23内积空间与希尔伯特空间

1、.2.3内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道 n 维欧氏空间就是n 维线性赋范空间的“模型 ”，范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角 ，例如 为向量和的夹角时有 ： cos或者cos ，其中表示两个向量的数量积(或点积或内积 )，表示向量的模 于是便有了直交性 、直交投影以及向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构 ”通过在线性空间上定义内积，可得到内积空间 ，由内积可导出范数 ，若完备则为 Hilbert空间 内积空间定义 1.1设 U是数域 K 上的线性空间，若存在映射 ( , )：U UK ，使得x, y,

2、 zU ，K ，它满足以下内积公理：(1)( x, x)0 ； (x, x) 0x 0 ；正定性 (或非负性 )(2)( x, y)( y, x) ；共轭对称性(3)( xz, y)( x, y)( z, y) ，线性性则称在 U 上定义了内积( , ) ，称 ( x, y) 为 x 与 y 的内积 ， U 为 K 上的内积空间 (Inner productspaces ) 当 KR 时，称 U 为实内积空间；当 KC 时，称 U 为复内积空间称有限维的实内积空间为欧几里德(Euclid spaces )空间 ,即为欧氏空间 ；称有限维的复内积空间为酉(Unitaryspaces )空间 注

3、1： 关于复数 ： 设 zabiC ，那么za2b2oz ； zr (cosi sin) 其中为辐射角 、 rz ； z zz 2 ； zz ；对于 z1 , z2C ，有 z1 z2z1 z2 注 2 ：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性.专业专注.注3 ：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的， 第二变元是共轭线性的因为 ( x,y)(y, x)( y, x)( y, x)( x, y) ，所以有(x, yz)(x, y)(x, z) ，即对于第二变元是共轭线性的在实内积空间中 ，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为线性的 在n维欧氏空间 Rn中，,R n， 有

4、cos， 即cos下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立如果在内积1空间上定义范数x( x, x) 2 ，其中 xU ，通过 Schwarz 不等式可证明 U 为线性赋范空间 ，即1需验证(, ) 2 满足范数公理 引理 1.1Schwarz不等式设 U 为内积空间 ，x, yU 有 (x, y)xy 证明 当 x0 或者 y0时，显然结论成立 假设 x0 及 y 0，那么C 有(xy, xy)0即0(xy, xy)(x, x)(x, y )( y, x)( y, y)(x, x)( x, y)( y, y)(y, x)2令(x, y) ，则有 0(x, x)( x, y)，即( y,

5、y)( y, y)( x, y )22y2(x, x)( y, y)x，因此 ( x, y)xy讨论什么条件下？ Schwarz不等式中的 (x, y)xy成立 .专业专注. . .1验证(, )2满足范数公理 (1)正定性和 (2)齐次性容验证 ； (3) 三角不等式 ：x, yU 有2y, xy)(x, x y)( y, xy)x y(x(x, xy)( y, xy)xxyyxy( xy ) x y故 x yxy 1因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数 x( x, x) 2 导出的距离为1d (x, y)x y ( x y, x y) 2 例1.1在点列依范数收敛时，内

6、积 ( x, y) 是 x, y 的连续映射 即内积空间 U 中的点列 xn ， yn 依范数收敛 xnx0 ， yny0 ，那么有 (xn , yn )(x0 , y0 ) 证明因为当 n时 yny0 ，所以 yn 有界 ，即存在正实数 M0 ，使得 ynM ，那么(xn , yn )(x0 , y0 )( xn , yn )(x0 , yn )(x0, yn )(x0, y0 )(xn , yn )(x0 , yn )( x0 , yn )( x0 , y0 )(xnx0 , yn )( x0 , yny0 )xnx0ynx0yny0xnx0Mx0yny00因此二元函数F (x, y)(

7、x, y) 是连续函数 .专业专注.希尔伯特空间1定义 1.2设 U 是数域 K 上的内积空间，如果 U 按内积导出的范数x(x, x)2 成为Banach 空间 ，就称 U 为 Hilbert空间，简记为 H 空间 1注4：因为内积 ( x, y) 可导出范数x( x, x) 2 ，范数 x 可导出距离 d ( x, y)x y ，所以有内积空间线性赋范空间度量空间 其中称完备的线性赋范空间为Banach空间 ，完备的内积空间为Hilbert 空间 下面给出一些 Hilbert空间的例子 1、实内积空间 Rn 是 Hilbert空间 对于 x( x1, x2 , xn ),y ( y1 ,

8、y2 , yn )Rn ， n 维欧式空间 Rn 上的标准内积定义为( x, y) x1 y1x2 y2xn ynn1n1导出的范数为x (xi2 )2，距离为 d ( x, y)(xiyi2)2 i1i 12、复内积空间 C n 是 Hilbert空间 对于 x( x1, x2 , xn ),y ( y1 , y2 , yn )C n ， n 维酉空间 Cn上的内积定义为( x, y)x1 y1x2 y2xn ynn21n1导出的范数为x (2 ，距离为 d ( x, y)(xi2xi )yi )2 i1i13、复内积空间 l 2是 Hilbert空间 l 2 x| x( x1 , x2 ,

9、),2, xiC ， x, yl 2 ，定义内积为xii 1(x, y)x1 y1x2 y2xi yii 111由 Cauchy不 等 式 知 (x, y )xiyi(xi2(2，内积导出的范数为)2yi )2i1i1i12121x (xi)2，距离为 d( x, y)(xiyi)2i 1i 1.专业专注.4、复内积空间 L2 a,b 是 Hilbert空间 L2 a, bx(t) : a, bC| (L)| x(t ) |2 dt，x, yL2 a, b 定义内积为a,b( x, y) (L ) a,bx(t ) y(t)dt由荷尔德 (H?lder )公式知211( x, y)x(t) y

10、(t)dtx(t ) y(t ) dt(dt) 2 (2x(t)y(t) dt) 2a,ba,ba,ba,b11内积导出的范数为x (x(t) 2 dt ) 2，距离为 d (x, y)(x(t )y(t) 2 dt) 2 a,ba,b内积空间与线性赋范空间的关系对于一个内积空间而言，内积可诱导一个范数，即它也是一个线性赋范空间，那么内积空间中的内积与它作为线性赋范空间的范数的关系如何？定理 1.1极化恒等式内积空间中的内积与范数的关系式(1)在实内积空间中( x, y)1y( x4(2)在复内积空间中( x, y)1 ( xy42 2x y ) 2xy 2i xiy 2i xiy 2 ) 1

11、证明 (1)由于在实内积空间中范数x(x, x) 2，所以x y 2x y 2(x y, x y) ( x y, x y)( x, x)(x, y) ( y, x)( y, y) ( x, x) (x, y) ( y, x) ( y, y)2( x, y)2( y, x)4(x, y) 同理可证 (2) 复内积空间中的极化恒等式成立注 5 ：从上证明过程可知，对于任何内积空间有xy 2xy 24Re( x, y) ；对应的另一个结果可从下面的证明过程获得：.专业专注. . .x y 2x y 22 x 22 y 2 由于内积可诱导出范数，所以一个内积空间可自然而然的看成一个线性赋范空间，然而一

12、个线性赋范空间的范数却未必可由它的某个内积导出，什么情况下成立呢？定理 1.2内积空间的特征性质线性赋范空间 X 成为内积空间x, y X ，范数满足平行四边形公式x y 2x y 22 x 22 y 2 1证明 必要性因为 x(x, x)2 ，所以x y22( x y, x y) (x y, x y )x y( x, xy)( y, xy)( x, xy)( y, xy)( x, xy)( y, xy)( x, xy)( y, xy)( x,2 x)( y,2 y)2(x, x)2( y, y)2222 xy充分性首先定义内积 ，当 X 是实内积空间时 ，定义(x, y)1 ( x y22x

13、 y ) ；4当 X 是复内积空间时 ，定义( x, y)1 ( xy 2x y 2i x iy 2i x iy 2 ) 4下面仅验证实内积空间定义的内积满足正定性、共轭对称性及线性性，对于 X 是复内积空间时同理可证 (练习 )由于 (x, x)12xx2x2；根据( xx)，显然内积公理中的正定性成立4(x, y)1 ( x y 2x y 2 )1 ( y x 2y x 2 ) ( y, x)44可知内积公理中的对称性同样成立下面证明x, y, zX 及R 有(xy, z)(x, z)( y, z)， (x, z)(x, z) .专业专注.由平行四边形公式知：z ) ( y2z) ( y2

14、22( xz )( xz )2 xz2 yz ；222222z) ( y2z) ( y222(xz )( xz )2 xz2 yz 222222上述两式相减并除以 4得，22221221 ( xzxz ) 21 ( yzyz )( x y zx y z ) 24422422即 ( xy, z)2( x, z) 2( y, z ) ，特别地 ，取 x0 或 y0 得22( x, z)2( x, z) ， ( y, z)2( y, z) ，22于是( xy, z)( x, z)( y, z) 利用归纳法可证对于正整数n ， (nx, z)n( x, z) 成立 ，对于有理数 rp ，其中 p, q

15、N ，有qq(rx, z)(qrx , z)( px, z)p(x, z) ，于是得(,z)p( , )( ,)R ，存在有理数列 rn(n) ，rxqx zr x z 成立 因为对于实数所以有 rn xx ，利用范数的连续性知(rn x, z)(x, z) ，故(x, z) lim( rn x, z)lim rn (x, z)(x, z) nn注6 ：对于线性赋范空间而X 言，上述定理表明 ：如果 X 上的范数不满足平行四边形公式，那么 X 上不存在这样的内积，使得它导出的范数就是X 上的范数 例 1.2对于线性赋范空间l p x | x( x1 , x2 ,),xip, xiC ，其中 p

16、1，范数定i 111义为 x(xip(xip) pl p 为 Banach空间 ,) p ，距离为 d (x, y )yi，前面章节的结论表明i1i1l 2 为 Hilbert空间 证明当 p2 时， l p不成为内积空间 证明由上述定理知 ，只需验证当p2时， l p 不满足平行四边形公式令x(1,1,0,0,0, ) ， y(1,1,0,0,0,) ，.专业专注. . .11则 x, yl p ，且 x2 p ， y2 p 以及 x y2 ， xy2，于是2222222x y8 ， 2 x2 2 p2 2 p4 2 p ，x y2 y因此 x2xy22222当且仅当 p2 ，即当 p2 时

17、， l p 上不能定义内积 ( x, x) 使yxy1得 x( x, x) 2 例1.3对于连续函数空间空间Ca,b 而言 ，范数为 | x |max | x(t ) | ，导出的距离为t a,bd (x, y)| xy |max | x(t)y(t ) | 时， Ca,b 为 Banach 空间 证明 C a, b 不成为内积空间 t a,b证明令 x(t)1， y(t)ta，显然 xy1 ，而bax(t)y(t)ta ， ()y()1ta1ax ttbab于是有x y 2， x y1，从而得 ，225 ， 2 x22 y24 ，x yx y1因此平行四边形公式不成立，即在 Ca,b 上不能

18、定义内积(x, x) 使得 x(x, x)2 例1.4对 于 p 次 幂 可 积 函 数 空 间 Lp a, bx(t ) | x(t ) |p dt，范数定义为a,b11| x | (pdt)p， 导出的距离为d (x, y )(|y t() x t(pp，Lp , 空| x(t ) |) |dt)a b 为 Banach a,b a ,b间 证明当 p 2 时， Lp a,b 不成为内积空间 证明令 x(t)1 ， y(t )1t a, c) ，其中 cab ，于是有1t c,b2x(t)y(t)0t a, c) ， x(t)y(t)2ta, c) 2t c, b0tc, b则11111x

19、y(b a) p ， x yx y(2 pb a ) p2 p (b a) p 2故232222a) p ， x22p (ba) p224(bx2，xyyy可 见 当 p2 时 平 行 四 边 形 公 式 不 成 立 ， 即 在 Lp a, b 上 不 能 定 义 内 积 ( x, x) 使 得.专业专注.1x( x, x) 2 数学家简介大卫 ? 希尔伯特 （ David Hilbert， 1862年 1 月 23 日 1943 年 2 月 14 日）， 德国数学家，是 19 世纪和 20 世纪初最具影响力的数学家之一希尔伯特 1862 年出生于哥尼斯堡， 1943 年在德国哥廷根逝世 他因为发明和发展了大量