数学数值分析三次样条插值PPT课件

1、实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口都要求有连续的二阶导数。进、排气口都要求有连续的二阶导数。三次样条的产生和背景三次样条的产生和背景1.1.问题的产生问题的产生显然我们前面介绍的方法已不显然我们前面介绍的方法已不能解决这个问题。能解决这个问题。第1页/共40页2.2.样条的概念样条的概念(Spline)(Spline)样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有样条是工程设计中使用的一种绘图工具，它是富有弹性的细木条或细金属条。绘图员利用它把一些已弹性的细木条或细金属

2、条。绘图员利用它把一些已知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲知的点连接成一条光滑曲线称为样条曲线，样条曲线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），线在连接点处有连续的曲率（即连续的二阶导数），它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要它实际上是分段三次曲线拼接而成，在连接点上要求二阶导数连续。求二阶导数连续。第2页/共40页2.8.1 三次样条函数三次样条函数定义定义 给定区间给定区间a,b的一个划分的一个划分 a=x0 x1xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函数如果函数S(x)满足：满足：(1) S(xi )=yi (i=0,1,n);(2)在每个小区间在

3、每个小区间xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次数不超上是次数不超过过3的多项式的多项式;(3) 在每个内节点在每个内节点xi (i=1,2,.,n-1)上具有上具有二阶连续导数二阶连续导数, 则称则称 S(x) 为关于上述划分的一个为关于上述划分的一个三次多项式样条三次多项式样条 函数函数，简称，简称三次样条三次样条。第3页/共40页 S(x)在每个小区间在每个小区间xi , xi+1上是一个次数不超过上是一个次数不超过3的多项式的多项式, 因此需确定因此需确定四个待定常数四个待定常数, 一共有一共有n个小个小区间区间,故应故应确定确定4n个系数个系数, S(x)在在n-1个内节

4、点上个内节点上具有具有二阶连续导数，应满足条件二阶连续导数，应满足条件)1, 2 , 1()0()0()0()0()0()0( nixSxSxSxSxSxSiiiiii即有即有3n-3个连续条件，再加上个连续条件，再加上S(x) 满足的插值条件满足的插值条件n+1个，共计个，共计4n-2个，因此还需要个，因此还需要2个条件才能确定个条件才能确定S(x)，通常补充两个，通常补充两个边界条件边界条件( )处各一个处各一个nxx ,0第4页/共40页常用的三种边界条件常用的三种边界条件1 1（转角条件转角条件）已知两端的一阶导数值，即：已知两端的一阶导数值，即：nnfxSfxS )(,)(002 2

5、（弯矩条件弯矩条件）已知两端的二阶导数值，即：已知两端的二阶导数值，即：nnfxSfxS )(,)(003 3（周期条件周期条件）当当f(x)是以是以xn-x0为周期的周期函为周期的周期函数时，则要求数时，则要求S(x)也是周期函数，即也是周期函数，即)0()0()0()0()0()0(000 nnnxSxSxSxSxSxS周期样条周期样条0)()(0 nxSxS称为自然边界条件称为自然边界条件第5页/共40页2.8.2 三转角方程三转角方程用分段用分段埃尔米特插值埃尔米特插值，得到，得到S(x)在在 1, jjxx上上S(x)的表达式为的表达式为设设), 1 , 0()(nimxSii为参数

6、，这种通过为参数，这种通过确确定定mi 来求来求S(x)的方法叫的方法叫三转角法三转角法。12122211312321)()()()()(2)()(2)()( jjjjjjjjjjjjjjjjjjmhxxxxmhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxShj=xj+1-xjmi 在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，在力学上解释为细梁在节点截面处的转角，且与相邻节点的两个转角有关，故称为三转角方程。且与相邻节点的两个转角有关，故称为三转角方程。第6页/共40页对对S(x)求二阶导数得：求二阶导数得：)()2(6246426)(13112121jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhx

7、xxxS 于是于是)(624)0(121jjjjjjjjyyhmhmhxS 第7页/共40页同理可得同理可得S(x)在区间在区间xj-1 , xj上的二阶导数：上的二阶导数：)()2(6246426)jjjjjjjjjjjjjyyhxxxmhxxxmhxxxxS于是于是)(642)0(121111 jjjjjjjjyyhmhmhxS由条件由条件)1,.,1()0()0( njxSxSjj第8页/共40页可得可得)1,.,1()(31)11(21211211111 njhyyhyymhmhhmhjjjjjjjjjjjjj进一步简化为进一步简化为)1,.1(211 njg

8、mmmjjjjjj 其中：其中：jjjjjjjjjhhhhhh 1111, 11,3 jjjjjjjxxfxxfg )1, 2 , 1( nj第9页/共40页结合三种边界条件有如下三种情况结合三种边界条件有如下三种情况：1 1、已知已知,)(,)(00nnmxfmxf nnnnnnnnnfgggfgmmmm112201112211222212222 则方程组化为：则方程组化为：)1,.1(211 njgmmmjjjjjj 结合结合第10页/共40页如果是自然边界条件：如果是自然边界条件：00 ) )( () )( (nxSxS由由00 ) )( (xS可得可得00010102,32gfhxxf

9、mm 由由0 ) )( (nxS可得可得nnnnngxxfmm ,3211nnfxSfxS )(,)(002、已知已知nnnnnnngfhxxfmm 2,3211101010,32gxxfmm )1,.1(211 njgmmmjjjjjj 结合结合第11页/共40页 nnnnnnggggmmmm1101101111212212 得矩阵形式为：得矩阵形式为：第12页/共40页3、已知已知则有：则有：nmm 0,3,3)11( 21111100101110nnnnnnnxxfhxxfhmhhmhmh )0()0()0()0()0()0(000 nnnxSxSxSxSxSxS第13页/共40页nnn

10、nngmmm 211 100101, nnnnnhhhhhh nnnnnxxfxxfg,3110 进一步简化为进一步简化为其中：其中：)1,.1(211 njgmmmjjjjjj 结合结合可得：可得：第14页/共40页 nnnnnnnnggggmmmm1211211122112222 第15页/共40页12122211312321)()()()()(2)()(2)()( jjjjjjjjjjjjjjjjjjmhxxxxmhxxxxyhxxhxxyhxxhxxxS nnnnnnnnnfgggfgmmmm112201112211222212222 nnfxSfxS )(,)(. 200jjjjjj

11、gmmm 112 jjjjjjjjjhhhhhh 1111, 11,3 jjjjjjjxxfxxfg )1, 2 , 1( nj,)(,)(. 100nnmxfmxf nnnnngxxfmm ,321101010,32gxxfmm nnnnnnggggmmmm1101101111212212 )0()0()0()0()0()0(. 3000 nnnxSxSxSxSxSxS100101, nnnnnhhhhhh nnnnnxxfxxfg,3110 nnnnnnnnggggmmmm1211211122112222 第16页/共40页2.8.3 三弯矩方程三弯矩方程Mi来求来求S(x)的方法称为的方

12、法称为三弯矩法三弯矩法。),.,1 , 0()(niMxSii 为参数为参数,这种通过这种通过确定确定设设1.1.条件条件2.2.求解求解S(x)的思路的思路1)1)首先确定首先确定S(x)与二阶导数值的关系与二阶导数值的关系2 2）求出中间节点上的一阶导数值）求出中间节点上的一阶导数值Mi 在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与在力学上解释为细梁在节点截面处的弯矩，且与相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。相邻节点的两个弯矩有关，故称为三弯矩方程。第17页/共40页1)1)首先确定首先确定S(x)与二阶导数值的关系与二阶导数值的关系由于由于S(x)在区间在区间xj ,xj+1上是三次

13、多项式，上是三次多项式，jjjjjjhxxMhxxMxS 11)(对对S(x)积分两次并利用积分两次并利用S(xj)=yj 及及S(xj+1)=yj+1 , ,可定出积分常数，于是得可定出积分常数，于是得 在在xi , xi+1上是一次多项式上是一次多项式, 且可表示为且可表示为 )(xS 第18页/共40页) 1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(1211123131 njhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSjjjjjjjjjjjjjjjj下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导数值下面我们的任务是求出内部节点上的二阶导数值第19页/共40页2)2)求出内部节点上的一阶导数值求

14、出内部节点上的一阶导数值利用一阶导数连续的条件利用一阶导数连续的条件对对S(x)求导得求导得) 1, 1 , 0(62)(2)()(112121 njhMMhyyhxxMhxxMxSjjjjjjjjjjjj第20页/共40页由此可得由此可得jjjjjjjjhyyMhMhxS 1163) 0(类似地可求出类似地可求出S(x)在区间在区间xj-1,xj上的表达式，从而得上的表达式，从而得1111136) 0( jjjjjjjjhyyMhMhxS利用利用可得可得)0()0( jjxSxS)1,.,1(,211 njdMMMjjjjjj 第21页/共40页其中其中)1,.,1(,211 njdMMMj

15、jjjjj jjjjjjjjjhhhhhh 1111, 而而 )1, 2 , 1(,6,611111 njxxxfhhxxfxxfdjjjjjjjjjj第22页/共40页由公式由公式nnmxSmxS) )( (, ,) )( (001. 边界条件边界条件为为11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyymS xMMhhhyymS xMMh 得得第23页/共40页即即010122nnnMMdMMd 00100001011111()36()63nnnnnnnnnhhyym

16、S xMMhhhyymS xMMh 10100001166()()nnnnnnyyyydmdmhhhh 其其中中第24页/共40页0011111111212212nnnnnnMdMdMdMd 从中解出从中解出Mi (i=0,1,.,n) 得三次样条得三次样条S(x).010122nnnMMdMMd 112(1,2,1)iiiiiiMMMdin第25页/共40页110112222222211112222nnnnnnnnndMMMdMdMdM 从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n-1)得得 三次样条三次样条S(x)。112(1,2,1)iiiiiiMMMdin2、边界条件、边界条件为为nnMx

17、SMxS )(,)(00已知已知第26页/共40页3、周期函数、周期函数 M0 =Mn0010111011013663nnnnnnnhhyyhhyyMMMMhh ) )( () )( (000nxSxS11111(0)36(0)63iiiiiiiiiiiiiiiihhyyS xMMhhhyyS xMMh 第27页/共40页整理得整理得112nnnnnMMMd 其中其中01011101010116nnnnnonnnnnnhhhhhhyyyydhhhh 0010111011013663nnnnnnnhhyyhhyyMMMMhh 第28页/共40页1111222211112222nnnnnnnnMd

18、MdMdMd 从中解出从中解出Mi(i=1,2,.,n),得三次样条得三次样条S(x).112nnnnnMMMd 112(1,2,1)iiiiiiMMMdin第29页/共40页)1,.,1(,211 njdMMMjjjjjj jjjjjjjjjhhhhhh 1111, )1, 2 , 1(,6,611111 njxxxfhhxxfxxfdjjjjjjjjjj)1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(1211123131 njhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSjjjjjjjjjjjjjjjj第30页/共40页)1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(1211123131 njhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSjjjjjjjjjjjjjjjj)1, 2 , 1( njnnmxSmxS )(,)(. 100,211jjjjjjdMMM jjjjjjjjjhhhhhh 1111, 11111,6,6 jjjjjjjjjjxxxfhhxxfxxfd10100001166()()nnnnnnyyyydmdmhhhh 其其中中001111111