安徽省合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年高一下学期期末联考数学试卷

合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高一年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥五中命题教师：钱勇审题教师：费薇薇一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个正确答案，请把正确答案涂在答题卡上）1．“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设函数则（）A． B．3 C． D．3．我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔淡》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径．如图，已知扇形的面积为，扇形所在圆的半径为2，利用上述公式，计算该扇形弧长的近似值为（）A． B． C． D．4．已知，若，则（）A．1 B．2 C．3 D．45．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（）A． B． C． D．6．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为5，则它在区间上是（）A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值7．如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是上的一动点，则的最小值为（）A． B．2 C． D．8．在中，分别根据甲、乙、丙、丁四个条件判断三角形的形状，甲：；乙：；丙：；丁：．判断结果与其它三个不一样的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片不全为红色 B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色10．已知甲组数据为：1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为：1，3，5，7，9，则下列说法正确的是（）A．这两组数据的第80百分位数相等B．这两组数据的极差相等C．这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅仅乙组数据的均值不变D．甲组数据比乙组数据分散11．在中，点，，，分别是上的等分点，其中，，则（）A． B．C． D．三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．某乡镇有居民20000户，从中随机抽取200户调查是否安装宽带网线，调查结果如表所示，则该乡镇已安装宽带网线的居民大约有________户．网线动迁户原住户已安装6530未安装406513．若，，且，则的最小值为________．14．如图，在矩形中，已知，是的中点，将沿直线翻折成，连接．若当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥外接球的体积为，则________．四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（15分）已知，，，求：（1）的值；（2）与的夹角．16．（15分）已知函数．（1）求函数单调递增区间和最小正周期；（2）请选择①和②中的一个条件，补全下面的问题并求解，其中①有解；②恒成立．问题：若当时，关于的不等式________，求实数的取值范围．17．（15分）已知是一个三位正整数，若的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称为“三位递增数”（如135，256，345等）现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛．（1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来．（2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由．18．（15分）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，，，，平面平面．（1）若的中点为，求证：平面；（2）求二面角的正弦值．19．（17分）个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量；（2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量；（3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．合肥市普通高中六校联盟2023-2024学年第二学期期末联考高一年级数学试卷（参考答案）（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥五中命题教师：钱勇审题教师：费薇薇一、二选择题：题号：1234567891011答案：BDCACADCBDBCBD三、填空题：12．950013．614．四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（15分）【详解】由，得，则，而，，于是，所以显然，则，而，于是．所以与的夹角为16．（15分）【详解】（1）解：因为所以函数的最小正周期；因为函数的单调增区间为，所以，解得，所以函数的单调增区间为；（2）解：若选择①由题意可知，不等式有解，即；因为，所以，故当，即时，取得最大值，且最大值为，所以；若选择②由题意可知，不等式恒成立，即．因为，所以．故当，即时，取得最小值，且最小值为．所以．17．（15分）【详解】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”共有20个．分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456．（2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件，记“乙参加数学竞赛”为事件．则事件含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个．由古典概型计算公式，得，又与对立，所以，所以．故选取规则对甲、乙两名学生不公平．18．（15分）【详解】（1）设是中点，连接，，如下图所示：在中，为为中位线，所以：，，又因为：，，所以：，，所以：四边形为平行四边形，得：，，又因为：平面，平面，所以：平面．（2）如上右图，延长和交于点，连接．过点作，垂足为点，连接．因为：平面平面，平面平面，所以：平面，因为：，，，且，平面，所以：平面，所以：为所求二面角的平面角，在中，，得：，所以：，，所以：．19．（17分）【解析】（1）根据题意，结合维向量的定义，则两两垂直的4维信号向量可以为：，，，（2）假设存在14个两两垂直的14维信号向量，因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位