第8课时一元二次方程和应用

1、第8课时一元二次方程及应用【常考考点】考点一 一元二次方程的定义在整式方程中，只含有二个未知数，并且含未知数项的最高次数是2,这样的整式方程叫一元二 次方程，一元二次方程的标准形式是ax2 + bx+c=o(ao).跟踪练习：1. (2015-汉川市)下列方程是一元二次方程的是()ax - l=yb. (x+2) (x+1) =x c. 6x =5d. 2 1x h.x考点：一元二次方程的定义.专题：存在型.分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.解答：解：a、是二元二次方程，故本选项错误；b、原方程可化为：3x+2=0是一元一次方程，故本选项错误；c、符合一元二次方程的定义，故

2、本选项正确；d、是分式方程，故本选项错误.故选c.点评：本题考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式 方程叫一元二次方程.2. (2012*甘肃)方程(m+2) x,m|+3mx+l=0是关于x的一元二次方程,则()a. m=±2b m=2c. m= - 2d. n#±2考点：一元二次方程的定义.专题：压轴题.分析：本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：(1) 未知数的最高次数是2；(2) 二次项系数不为0.据此即可求解.解答：解：由一元二次方程的定义可得(|in|=2 ,解得：m二2.故选b.1昭2尹0点评：一元二次方程的一般

3、形式是：ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数且洋0)特别要注意妙0的条件.这是疋 做题过程中容易忽视的知识点.考点二一元二次方程的常用解法1. 直接开平方法：如果 x2 = a(a0),则 x = ±>/a,则 x=&, x2=2. 配方法：如果 x2+px+q=0 且 p一4q20,则(x+号)'=一q+(g)£x1 = _2+v_<1+®2' x2=t-寸-q+俄23. 公式法：方程 ax'+bx+c=0 且 b24ac0,贝ij x=4. 因式分解法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)。跟踪练习

4、：1. (2015辽宁抚顺)解方程(x + 3)2=2.分析：如果把x + 3看作一个字母y,就变成解方程y2=2t.解：(x + 3)2=2,x 4- 3 = ±v2 x + 3 = v2, ij£x + 3 = v2 ,x 1 = -3 +x 2 = -3 - y/2,2. (2015 酒泉)解方程x2 -3x + 2 = 0.分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解.解法一：x2 -3x + 2 = 0 , (x 2) (x1) =0,x 2 = 0, x1=0,. x =1，x2 =2解法二va=l, b=3, c = 2,.b2 -4ac =

5、 (-3)2 _4xx2 = >0,3±vrx =2.x =2, x2 =1考点三列一元二次方程解应用题列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、 找、设、列、解、答六步.跟踪练习：1. (2013内蒙古赤峰)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销 售，增加利润,尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元,商场平 均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？解:设每件衬衫应降价x元,则每件所获得的利润为(40 x)元，但每天可多销出2x件，每天可卖(2

6、0+2 x) 件，根据题意可列方程:(40-x)(20+2x)=1200 方程化简整理为:x2-30x+200=0解得:x=20x2=10答:若商场每天要盈利1200元，每件应降价10元或20元.2. (2015丹东)某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出，平均每月能售出600个.调 查表明:这种玩具售价每上涨1元，其销售量将减少10个，为了实现平均每月12000元的销售利润，这种 玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个？命题意图本例考查经营销售问题.解析设每玩具涨价x元，则售价为(40x)元，每一只玩具的利润为(40+x 30)元，销售的件数为(600- 10x)件,根据总

7、利润为12000元列出方程.思路探究i每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关，因而设上涨的价格为未知数较合适，用含 未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.解:设每件玩具涨价x元，根据题意可列方程：(40+x -30)(600-10x)=12000解之，得：x|=20,x2=30检验知x=20,x2=30均符合题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。考点四一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=o(ao)的根的判别式为b2-4ac.1. b24ac>0<一元二次方程ax2 + bx+c=o(ao)有两个不相等的实数根，贝

8、'j xi,2b±zb一 4ac= 2a ；2. b24ac=0o一元二次方程ax2 + bx+c=o(avo)有两个相等的实数根，即xi = x2 _ _b_i2a*3b2-4ac<0<一元二次方程ax2 + bx+c=o(ao)没有实数根；跟踪练习：1. (2015-河北，第12题2分)若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是()a. a<l b. a> 1 c. a<l d. a>l考点：根的判别式.分析：根据根的判别式得出b2- 4ac<0,代入求出不等式的解集即可得到答案.解答：解：关于x的方程x2+2

9、x+a=0不存在实数根，.b4ac=22 4xlxa<0,解得：a>l.故选b.2. (2015-辽宁省朝阳，第7题3分)下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是()7?70a、x - 8=0b. 2x_ - 4x+3=0 c. 9x +6x+l=0 d. 5x+2=3x考点：根的判别式.分析：分别计算四个方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断各方程根的情况.解答：解：a、x2 - 8=0,这里 a=l, b=0, c= - 8,aov a=b- 4ac二0 4xlx ( 8) =32>0,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；b、2x2 - 4x+3=0,这里 a=2

10、, b= - 4, c二3,二 b - 4ac= ( -4) -4x2x3= - 8<0,方程没有实数根，故本选项错误；c、9x2+6x+1=0,，这里 a=9, b=6, c=l,v a=b2 - 4ac=62 - 4x9xl=0,方程有两个相等的实数根，故本选项正确；d、5x+2=3x,3x2 - 5x - 2=0,这里 a=3, b= - 5, c= - 2,v a=b - 4ac= ( -5) 4x3x ( - 2) =49>0,方程有两个不相等的实数根，故本选项错误；故选c.考点五一元二次方程根与系数之间的关系b1. 若关于x的一元二次方程启+加+20(°&qu

11、ot;)有两根分别为xl、x2,则xl+x2= = ,x兀2 =a2. (简易形式)若关于x的一元二次方程，+以+9 = 0有两个根分别为xl、x2,则xl+x2=p,.跟踪练习:1. （2015*贵州省黔东南州，第5题4分）设xl, x2是一元二次方程x2 - 2x - 3=0的两根,则 xl2+x22二（）a. 6b.8 c.10 d 12考点：根与系数的关系.分析： 根据根与系数的关系得到xl+x2=2, xlx2=3,再变形x!2+x22得到（xl+x2） 2 - 2x1 *x2, 然后利用代入计算即可.解答： 解：一元二次方程x2 - 2x - 3=0的两根是xl、x2,°

12、xl+x2=2, xlx2=-3,：xl2+x22= （xl+x2） 2 - 2xlx2=22 - 2x （ -3） =10.故选c.2. （2015-内蒙古赤峰10, 3分）若关于x的一元二次方程x?（a+5） x+8a=0的两个实数根分别为2和 b,则 ab= 4.考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到(2+b-a+5l2b=8a解答： 解：关于x的一元二次方程通过解该方程组可以求得a、b的值.（a+5） x+8a=（）的两个实数根分别是2、b,由韦达定理，得2+b-a+52b=8a解得,(a=lb二 4/. ab= 1x4=4.故答案是：4.点评：本题考查了根与系数的关系.x

13、p x?是一元二次方程ax2+bx+c=0 （ao）的两根时，x,+x2=巴,axx2=，反过來也成立，即丄-（x|+x2），=x|x2.aaa二、例题精讲例1（2015-湖南张家界，第6题3分）若关于x的一元二次方程kx2 - 4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）a. 1 b. 0, 1 c. 1, 2d.1, 2, 3考点：根的判别式；一元二次方程的定义.分析：根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于（）列出关于k的不等式，求出不等式的解 集得到k的范围，即可确定出k的非负整数值.解答：解：根据题意得：=1612kn0,且舜0,则k的非负整数值为1.故选：a.点评：本题考查了一

14、元二次方程ax2+bx+c=0 （a/o, a, b, c为常数）的根的判别式二b?4ac.当 >0,方程有两个不相等的实数根；当=（）,方程有两个相等的实数根；当<（）,方程没有实数 根。例2（2015-葫芦岛）（第14题，3分）若一元二次方程（m1） x24x - 5=0没有实数根，则m的取值范围是mv 5 .考点：根的判別式；一元二次方程的定义分析： 据关于x的一元二次方程（m1） x24x5=0没有实数根，得出二16 - 4 （m - 1） x （-5） <0,从而求出m的取值范围.解答： 解：一元二次方程（m- 1） x2-4x-5=0没有实数根，aa=16-4 （

15、m- 1） x （ - 5） <0,且 m - 1h0,m< 5.故答案为：mv 5.例3（2015,广西柳州，17, 3分）若x=l是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为- 考点：一元二次方程的解.分析：将x=l代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值.解答：解：将x=l代入得：l+2+m二0,解得：m二3故答案为：3.例4（6分）（2015*广东东莞17, 6分）解方程：x2 - 3x+2=0.考点：解一元二次方程因式分解法.分析：把方程的左边利用十字相乘法因式分解为（x1） （x2）,再利用积为0的特点求解即可. 解答：解：tx23x+2二0,（x - 1）

16、（x - 2）二0,.-x - 1=0 或 x - 2=0, /.x1 = 1 , x2=2 -例5（2015,广西钦州，7, 3分）用配方法解方程f+10兀+ 9 = 0,配方后可得（）a. 0 + 5）2=16b.（兀+ 5）2=1c. 0+10）2=91d.（兀+10）2=109考点：解-元二次方程-配方法.专题：计算题.分析：方程移项，利用完全平方公式化简得到结果即可.解答： 解：方程x2+10x+9=0,整理得：x2+10x= - 9,配方得:x2+10x4-25=16,即（x+5） 2=16,故选a点评：此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.例6（2

17、015湖北武汉，20（1）, 4分）解方程：# + 4%-2 = 0；【答案】解：（1）方法一：由原方程，得匕+2）2二6 （2分）x + 2 二 土托，（3分）=-2 土寸（4 分）方法二：4 = 24,（1分） “ 屯回,©分） x = -2 土托.（4分）例7（4分）（2015-黔西南州）（第7题）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它 的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）a. x （x - 11） =180b.2x+2 （x - 11） =180 c. x （x+11） =180d.2x+2 （x+11） =180考点：由实际问题抽象出一元二次方

18、程.分析：根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可.解答：解：设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得:x （x+11） =180,故选c.例8（2015-甘南州第15题 6分）白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿 地面积,2014年达到82.8公顷.（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？考点：一元二次方程的应用.分析：（1）设每绿地面积的年平均增长率为x,就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求

19、出的年增长率就可以求出结论.解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x,根据意，得57.5 （1+x） 2=82.8解得：x|=0.2, x2= - 2.2 （不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8 （1+0.2） =99.36 万元答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷.点评：本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元 二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键.例9（2015-宁徳 第7题4分）一元二次方程2x2+3x+1=0的根的情况是（）a.有两个不相等的实数根b.有两个相等的实数根c. 没有实数根d.无法确定考

20、点：根的判别式.分析：先求出的值，再判断出其符号即可.解答： 解：j a=32 - 4x2xl = l>0,方程有两个不相等的实数根.故选b.点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=o （ao）的根与的关系是解答此题的关键.例10（2015酒泉第16题3分）关于x的方程kx2- 4x-?=0有实数根，则k的取值范围是kn6 .3考点：根的判别式；一元一次方程的解.分析：由于k的取值不确定，故应分k=0 （此时方程化简为一元一次方程）和kho （此时方程为二元一次 方程）两种情况进行解答.解答：解：当k二0时，-4x-?=0,解得x二丄，36当睜0时，方程kx2 -

21、 4x2=0是一元二次方程，3根据题意可得：=16-4kx （ -丄）>0,3解得kn6,心0,综上kn6,故答案为k>-6.例11. （2015-辽宁铁岭）（第15题，3分）已知关于x的方程2x+a=0有两个实数根，则实数a的取值范围是広1.考点：根的判别式.分析：由方程有两个实数根，得到根的判别式大于等于0,即可确定出a的范围.解答： 解：方程x2- 2x+a=0有两个实数根，a=4 - 4a>0,解得：a<l,故答案为：a<l点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程根的关系是解本题的关键.【当堂练习】一、选择题1若关于x的一元二次方程

22、也22兀1 = 0有两个不相等的实数根，则实数r的取值范围是（）a. k>- b. kvl 且 rho c knl 且 rho d &>一1 且 rho2下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）a. "+3=ob?+2x=0c. （x+l）2=0d. （x+3）（xl）=03对于任意实数k,关于兀的方程程兀2 2伙+1）兀-疋+ 2 1 = 0的根的情况为a.有两个相等的实数根c.有两个不相等的实数根b.没有实数根d.无法确定4下列方程屮是关于x的一元二次方程的是a. /+丄=0b. ax2 +z?x+c = ox2c.（兀一1）（兀+2） = 1d. 3x2 -

23、 2xy-5y2 = 05用配方法解方程x2-2x-5 = 0时，原方程应变形为a.（尢+1）2 =6b. （x + 2）2 =9 c. （x-1）2 =6d. （x-2）2 =96已知3是关于x的方程x2-5x + c = 0的一个根，则这个方程的另一个根是a. -2b.2c. 5d. 6二、填空题7某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的.利润达到250万元，则平均每月增长的百分率是_8若尸2是关于兀的方程兀2_兀_/+5 = o的一个根，则d的值为9 一元二次方程2无2 _ 3无+ 1 = 0的解为.10己知关于兀的一元二次方程x2bxb-= 0有两个相等的实数根，则的值是.三、解答

24、题11 解方稈：x2 -10x + 9 = 0.12某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米彳，施工队在绿化了 22000米？后，将每天的工 作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米彳？（2）该项绿化工程屮有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其屮修建两块相同的矩形绿 地，它们的面积之和为56米彳，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行 通道的宽度是多少米？【巩固提高】1下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）a. x2 -3x +1 = 0错误沬找到引用源。b. x1 +1 = 0错误!未

25、找到引用源。c. x1 -2兀+ 1 = 0d. x?+2兀+ 3 = 0错误味找到引用源。2若5r + 20<0错误!未找到引用源。，则关于x的一元二次方程午+4兀-£ = 0错误!未找到引用源。的根的情况是（）a.没有实数根c.有两个不相等的实数根b. 有两个相等的实数根d.无法判断3已知一元二次方程x2 - 4x + 3 = 0两根为心、x2 ,则x| x2=（）b.x=0c. xj =0, x2 =2”d. xj =0, x2=25已知关于x的方程兀$ +尬+。= 0有一个根是一丿，则ab的值为b. 0a. 一 1c1d. 26某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降

26、为81元.己知两次降价的百分率都为兀，那么x满足 的方程是（）a. 100（1+%）2 =81b. 100（1-x）2 = 81c. 100（l-x%）2 =81d. 100x2=817己知。是一元二次方程x2-x- =0较大的根，则下面对u的估计正确的是（）a. 0<avl b lva<l5c. 1.5<a<2d 2<a<38已知关于x的方程x2-kx-6 = 0的一个根为尸3,则实数k的值为（）a. 1 b. 1 c. 2 d 2二、填空题9方程3x = x2的解为10现有一块长socm>宽60on的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 w7的小

27、正方形，做成 一个底面积为1500c/z2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得.11若- 1是关于兀的一元二次方程x2+3x+w+ 1 =0的一个解，则m的值为12若一个一元二次方程的两个根分别是rtaac的两条直角边长，且s朋c=3,请写出一个符合题 意的一元二次方程13如果关于兀的方程x2-2x + m = 0 （加为常数）有两个相等实数根，那么加= _.14现定义运算"“，对于任意实数a、b,都有ab-a - 3a+b如：35=32 - 3x3+5,若/2二6, 则实数兀的值是三、解答题15已知加方程x2-x-2 = 0错误!未找到引用源。的一个实数根，求代数式伽2_加

28、）（加_2 + i）的值.m16商场某种筒品平均每天可销售30件，每件盈利50元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价 兀元.据此规律，请冋答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含才的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？17在“文化宜吕全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单 位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%, 2014 年全校学生人数比

29、2013年增加100人.（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总 量二人均阅读量x人数） 求2012年全校学生人均阅读量； 2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人 均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数 也是°,那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%,求。的值.18天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（

30、如图所示）:如耒人数超过巧人,每超、 过1人人均战養蔓用降低 2cju，但人均旅游憲用不 r&koo 元.y知乗心不超过处 人右旅游夷用为： 1000元某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元,请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？ 参考答案 为堂练习:11、方法一（配方法）：将方程错误!未找到引用源。变形为：错误!未找到引用源。1、d 2、c 3、c配方，错误!未找到引用源。4、c 5、c 6、b 7、25% 8、±7 9、x. =1,也=丄 10、2 一 2整理，得（兀一 5尸=16解得，错误!未找到引用源。方法二（求根公式法）：因为a=l, b=-10, c=9错误!未找到引用源。 由求根公式解得，错误!未找到引用源。方法三（因式分解法）：将方程x2-10x+ 9 = 0变形为：错误!未找到引用源。解得，错误!未找到引用源。12、解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米彳,根据题意得:46000-22000x46000- 22000m1. 5x解得：.r=2000, 经检验，尸2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米;（2）设人行道的宽度为兀米，根据题意得,（20 - 3x） （8-2x） =56解得：尸2或尸公（不合题意，舍去）.3答：人行道的宽