利用法向量求二面角的平面角教案人教课标版(精汇教案)

1、利用法向量求二面角的平面角授课教师：陈诚班级：高二（）班时间：2010-01-14【教学目标】、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关的简单问题。、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和空间想象能力。、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。【教学重点】 利用法向量计算二面角的大小。教教学难点】 求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。【课时安排】课时【教学过程】一、内容回顾求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面

2、内找棱的垂线，或是 找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。因 为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量 的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢？ 二、新课讲授如图，二面角为1-、记 li _Lcc/2 -L P,且li与I2相交

3、于 C, 11rlec-A, 12nB=B.、过B作BO _L1,连AO（下面说明/AOB即是二面角的平面角）7 li _Ll,BO _Lll /BOC.二 l _LOC,l Hi./J J.®AOC.l _ AOj.N AOB是二面角的平面角（一找、二证、三计算）、l _L®AOCffi® BOC,又,；过空间一点有且只有一个平面和已知直线垂直。二面AOC和面BOC重合。即AOBC四点共面，即有平面四边形AOBC内角和=3600.T T、在li , l2上分别取直线的方向向量 叫，出，事实上，由于线面垂直，两方向向量即是两平面的法向量。.ACB = ： n1,n

4、2 ,. ACB . AOB =1800= . AOB ： ni,n2 -1800.0 _ _ _ 0 ' ACB ：n1,n2 >-180 , ACB AOB =180 = . AOB，二，血.COS AOB =COS :二 n1,n2由分别可得TCOS AOB =COS : n,n2、总结。计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。即计算法向量的数量积。 可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值。注释：这里不能像解决线线角或线面角那样，对向量夹角的余弦值套上绝对值。因为前两种角都是在00 -900之间，所以前两种角的正（余）弦值一定是一个正数。而二面角的平面角在00

5、 -1800,所以余弦值有可能会是负值。正负的选取要通过对图形的观察得至|J。无论法向量的夹角余弦值求出来是正还是负，如果观察得到的二面角的平面角是 个锐角，则平面角的余弦值取正的。三、例题小 AABC是以/B为直角的直角三角形。SA-L平面ABC,SA= BC = 2, AB = 4,M、N分别是AB、BC的中点。求二面角 S-NM -A的余弦值。BA,BC为x、y轴建系，解：如图，以为原点,则(,)S SA_L 面 AMN.AS可作为平面AMN的一个法向量。二平面AMN一个法向量为 R = AS = (0,0, 2) T设平面SMN的一个法向量为n2 = (x, y,力n2 *sm=0=

6、(x, y,z) «(-2,0, -2) =02x -2z = 0n2 *SN =0= (x, y, z) *(-4,1,-2) =0= -4x y2z = 0令x=1,则 z = 1, y = 2.n2 =(1,2, 1)(0,0, 2) *(1,2,-1)COS ；四，门2 二一2>6二 2 2.6766可观察二面角的平面角是锐角，.COS1 =-66注释：引导学生总结用法向量求解二面角的平面角问题的一般步骤。建系表示相应点的坐标IT设平面的法向量分别为 n1,n2列方程求出法向量用数量积公式求法向量的余弦值根据图形判断锐角或钝角例、在直三棱柱 ABC ARC1 中，AB=

7、1, AC = AA=V3,/ABC=60°.(1)证明 AB _ AC.(2)求二面角A- AC -B的平面角的余弦值解:(1)(2)ABC 中，* =&，即,=W, sineC = 3d sin C sin B sin C sin 602.BAC =90O= AB - AC.如图建系，A(0,0,0), B(1,0,0), C(0, v3,0), A。，、.3)TAB是平面AA1c的一个法向量。.n1 =(1,0,0)设平面A1BC的法向量为n2=(x,y,z)n2 *A1B= (x,y, z) .(1,0,-、,3)= x 、,3z=0n2 *A1C= (x, y, z

8、) *(0, 3,-x3)= 3y- .3z-0令z=1,可得 n2 =(6,1,1)COSK"。0,0)”：3,1,1)J3 .五1”5、55'观察可知二面角A-AC -B的平面角为锐角，15二二面角A-A1c -B的平面角白余弦值 =5四、小结本节课主要学习了利用法向量求二面角的平面角的大小，并通过两个例题熟悉了利用法 向量求二面角大小的主要步骤。五、作业布置(，第题) 生活不是等待风暴过去，而是学会在雨中翩翩起舞 ,不要去考虑自己能够走多快，只要知道自己在不断努力向前就行，路对了，成功就不远了。放弃了，就不该后悔。失去了，就不该回忆。放下该放下，退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾，一点点的拥抱去疗愈受伤的心，一点点的休息去继续前行 ,少壮不努力，老大徒伤悲 ,每个人的人生都是不一样的，处同样的位置，也是有人哭，有人笑，有人沉默。穷人缺什么：表面缺资金，本质缺野心，脑子缺观念，机会缺了解，骨子缺勇气，改变缺行动，事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的头破血流的经验作为自己的经验，世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验 ,不要抱着过去不放，拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天