B-知识讲解-直线与双曲线的位置关系(理)

1、直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】双曲线双曲线的定义双曲线的几何直线与双曲线的位双曲线的综合与标准方程性质置关系问题双曲线离心率双曲线的弦问题及渐近线问题【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内， 到两个定点F1 、 F2 的距离之差的绝对值等于常数2a（ a 大于 0 且 2aF1 F2 ）的动点 P 的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1 、

2、 F2 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.双曲线的标准方程：焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程x2y2a2b21(a0, b0)说明：焦点是F 1(-c， 0)、 F2(c， 0)，其中 c2=a2-b2焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程y2x2a2b2 1(a 0,b 0)说明：焦点是F 1(0， -c)、 F2(0， c)，其中 c2=a2-b2要点诠释： 求双曲线的标准方程应从“定形 ”、“定式 ”和 “定值 ”三个方面去思考. “定形 ”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式 ”根据 “形 ”设双曲线方程的具体形式； “定量 ”是指用定义法

3、或待定系数法确定a,b 的值 .要点二、双曲线的几何性质标准方程x2y21(a 0, by2x21( a 0, b 0)a2b20)b2a2图形焦点F1 ( c,0) ， F2 (c,0)F1 (0,c) ， F2 (0, c)焦距| F1F2 | 2c (ca2b2 )| F1F2 | 2c (ca2b2 )范围 x x a或 xa ， y R y y a或ya ， x R对称关于 x 轴、 y 轴和原点对称性性质顶点( a,0)(0,a)轴实轴长 = 2a ，虚轴长 = 2b离心ec ( e 1)率a渐近ybyaxx线方程ab要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程

4、 ykx m 与双曲线的方程x2y21(a 0, b 0) 联立成方程组，消元转化为关于xa2b2或 y 的一元二次方程，其判别式为.(b2a2 k 2 ) x22a 2mkxa2 m2a2b20若 b2a2 k20, 即 kb ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；a若 b2a2 k20, 即 kb ，a 0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点； 0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点； 0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线 ykx m 交双曲线 x2y21 (a 0, b 0) 于点 P1 ( x1 , y1 ), P2 (

5、x2 , y2 ), 两点，则a2b2|PP12|(x1 x2 ) 2( y1 y2 )2=( x1 x2 ) 2 1 ( y1y2 ) 2 = 1 k2 | x x|x1x212同理可得112|1k 2 | y1 y2 | (k 0)| PP这里 | x1x2 |, | y1y2|, 的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：| x1x2 |( x1x2 ) 24x1 x2| y1y2 |( y1y2 )24y1 y2双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理 ”或 “点差法 ”求解 .在双曲线 x2y21 (a 0, b 0) 中，以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率kb

6、2 x0 ；a2b2a2 y0涉及弦长的中点问题，常用 “点差法 ”设而不求， 将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c 之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：（ 1）利用定义转化（ 2）利用双曲线的几何

7、性质（3）转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例 1.设 F 1、 F2 是双曲线 x2y21 1(a>0， b>0)的两个焦点，点P 在双曲线上，若 PF1 PF20 ，且a2b2PF1 PF22ac ，其中 ca2b2，求双曲线的离心率【解析】由双曲线定义知，|PF 1| |PF2|2a，222， |PF1| |PF2| 2|PF 1| |PF·2| 4a又 |PF 1|2 |PF2|2 4c2， |PF 1| ·|PF 2|2b2，又 PF1 PF22ac ， 2ac 2b2， b2 c2 a2 ac， e2 e 1 0， e 15 ，2

8、15即双曲线的离心率为.2【总结升华】根据双曲线的定义，几何性质，找到几何量的关系是解决这类问题的关键。举一反三：【变式 1】求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆x2y21共焦点，且过点 (2，10 )的双曲线；1625x2y2(3 2 ， 2)的双曲线(2)与双曲线1 有公共焦点，且过点164【答案】 (1) 椭圆 x2y21的焦点为 (0， ±3)，1625所求双曲线方程设为：y2x21 ，a29 a2又点 ( 2， 10)在双曲线上， 10941 ，解得 a2 5 或 a2 18(舍去 ) a2a2所求双曲线方程为y2y21 .54x2y25 ，0)，(2)双曲线1 的焦点为 (

9、 ±2164设所求双曲线方程为：x2y21 ，a220 a2又点 (32 ， 2)在双曲线上， 184a21，解得 a2 12 或 30(舍去 )，a220x2y2所求双曲线方程为1.128【变式 2】设双曲线焦点在x 轴上，两条渐近线为y ±1x，则该双曲线的离心率为 ()2A 5B. 555C.D.24【答案】 C类型二：直线与双曲线的位置关系例 2 已知双曲线 x2y2=4，直线 l： y=k(x1) ，讨论直线与双曲线公共点个数 .【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组yk (x1)x 2y 2消去 y，

10、并依 x 聚项整理得：42222(1k )·x+2k xk4=025 ，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公k =0 即 k=±1 时，方程可化为2x=5 ，x=(1)当 12共点 (实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).k20时，即 k±1，此时有=4·(43k2)若 4 22 1)，(2)当 13k >0(k则 k23,1( 1,1)1,2 3，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.332223 ，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况 ).3k =0( k 1)，则 k=±(3)若 43(4)若 4

11、3k2<0 且 k2 1则 k2323，方程组无解，故直线与双曲线无交点.,4,3综上所述，当k=±1 或 k=±23 时，直线与双曲线有一个公共点；3当 k23 ,1( 1,1)1,2 3时，直线与双曲线有两个公共点；33当 k,2323 ,时，直线与双曲线无公共点 .33【总结升华】 本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，2学方法 分类讨论，而且是“双向讨论 ”，既要讨论首项系数1 k 是否为具体操作时， 运用了重要的数0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图 ”如图：举一反三：【变式 1】过原点的直线l 与双曲线x 2y 2=1 交于

12、两点，则直线l 的斜率取值范围是( )43A.3 ,3B.,33 ,2222C.3 ,3D.,33 ,3222【答案】 B【变式 2】直线 y=x+3 与曲线 1x·|x|+1y2=1 的交点个数是()x9A.0B.1C.2【答案】 D例 3.过点 P(7,5) 与双曲线 x2y21 有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。725【思路点拨】显然采用过 P 点的直线方程与双曲线方程x2y21联立的方法，但要注意直线斜率不存在的情况要725先判断。【解析】若直线的斜率不存在时，则x7，此时仅有一个交点(7,0)，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为y5k ( x7)

13、 则 ykx5k 7 ，x2(kx5k7) 21， 25x27(kx5 k7) 27 25，725(257k 2 ) x272kx(5 k7)(5k7) 2725 0，5 7当 k时，方程无解，不满足条件；75757 x1075 方程有一解，满足条件；当 k时， 27当 k 225时，令14k (5k7) 24(257k 2 )(5 k7) 21650 ，化简得： k 无解，所以不7满足条件；所以满足条件的直线有两条x7 和 y57x 10 。7【总结升华】 直线与双曲线有一个公共点时可能相切也可能相交，注意直线的特殊位置和所过的特殊点.举一反三：【变式】双曲线x2y21的右焦点到直线 x-y

14、-1=0 的距离为2,且 2a23c .a2b22(1) 求此双曲线的方程；(2) 设直线 y=kx+m(m 0)与双曲线交于不同两点 C、 D ，若点 A 坐标为 (0， -b)，且 |AC|=|AD| ，求实数 k取值范围。【答案】（1） x2y213（2）( ,51)(3,3)(51, )3333类型三：双曲线的弦例 4.（ 1）求直线 yx 1被双曲线 x2y21 截得的弦长；4（ 2）求过定点 (0,1)的直线被双曲线 x2y21截得的弦中点轨迹方程 .4【思路点拨】（ 1）题为直线与双曲线的弦长问题，可以考虑弦长公式，结合韦达定理进行求解。（ 2）题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问

15、题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.解：由x2y212( x1)240 得 3x22 x 5 0 （ * ）4得 4xyx1设方程（ * ）的解为 x , x，则有x1x22, x1x25得，1233d2 | x1x2 |2 ( x1x2 ) 24x1x224208 2 .933（ 2）方法一： 若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y kx 1 ，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为P(x, y) ，ykx122由y2得(4 k) x2kx5 0（*）x214设方程（ * ）的解为 x1 , x2，则4k 220(4k 2 )0 16k 280,| k |5，且

16、 x1x22k, x1 x25，4k 24k 2 x1( x1x2 )k1y2 )1x2 ) 142 ，24k2 , y( y1( x14 k22xk4k2y44k 2得 4x2y 2y 0( y4 或 y 0) .方法二： 设弦的两个端点坐标为A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，弦中点为 P( x, y) ，则4 x12y124得： 4( x1x2 )( x1x2 ) ( y1y2 )( y1y2 ) ，4 x22y224 y1y24( x1x2 ) ，即 y4x ，x1x2y1y2x y 1即 4 x2y2y0 （图象的一部分）【总结升华】（ 1）弦长公式21|AB |1

17、 k | x1x2 |1k2 | y1y2 | ；（ 2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：【变式1】垂直于直线 x2y30的直线 l被双曲线 x2y21 截得的弦长为45 ，求直线 l 的方程2053【答案】 y2x10【变式2】双曲线 x2y21 的一弦中点为（2， 1），则此弦所在的直线方程为（）A.y2x1B.y2x2C.y2 x3D.y2x3【答案】 C类型四：双曲线的综合问题例 5.已知点 M(2,0), N(2,0), 动点 P 满足条件|PM | |PN|=22 .记动点 P 的轨迹为 W.()求 W 的方程 ;( )若 A,B 是 W 上的不同两点 ,O 是坐

18、标原点 ,求 OA OB 的最小值 .【思路点拨】 ( )中，选好控制变量- 直线的斜率 k, 建立目标 OA OB 的函数是关键。【解析】 ()根据双曲线的定义可得x2y 21,( x2) .W 的方程为22( )设 A,B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),当 AB 与 x 轴不垂直时 ,设直线 AB 的方程为 ykx m ,与 W 的方程联立 ,消去 y 得 1k 2x22kmxm220,故 x1 x22km, x1x2m22,所以 1k2k 21OA OBx x2y y2x x2kxmkxm(1k2 ) x x2km( xx)m2111121121 k2m222222k mm22k224.k 2 11 k 2k 2 1k21又因为 x1 x20, 所以k210, 从而 OA OB2当 ABx 轴时 , x1x2 , y1y2 , 从而 OA OBx1 x2y1 y2x1 2y122综上 ,当 ABx 轴时 ,OA OB 取得最小值 2.【总结升华】 双曲线中的有关最值问题多考虑双