2022年数学知识点整理

1、学习必备欢迎下载数 学 必 修1 知 识 点 总 结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：1. 元素的确定性； 2. 元素的互异性； 3. 元素的无序性说明： (1) 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象是或者不是这个给定的集合的元素。(2) 任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3) 集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。(4) 集合元素的三个

2、特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如 我校的篮球队员， 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： n 正整数集 n* 或 n+ 整数集 z 有理数集q 实数集 r 关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 a的元素，就说a 属于集合a 记作 a a ，相反， a 不属于集合a 记作 aa 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中

3、的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 xr| x-32或x| x-32 4、集合的分类：1有限集含有有限个元素的集合2无限集含有无限个元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系1. “包含”关系子集注意：有两种可能（1）a是 b的一部分，； （2） a与 b是同一集合。反之 : 集合 a不包含于集合b,或集合 b不包含集合a,记作 a b 或 b a 2 “相等”关系 (5 5，且 55，则

4、 5=5) 实例：设 a=x|x2-1=0 b=-1,1 “元素相同”结论：对于两个集合a与 b，如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，同时 , 集合 b的任何一个元素都是集合 a的元素，我们就说集合a等于集合b，即： a=b 任何一个集合是它本身的子集。aa 真子集 : 如果 ab, 且 a b 那就说集合a是集合 b的真子集，记作a b( 或 b a) 如果 ab, bc ,那么 ac 如果 ab 同时 b&#6

5、1645;a 那么 a=b 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1交集的定义：一般地，由所有属于a且属于 b的元素所组成的集合, 叫做 a,b 的交集记作 a b(读作 a交 b) ，即 ab=x|x a，且 xb2、并集的定义：一般地，由所有属于集合a或属于集合b 的元素所组成的集合，叫做a,b 的并集。记作：a精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载b(读作 a并 b) ，即 ab=x|x a，

6、或 xb3、交集与并集的性质：aa = a, a= , a b = b a，a a = a, a= a ,a b = b a. 4、全集与补集（1）补集：设s是一个集合， a是 s的一个子集（即） ，由 s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集 a的补集（或余集）记作： csa 即 csa =x  xs且 xa （2）全集：如果集合s 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用u来表示。（3）性质： cu(c ua)=a (c ua) a= (cua)a=u 二、函数的有关概念1函数的概

7、念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合a中的任意一个数x，在集合 b中都有唯一确定的数f(x) 和它对应，那么就称 f ： ab为从集合 a到集合 b的一个函数 记作： y=f(x)，xa 其中， x 叫做自变量， x 的取值范围a叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xa 叫做函数的值域注意： 2 如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列

8、不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被开方数不小于零； (3) 对数式的真数必须大于零；(4) 指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5) 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合. （ 6）指数为零底不可以等于零 (6) 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ( 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一

9、致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 ( 两点必须同时具备) ( 见课本 21 页相关例2) 值域补充(1) 、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xa)中的 x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点p(x，y)的集合 c，叫做函数 y

10、=f(x),(x a)的图象c上每一点的坐标(x ，y) 均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x ，y) ，均在 c上 . 即记为 c= p(x,y) | y= f(x) , xa 图象 c一般的是一条光滑的连续曲线( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法a、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 p(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. b、图象变换法（请参考必修4 三角函数）常用变换方法有三种，即平

11、移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。发现解题中的错误。4快去了解区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间； （3）区间的数轴表示5什么叫做映射一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合a 中的任意一个元素x，在集合 b中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f ：a b为从集合a

12、到集合 b的一个映射。 记作“f：a b”给定一个集合a到 b的映射，如果aa,b b.且元素 a 和元素 b对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，元素 a 叫做元素b 的原象说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合a、b及对应法则f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合a 到集合 b的对应，它与从b到 a的对应关系一般是不同的；对于映射f ：ab来说，则应满足： （）集合a 中的每一个元素，在集合b 中都有象，并且象是唯一的；（）集合a 中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；（）不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。常用的函数表示法及各自的优点：1

13、 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数（参见课本p24-25）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分

14、的自变量的取值情况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果 y=f(u),(um),u=g(x),(xa), 则 y=fg(x)=f(x)，(x a) 称为 f 、g 的复合函数。例如 : y=2sinx y=2cos(x2+1) 7函数单调性（1） 增函数设函数 y=f(x)的定义域为i ，如果对于定义域i 内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 d上是增函数。区间d称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）如

15、果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x) 在这个区间上是减函数. 区间 d称为 y=f(x)的单调减区间. 注意： 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1， x2；当 x1x2 时，总有f(x1)f(x2) 。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有( 严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法

16、：1 任取 x1，x2 d，且 x11，且 * 当 是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数此时，的 次方根用符号表示式子 叫做根式（ radical） ，这里叫做根指数（radical exponent） ， 叫做被开方数（radicand ） 当 是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示正的次方根与负的次方根可以合并成（ 0 ） 由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。注意：当是奇数时，当是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：，精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

17、- - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） • ；（2） ；（3） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数（exponential function） ，其中 x 是自变量，函数的定义域为 r 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a

18、1 0a1 图象特征函数性质函数图象都在y 轴右侧函数的定义域为（0，）图象关于原点和y 轴不对称非奇非偶函数向 y 轴正负方向无限延伸函数的值域为r 函数图象都过定点（1，0）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 （三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数2、幂函数性质归纳（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1， 1） ；（2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；（3） 时，幂函数的图象在区间上是减函数在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于 时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数