， 引起对 使 用条 件 的重视学生解答练习法（巩固知识）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -3. 微积分基本公式 :)()()(afbfdxxfba.,)(上连续在注意条件：baxf六、作业布置课下预习定积分的积分方法七、教学反思通