2022年数学八年级上册知识点汇总及常考题型

1、数学八年级上册知识点汇总及常考题型汇编人：高科寿第一章全等三角形【知识结构框图 】【知识点 】一、定义及表示1、定义能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中相似比为1：1 的特殊情况）当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。由此，可以得出：全等三角形的对应边相等，对应角相等。(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；(3) 有公共边的，公共边一定是对应边；(4) 有公共角的，角一定是对应角；三角形全等的判命题

2、、公理与定理尺规作图全等三角形的判定直角三角形全等的判定逆命题与逆定理作垂线作线段（hl ）（sss ）（asa ）（sas ）（aas ）作角作 角 平 分 线作 垂 直 平 分 线精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - -(5) 有对顶角的，对顶角一定是对应角；2、表示全等用“”表示，读作“全等于”。如：abc全等于 def ，写作：abc def 注意：若 abc def ，点a的对应点是点d，点 b的对应点是点e，点 c的对应点是点f二、判定定理1、三组对应边分别相等的两个三角形全

3、等( 简称 sss或“边边边” )，这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(sas 或“边角边” )。3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(asa 或“角边角” )。由 3 可推到4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(aas 或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 (hl 或“斜边，直角边” ) 所以， sss,sas,asa,aas,hl 均为判定三角形全等的定理。注意：在全等的判定中，没有aaa角角角和ssa(特例：直角三角形为hl，属于 ssa)边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形

4、的形状。a是英文角的缩写(angle)，s是英文边的缩写(side)。h是英文斜边的缩写（hypotenuse ）， l 是英文直角边的缩写（leg ）。6. 三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。三、性质三角形全等的条件：1、全等三角形的对应角相等。2、全等三角形的对应边相等3、全等三角形的对应顶点相等。4、全等三角形的对应边上的高对应相等。5、全等三角形的对应角平分线相等。6、全等三角形的对应中线相等。7、全等三角形面积相等。8、全等三角形周长相等。9、全等三角形可以完全重合。三角形全等的方法：1、三边对应相等的两个三角形全等。（sss) 精品学习资料 可选择p d f -

5、 - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - -2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(sas) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(asa) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（aas ）5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(hl) 【运用 】1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。而全等的判定却刚好相反。2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。3，

6、当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用sas找全等三角形。4、用在实际中， 一般我们用全等三角形测相等的距离。以及相等的角，可以用于工业和军事。5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他支撑物体。【做题技巧 】一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以采取逆向思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。然后把所得的等式运用（aas/asa/sas/sss/hl）证明三角形全等。有时还需要画辅助线帮助解题。分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。【例题分析

7、】例 1：（2006浙江金华）如图， abc与abd中，ad与 bc相交于 o点，1=2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字母），使ac=bd ，并给出证明. 分析：要说明 ac=bd ，根据图形想到先说明abc bad ，题目中已经知道12，abab ，只需一组对边相等或一组对角相等即可. 解：添加的条件是：bc=ad. 证明：在 abc 与bad中，12， ab ab，a=a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 44 页 - - - - - - - - - abc bad （sas ）. ac=bd.

8、 小结：本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方式之一来添加条件：bc=ad ，c= d ， cad= dbc ， cab= dba ，都可得 cab dba ，从而有ac=bd. 例 2 （2006攀枝花）如图，点e在 ab上， ac=ad ，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明. 所添条件为 _. 你得到的一对全等三角形是： . 证明：分析：在已知条件中已有一组边相等，另外图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等即可得出全等三角形. 解：所添条件为ce=ed. 得到的一对全等三角形是cae dae. 证明：在 cae 和dae中， a

9、c=ad ，ae=ae ，ce=de ，所以cae dae （ sss ）. 小结：本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视. 例 3.(20xx 年永州 )下列命题是假命题的是（）a两点之间，线段最短b过不在同一直线上的三点有且只有一个圆c一组对应边相等的两个等边三角形全等d对角线相等的四边形是矩形答案:d 解析: 考查假命题的判定 . 一般判定假命题采用对比定义或举反例. 随意可以画出一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来, 所以 d是假命题 . 例 4具备下列条件的两个三角形，全等的是a两个角分别相等，且有一边相等b一

10、边相等，且这边上的高也相等c两边分别相等，且这两边的夹角也相等d两边且其中一条对应边的对角对应相等知识点扫描 : 全等三角形的判定 . 注意对应！题目解析 : a 项没有对应，可举反例：两个三角形，一大一小，有两个角分别相等，但大三角形的短边 =小三角形的长边 . b 项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等. c 项两边及夹角相等，由全等公理可以得到. e c d b a 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 44 页 - - - - - - - - -d 项 ssa 不能判定全等 . 故选 c 例 5.在 ab

11、c 与abc中 , a+b=c, b+c=a,且b-a=b-c,b+a=b+c,则这两个三角形 ( ) (a)不一定全等(b)不全等(c)根据“ sas”全等(d)根据“ asa”全等题目解析 : a+b=c, b+c=a,c=a=90. 又b-a=b-c,b+a=b+c，两式相加，得b=b，则 a=c. 则abccba(sas) 故选 c 例 6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由题目解析 : 全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全等的. 所以测量 a，b 的度数和线段 ab 的长

12、度，用 asa 得全等 . 解:测量 a，b 的度数和线段 ab 的长度，做a=a，ab=abb=b，则abc和原三角形全等，据asa定理例 7如图，已知点 a，f，e，c 在同一直线上， af=ce，bedf，be=df求证：abcd知识点扫描 :全等三角形的判定、性质. 平行线的判定 . 题目解析 : 从图形来看，是一个典型的全等图形.所以想到由全等得到等角，再从等角推出两线平行 . 但是注意：在证 aebcfd 中，不要错误地把af 与ce 当成了这两个三角形的对应边 其实，ae 与 cf 才是这两个三角形的对应边证明： af=ce，a、f、e、c 共线， ae=cf. bedf ， a

13、eb=cfd. 在 aeb 和cfd中，afceaebcfdbedfaebcfd ， a=c，abcd.例 8如图， acb=90，ac=bc，d 为 ab 上一点， aecd 于 e，bfdc交 cd 的延长线于 f求证： bf=ce精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 44 页 - - - - - - - - -知识点扫描 :全等三角形的判定及性质. 和同角互余的两角相等 . 题目解析 : 这个图形也是很典型的全等三角形图形. 所以考虑证 acecbf（aas） ，从而由全等性质得到： bf=ce. 证全等用 aas，直角相

14、等，和 ac=bc都是显见的，再找一角： eac= fcb ，这一相等由同角（ ace ）的余角相等得到. 证明： aecf， ecacae=90又bca=90， bcfeca=ecacae bcf=caeaecf， aec=90bfcf， bfc=90又 ac=bc， bcfcaebf=ce例 9已知：如图， abc 和ade 是有公共顶点的等腰三角形. 求证： （1）bd=ce； （2）1=2. 题目解析 : 图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了. 找全等要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件. 证eacdab. 证明： bac=ead=90， bac+dac=ead+d

15、ac.即 bad=eac. 又ae=ad,ab=ac, eacdab,bd=ce, 1=2. 例 10.如图，在 abc 中， c 为直角， a=30，分别以 ab、ac 为边在abc 的外侧作正 abe 与正 acd，de 与 ab 交于 f，求证： ef=fd. 题目解析 : 构造全等三角形，过e 作 eg ab于 g. 证明 efg dfa即可. （aas ）. 证明：过 e 作 egab 于 g.则aeg=30. 在aeg 与abc 中，ae=ab ，aeg=cab=30， bca= ega=90， eagabc，eg=ac=ad. 又在 adf 与gef 中，ad=ge，afd=gf

16、e，daf=egf=90adfgef， df=ef. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 44 页 - - - - - - - - -例 11如图，在 abc 中，ab=ac，de 是过点 a 的直线， bdde 于 d，cede 于 e（1）若 bc 在 de 的同侧（如图）且ad=ce，求证： baac（2） 若 bc 在 de 的两侧（如图）其他条件不变， 问 ab 与 ac 仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由题目解析 : 直接证明垂直无路，要“曲线救国” ，设法证明 dab+ eac=90，这还是不能直接达到，注

17、意到dab 和eac 所在三角形均为直角三角形，所以再转化一下：证 dab=ace，这由全等不难得到 . 第二问方法与第一问类似，故不赘述. 证明： （1）在 rtabd 和 rtcae 中，abcaadceabdcae（hl） ， dab=ace又 ace+cae=90， dab+cae=90bac=90， ab 与 ac 垂直（2）成立证明同上例 12. (20xx年湘潭) （本题满分 6 分）如图，四边形 abcd 是矩形， e是 ab上一点，且 de =ab ，过 c作 cf de ，垂足为 f.（1）猜想：ad与cf的大小关系；（2）请证明上面的结论 . 解： （1）adcf（2）四

18、边形abcd是矩形，,aedfdcdeabcd又,90 ,cfdecfdaade fcd adcf解析: 考查矩形的性质及直角三角形全等的判定. 猜想 ad与 cf的关系 , 可以分析ad,cf 所在的两个三角形ade与三角形fcd的关系 . 由条件可归纳得 : a=cfd=900, aed= fdc,de=ab=cd,可证 ade fcd,从而 ad=cf. 【练习】 ：1、 （20xx 年泰州市） 27在矩形 abcd 中，ab=2，ad=3b a c d ef 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 44 页 - - - -

19、 - - - - -（1）在边 cd 上找一点 e，使 eb 平分 aec，并加以说明；（3 分）（2）若 p 为 bc 边上一点，且 bp=2cp，连接 ep 并延长交 ab 的延长线于 f求证：点 b 平分线段 af； （3 分）pae 能否由 pfb 绕 p 点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由 （4 分）2、 （20xx 年南京市） 21 （6 分）如图，在矩形 abcd 中，ef，为bc上两点，且becf，afde求证： （1）abfdce；（2）四边形abcd是矩形3、 （2008福建福州）如图，在等腰梯形abcd中，adbc，m是ad的中点

20、，求证：mbmc4、（20xx 年遵义市）如图，oaob，ocod，50o，35d， 则aec等于（）a60b50c45d305、 （20xx 年遵义市） 22 （10 分）在矩形abcd中，2adab，e是ad的中点，一块三角板的直角顶点与点e重合，将三角板绕点e按顺时针方向旋转 当三角板的两直角边与abbc，分别交于点mn，时，观察或测量bm与cn的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论6、 （20xx年郴州市）如图， abc 为等腰三角形，把它沿底边 bc 翻折后，得到 dbc请你判断四边形abdc 的形状，并说出你的理由7(20xx年双柏县 ) 如图，点p在aob的平分线上，a b c

21、 d e f cabdabpoo e a b d c 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 44 页 - - - - - - - - -若使aopbop，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线） ：8 （20xx 年荆州市）如图，矩形abcd 中，点 e 是 bc 上一点， aead，dfae于 f，连结 de ，求证： df dc 9 （20xx年龙岩市）如图，在边长为4 的等边三角形 abc 中，ad 是 bc 边上的高，点 e、f 是 ad 上的两点，则图中阴影部分的面积是（）a43b33c23d310.（20x

22、x 年沈阳市）如图所示，正方形abcd中，点e是cd边上一点，连接ae，交对角线bd于点f，连接cf，则图中全等三角形共有（）a1 对b2 对c3 对d4 对11. （2008 苏州）如图，四边形abcd的对角线ac与bd相交于o点，12，34求证： （1）abcadc；（2）bodo12. （2008 无锡） 已知一个三角形的两条边长分别是1cm 和 2cm， 一个内角为40（1）请你借助图 1 画出一个满足题设条件的三角形；（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在图的右边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由（3）如果将题设条

23、件改为“三角形的两条边长分别是3cm 和 4cm，一个内角为40” ，那么满足这一条件，且a b c d f e a d c e f b 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 44 页 - - - - - - - - -彼此不全等的三角形共有个友情提醒：请在你画的图中标出已知角的度数和已知边的长度 ,“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹13.(20xx 年西宁市 23)如图，一块三角形模具的阴影部分已破损（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具abc的形状和大小完全相同的

24、模具a b c？请简要说明理由14.（20xx 年广东湛江市 23）如图 7 所示，已知等腰梯形abcd 中，adbc，ab=dc，ac 与 bd 相交于点 o请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明15.（20xx年重庆市）已知：如图，在梯形abcd 中，adbc，bc=dc，cf 平分 bcd，dfab，bf 的延长线交 dc 于点 e。求证： （1）bfcdfc；（2）ad=de 16、 （20xx年宜宾市）已知 : 如图,ad=bc,ac=bd. 求证:od=oc 17. （20xx年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，bce，在

25、同一条直线上，连结dc（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明：dcbe图 1 图 2 d c e a b b c a d b a o c fedcbaodcbaodcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 44 页 - - - - - - - - -18. （20xx年聊城市）如图，矩形abcd中，o是ac与bd的交点，过o点的直线ef与abcd，的延长线分别交于ef，（1）求证：boedof；（2）当ef与ac满足什么关系时，以aecf， ，为顶点的四边形是菱形？证

26、明你的结论第二章轴对称【知识结构框图 】【知识点 】如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴一、 轴对称1.轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，?那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴， 折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称2. 图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称， ?那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线3.轴对称与轴对称图形的区别

27、fdocbea精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 44 页 - - - - - - - - -轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，?成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称4.线段的垂直平分线（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上因此线段的垂直平分线可以看成与

28、线段两个端点距离相等的所有点的集合二、轴对称变换1.轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到2.轴对称变换的性质（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2） 经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形（1）作出一些关键点或特殊点的对称点（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形三、用坐标表示轴对称1.关于坐标轴对称点 p（x，y）关于 x 轴对称的点

29、的坐标是（ x，-y）点 p（x，y）关于 y 轴对称的点的坐标是（ -x，y）2.关于原点对称 点 p（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）3.关于坐标轴夹角平分线对称点 p （x， y） 关于第一、三象限坐标轴夹角平分线y=x 对称的点的坐标是 （y，x）点 p（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线y= -x 对称的点的坐标是（-y，- x）4.关于平行于坐标轴的直线对称点 p（x，y）关于直线 x=m 对称的点的坐标是（ 2m-x，y） ；点 p（x，y）关于直线 y=n 对称的点的坐标是（ x，2n-y） ；四、等腰三角形1.等腰三角形精品学习资料 可选择p d f -

30、- - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 44 页 - - - - - - - - -有两条边相等的三角形是等腰三角形相等的两条边叫做腰， 另一条边叫做底边两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角2.等腰三角形的性质性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合特别的： （1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形两腰上的中线、角平分线、高线对应相等. 3.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 特别的：（1）有一边上的角

31、平分线、中线、高线互相重合的三角形是等腰三角形（2）有两边上的角平分线对应相等的三角形是等腰三角形（3）有两边上的中线对应相等的三角形是等腰三角形（4）有两边上的高线对应相等的三角形是等腰三角形4.利用“三角形奠基法”作图根据已知条件先作出一个与所求图形相关的三角形，然后再以这个图形为基础，作出所求的三角形 . 五、等边三角形1.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形2.等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，?并且每一个内角都等于603.等边三角形的判定方法（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是 60的等腰三

32、角形是等边三角形六、角平分线的性质1. 角平分线的作 法精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 44 页 - - - - - - - - -见课本2. 角平分线的性质在角平分线上的点到角的两边的距离相等. op平分 aob ，pm oa于 m ，pn ob于 n ，pm=pn 3. 角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上. pm oa于 m ，pn ob于 n，pm=pn op平分 aob 4. 三角形的角平分线的性质三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等七、添加辅助线口诀几何证明难不难，关键常在

33、辅助线；知中点、作中线，倍长中线把线连.线段垂直平分线，常向两端来连线. 线段和差及倍分，延长截取全等现；公共角、公共边，隐含条件要挖掘；平移对称加旋转，全等图形多变换. 角平分线取一点，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称之后关系现；角平分线加平行，等腰三角形来添；角平分线伴垂直，三线合一试试看。【例题 】1. 下列图形中对称轴最多的是（）a圆 b正方形 c等腰三角形 d线段2. 数字_在镜中看作3. 如右图的图案是我国几家银行标志，其中轴对称图形有（）al 个 b2 个 c3 个 d 4 个4. 下列说法中，正确的是（） a 等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形 b 正方形的对角线互相垂

34、直平分且相等c 矩形是轴对称图形且有四条对称轴 d 菱形的对角线相等abcpmnoabcpmno精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 44 页 - - - - - - - - -5. 字母 a，b，c，d，e，f，s，x，y，z 中，是轴对称图形的有 _个6. 如图，请在 abcde 中，以线段 de所在的直线为对称轴， 画出它的轴对称图形7. 如图，已知 abc 和直线 l ，作出与 abc关于直线 l 对称的图形 . 8. 填空：(1) 点（ 2，6）关于 x 轴的对称点的坐标是（， ） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（，

35、 ） ；(2) 点（1，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（， ） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（， ） ；(3) 点 （1，3）关于 x 轴的对称点的坐标是 （， ） ，关于 y 轴的对称点的坐标是 （， ） ；(4) 点（ 4，2）关于 x 轴的对称点的坐标是（， ） ，关于 y 轴的对称点的坐标是（， ） ；(5) 点 （1， 0） 关于 x 轴的对称点的坐标是 （， ） ， 关于 y 轴的对称点的坐标是 （， ）. 9. 如图， abc 的三个顶点的坐标分别为a （4，4） ，b（0，2） ，c （3，0） ，作出与abc关于 x 轴对称的图形 . 10. 填空：(1) 如果等腰三角形

36、的一个底角等于70，那么顶角等于；(2) 如果等腰三角形的顶角等于70，那么底角等于 . cablcboyx-5-5-4-3-3-2-2-14a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 44 页 - - - - - - - - -12. 根据等腰三角形的性质2 填空：(1) 如图， ab ac ，ad是中线，则，；(2) 如图， ba bc ，bd是高，则，；(3) 如图， ca cb ，cd是角平分线，则，；11. 填空：(1) 等腰三角形的一个角是150，则它的另外两个角的度数是. (2) 等腰三角形

37、的一个角是90，则它的另外两个角的度数是. (3) 等腰三角形的一个角是30，则它的另外两个角的度数是. 12. 完成下面的解题过程：已知等腰三角形的一个底角等于顶角的2 倍，求顶角和底角的度数 . 解：设顶角为 x 度，则底角为度 . 根据三角形的内角和等于180，列方程得 . 解方程得 x=. 答：顶角是，底角是 . 13. 完成下面的证明过程：已知：如图， ab ac ，ob oc. 求证： ad bc ，bd cd. 证明：在 abo 和aco 中，abac,oboc,aoao,abo aco （）. 12. ad bc ，bd cd.（）14. 证明等腰三角形底边中点到两腰的距离相等

38、. 已知：求证：证明：15. 已知：如图， bc ac ，de ac ，点 d是 ab的中点， ab 7.4 ，a30，则 bc ，de . 16. 已知：如图，等边 abc 中，m是 ac的中点， mn bc于 n. cdbacdbaabcdo12abdcnmcbadeabc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 44 页 - - - - - - - - -求证： cn 14bc. 【练习 】1. 正多边形是轴对称图形， 观察下面的正多边形， 它们各有几条对称轴？从中你发现了什么规律？2. 如图，已知 abc 和直线 l ，作

39、出与 abc关于直线 l 对称的图形 . 3. 如图， abc 的三个顶点的坐标分别为a （0，3） ，b（4，0） ，c （3，2） ，作出与 abc 关于 x 轴对称的图形 . 4. 判断对错：对的画“” ，错的画“” . (1) 角是轴对称图形 . （）(2) 平行四边形是轴对称图形. （）(3) 圆有无数条对称轴 . （）(4) 成轴对称的两个三角形是全等三角形. （）(5) 两个三角形全等，它们一定成轴对称. （）(6) 点（3，2）关于 y 轴的对称点是（ 3，-2）. （）(7) 点（3，0）关于 x 轴的对称点是（ 3，0）. （）(8) 等腰直角三角形的底角等于45. （）(

40、9) 有一个外角等于 120的等腰三角形是等边三角形. （）5. 填空题：abcladbcea-41122334455-1-1-2-3-3-4-5-5xyobc-2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 44 页 - - - - - - - - -(1) 已知：如图， e64 ，bd垂直平分 ae ，则a，abc . (2) 已知：如图，在 abc 中，de垂直平分 ac ，abd 的周长是 10，ac 3，则 abc的周长是 . (3) 如果等腰三角形的顶角等于100，那么底角等于 . (4) 等腰三角形的一个角是120，则它

41、的另外两个角的度数是. (5) 等腰三角形的一个角是80，则它的另外两个角的度数是. (6) 已知等腰三角形的顶角等于一个底角的2 倍，则底角是，顶角是 . (7) 等腰三角形的顶角为120，腰长为 6cm ，则底边上的高为 cm. (8) 已知：如图， abc中， acb 90，cd是高， a30，bc 8，则ab ，bd . 6. 已知：如图， ab ad dc ，c 35 ，求 b和dac 的度数 . 7. 已知：如图，如图， d、e分别是 ab 、ac的中点， cd ab ，be ac. 求证： ac ab. 8. 已知：如图， bc，de bc. 求证： db ec. 9. 已知：如

42、图， ad bc ，ac bd. 求证： eab是等腰三角形 . 10. 已知：如图， ab ac ，ad bd dc. 求b的度数 . 第三章 : 实数adebcdacbabcddecbadbaceabcdedcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 44 页 - - - - - - - - -【知识结构框图 】1本章知识的内在结构如下图所示：2本章知识的展开顺序如下图所示：【知识点 】：1实数的性质（1）实数范围内仍然适用在有理数范围内定义的一些概念（如倒数，相反数） ；（2）两实数的大小关系：正数大于0，0 大于负数；

43、两个正实数，绝对值大的实数大；两个负实数，绝对值大的实数反而小；（3）在实数范围内，加、减、乘、除（除数不为零） 、乘方五种运算是畅通无阻的，但是开方运算要注意， 正实数和零总能进行开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方；（4）有理数范围内的运算律和运算顺序在实数范围内仍然相同2实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系3实数的分类精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 44 页 - - - - - - - - -（1）按实数的定义分类：无限不

44、循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数（2）按实数的正负分类：负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数4实数的大小比较两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数， 绝对值大的实数较大； 两个负实数， 绝对值大的实数反而小实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个实数，右边的数总大于左边的数5.平方根的概念 ：若 x2=a(a0)，则 x 叫做 a 的平方根，记作 x=a ，求一个非负数的平方根的运算叫做开平方 .开平方与平方互为逆运算.

45、6.算术平方根的概念 : 正数 a的正的平方根叫做a的算术平方根 ,记作a ,0 的算术平方根是 0. 7.平方根及算术平方根的性质: 1.正数有两个平方根 ,它们互为相反数 ; 2. 0的平方根是 0; 3.负数没有平方根 ; 4.一个非负数的算术平方根是非负数,即 a0. 8.立方根的概念及性质 :若 x2=a，则 x 叫做 a的立方根，记作 x=3a .0 的立方根是 0,任何实数都有立精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 44 页 - - - - - - - - -方根,并且只有一个 ,同时立方根的符号与其本身符号相同

46、. 【典型例题 】例 1 81的平方根是 ( ). a. 9 b. 3 c.9 d.3 解: 因为81=9,所以81的平方根就是 9 的平方根 ,即9=3, 故选择 b. 注: 应现将81化简后再求值 . 例 2 若 a0,则 a2的算术平方根是 ( ). a.-a b.a c.a d. a解:当 a4 吨时，收入大于成本，当xy2b.y1y2c.y1y2d.不能比较7、若正比例函数的图像经过点（2，6） ，则这个函数的图像经过第象限。8、若一次函数)2(mmxy的图像经过原点，则m。9、已知点),4(aa、),2(bb都在直线kxy21（k 为常数）上，则 a 与 b 的大小关系是 ab。1

47、0、已知函数4xy，它的自变量x的取值范围是13x，则函数y的取值范围是。11、一次函数42xy的图像与 x 轴交点坐标是， 与 y 轴交点坐标是。12、已知一个正比例函数的图像经过点（2，4） ，则这个正比例函数的表达式是。13、若函数 y2xm2是正比例函数，则m 的值是。14、已知一次函数 ykx5 的图像经过点（ 1，2） ，则 k。15、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式（写出一个即可） . （1）y 随着 x 的增大而减小。（2）图像经过点（ 1，3）16、已知一次函数bkxy的图像经过点)0, 1(和)2,0(，求k和b的值；在直角坐标系内画出kbxy的图像；17、已知 y

48、2 与 x 成正比例，且当 x1 时，y6 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）若点（ a，2）在这个函数图像上，求a 18、已知函数 y（2m1）xm3 （1）若函数图像经过原点，求m 的值（2）若这个函数是一次函数，且y 随着 x 的增大而减小，求 m 的取值范围。19、已知一次函数 ykxb 的图像经过点（ 1，5） ，且与正比例函数1y=x2的图像相交于点（ 2，a） ，求（1）a的值； （2）k、b 的值； （3）这两个函数图像

49、与 x 轴所围成的三角形面积。20、已知一次函数)3()12(nxmy，求：（1）当m为何值时，y的值随x的增加而增加；（2）当n为何值时，此一次函数也是正比例函数；（3）若,2, 1 nm求函数图像与x轴和y轴的交点坐标；（4） 若2, 1 nm， 写出函数关系式，画出图像，根据图像求 x取什么值时，0y。21、 （2007晋江）小东从 a地出发以某一速度向b地走去，同时小明从b地出发以另一速度向a 地而行，如图所示，图中的线段1y 、2y 分别表示小东、小明离 b地的距离（千米）与所用时间（小时）间的关系. （1）试用文字说明交点p所表示的实际意义；（2）试求出 a、b两地之间的距离 .

50、22、龟兔赛跑，它们从同一地点同时出发，不久兔子就把乌龟远远地甩在后面，于是兔子便得意洋洋地躺在一棵大树下睡起觉来. 乌龟一直在坚持不懈、持之以恒地向终点跑着，兔子一觉醒来，看见乌龟快接近终点了，这才慌忙追赶上去，但最终输给了乌龟 . 下列图象中能大致反映龟兔行走的路程s随时间 t 变化情况的是( ). 23、杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：（1）买进每份 02 元，卖出每份 03 元；（2）一个月内（以 30 天计）有 20天每天可以卖出200份，其余 10 天每天只能卖出 120 份；（3）一个月内，每天从报社买进的报纸数必须相同,

51、 当天卖不掉的报纸，以每份 01 元退给报社填下表：设每天从报社买进该种晚报x 份(120 x200 )时，月利润为 y 元，试求出 y与 x 之间的函数表达式，并求月利润的最大值2yo x（小时）y（千米）2.5 p 7.5 1y4 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 44 页 - - - - - - - - -24、 某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用后，那么服药后2 小时血液中含药量最高，达每毫升6 微克， （1 微克 103毫克） ，接着逐步衰减， 10 小时时血液中含量为每毫升3

52、微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间 x（小时）的变化如图所示。 当成人按规定剂量服用后：（1）分别求出 x2 和 x2 时y与 x之间的函数关系式；（2）如果每毫升血液中含药量为4 微克或 4 微克以上时，在治疗疾病时是有效的，那么这个有效的时间多长？25、如图，直线12ll、相交于点 a,1l 与 x 轴的交点坐标为（ 1，2l 与 y 轴的交点坐标为（ 0，2） ，结合图象解答下列问题：求出直线2l 的一次函数的表达式；当 x 为何值时 ,12ll、表示的两个一次函数的函数值都大于0？第五章 : 整式的乘除与因式分解【知识结构框图 】问题二图xy（ 微 克 ）（ 小 时 ）63102

53、o精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 44 页 - - - - - - - - -【知识点 】 ：1.单项式的概念 ：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：bca22的 系数为2，次数为 4，单独的一个非零数的次数是0。2.多项式 ：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：122xaba，项有2a、ab2、 x、1，二次项为2a、ab2，一次项为 x，常数项为 1，各项次数

54、分别为2，2，1，0，系数分别为 1，-2，1，1，叫二次四项式。3、整式： 单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223yxyyxx按 x 的升幂排列：3223221xyxxyy按 x 的降幂排列：1223223yxyyxx按y的升幂排列：3223221yyxxyx按y的降幂排列：1223223xxyyxy5、同底数幂的乘法法则 ：nmnmaaa（nm,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：532)()()(bababa6、幂的乘方法则：mnnmaa )(（n

55、m,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(幂的乘方法则可以逆用：即mnnmmnaaa)()(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 44 页 - - - - - - - - -如：23326)4()4(47、积的乘方法则 ：nnnbaab)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。如： （523)2zyx=5101555253532)()()2(zyxzyx8、同底数幂的除法法则：nmnmaaa（nma,0都是正整数，且)nm同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(baababab

56、9、零指数和负指数；10a，即任何不等于零的数的零次方等于1。ppaa1（pa, 0是正整数），即一个不等于零的数的p次方等于这个数的p次方的倒数。如：81)21(23310、科学记数法： 如：0.00000721=7.21610（第一个不为零的数前面有几个零就是负几次方）11、单项式的乘法法则 ：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法则对于三个以上的

57、单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：xyzyx323212、 单项式乘以多项式， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mcmbmacbam)(cbam,都是单项式 ) 注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如：)(3)32(2yxyyxx13、多项式与多项式相乘的法则；多项式与多项式相乘， 先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3

58、7 页，共 44 页 - - - - - - - - -把所的的积相加。如：)6)(5()3)(23(xxbaba14、平方差公式：22)(bababa注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如：)(zyxzyx15、完全平方公式 ：2222)(bababa公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项， 其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。注意：abbaabbaba2)(2)(2222abbaba4)()(22222)()()(bababa22

59、2)()()(bababa完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2 倍。16、三项式的完全平方公式：bcacabcbacba222)(222217、单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。注意： 首先确定结果的系数（即系数相除） ，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式如：bamba24249718、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。即：cbamcmmbmmammcmbmam)(19、因式分

60、解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义： 它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 38 页，共 44 页 - - - - - - - - -于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能