自适应信号处理(最小二乘快速横向滤波FTF)

1、4 快速横向滤波(FTF)自适应算法 FTF算法是由4个横向滤波器组合起来的一种自适应算法. 由于这4个滤波器都是用横向滤波算子描述的, 因此这些滤波器的参数更新可利用该算子的时间更新来实现, 并进而达到横向自适应滤波器参数更新的目的.1. 用矢量空间法描述用矢量空间法描述FTF算法中的算法中的4个横向滤波器个横向滤波器（1）最小二乘横向滤波器 设一 阶横向滤波器的权矢量为 时刻的输入信号矢量期望信号矢量Fast Transversal Filter (FTF)Adaptive Algorithm)(nMwMT21)(,),(),()(nwnwnwnMMwnT)(,),2(),1 ()(nxx

2、xnxT)(,),2(),1 ()(ndddnd 由已知的 来估计 , 这时, 横向滤波器的输出是 的最小二乘估计 , 即滤波方程为 (125)其中, 采用前加窗法时的数据矩阵 由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定: (126)定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵): (127)则式(126)可写成 (128)(nx)(nd)(nd)(nd)()()(1, 0nnnMMwXd )()()()()1(11, 0nznznnMMxxxX)()()(),()(T1, 011, 0T1, 0nnnnnMMMMdXXXw)()(),()(T1, 011, 01, 01, 0nnnnMMMMXX

3、XK)()()(1,0nnnMMdKw上式表明, 权矢量 是横向滤波算子 各行矢量与 的内积. 将式(128)代入式(125), 可得 (129)估计误差矢量为 (130)式中， 和 分别是数据子空间 的投影矩阵和正交投影矩阵。 利用单位现时矢量 , 可求出误差矢量 的当前分量: (131)（2）前向预测误差滤波器 最小二乘前向预测器是用 时刻以前相继的 个数据, 对该时刻的 做最小二乘估计, 即 (132)(nMw)(1,0nM K)(nd)()()()()()(1, 01, 01, 0nnnnnnMMMdPdKXd)()()|(1, 0nnnnMdPe)(1,0nM P)(1, 0nMP)

4、(1, 0nM X)(n )|(nne)()(),()|(),()|(1,0nnnnnnnneMdPe )(nMfnM)(nx)()()( , 1nnnMMfXx在最小二乘意义下, 预测系数(权系数)矢量的最佳解为引入横向滤波算子 (133) 考虑到数据子空间 的投影矩阵:因此得到 (134)式(134)表明, 用横向滤波算子 作用于数据矢量 , 便可求出最小二乘前向预测系数矢量 (即最佳权矢量). 最小二乘前向预测误差矢量为 (135) )()()(),()(T, 11, 1, 1nnnnnMMMxXXXfM)()(),()(T, 11, 1, 1, 1nnnnNMMMXXXK)(, 1nM

5、X)()(),()()(T, 11, 1, 1, 1, 1nnnnnMMMMMXXXXP)()()(, 1nnnMMxKf)()()( , 1nnnMxPx)(, 1nMK)(nx)(nMf)()()( )()|(, 1nnnnnnMxPxxef 其当前分量为 (136) 根据前向线性预测滤波器的输入输出关系, 上式还可表示为(137) 预测误差能量为 (138)（3）后向预测误差滤波器 最小二乘后向预测器, 是利用 时刻以后的 个相继数据 ,向后一步预测 即延时数据 . 根据上节分析, 的最小二乘后向预测矢量为 (139) 在最小二乘意义下, 后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为)()(),

6、()|(),()|(, 1nnnnnnnneMfxPef )()()()()()( )()|(T1nnnxknxnfnxnxnneMMkkffx)()(),()|(),|()(, 1nnnnnnnnMfxPxeeff)(nMb)(MnM)(,),1(nxMnx)(Mnx)(nzMx)(nzMx)()()( 1,0nnMnMMbXx)()()(),()(T1, 011, 01, 0nznnnnMMMMxXXXbM引入横向滤波算子 (140)考虑到子空间 的投影矩阵因此得到 (141) (142)式(141)表明, 用横向滤波算子 作用于延时数据矢量 ,便可求出最小二乘后向预测系数矢量 (即最佳权

7、矢量). 最小二乘后向预测误差矢量为 (143)其当前分量为 (144)()(),()(T1, 011, 01, 01, 0nnnnMMMMXXXK)(1,0nM X)()(),()()(T1, 011, 01, 01, 01, 0nnnnnMMMMMXXXXP)()()(1, 0nznnMMMxKb)()()( 1, 0nznMnMMxPx)(1, 0nMK)(nzNx)(nMb)()()|(1, 0nznnnMMxPeb)()(),()|(1,0nnnnneMNbxzP 误差能量为 (145)（4）增益滤波器 a) 什么是增益滤波器? 确切而言, 增益滤波器实际是关于角参量的滤波器. 现以

8、图9所示的一维数据空间为例予以说明. 设 时刻的数据子空间为 , 时刻的数据子空间为 , 两者之间的夹角为 , 角参量为 (146)()(),()(1, 0nznnnMMMbxPxz)(nMg1n) 1( nxn)(nx21cos)(n 若一维子空间 的投影矩阵为 , 单位现时矢量 在上投影为 , 令 (147) 很明显, 矢量 就是 对 的最小二乘估计. 如果把这种估计看成是 通过一个最小二乘滤波器的输出, 则 便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数), 因此,把该滤波器称为增益滤波器.图9 最小二乘增益滤波器的几何说明)(nx) 1( nx)(n )()(nn e)(ne)(n )

9、()()()(nnnnxxgP )( nx)(nxP)(n )(nx)()(nnx P)()()()(nnnnxxgP )()(nn xg)(nx)(n )(nx)(ngb)估计误差矢量与角参量 在上述情况下, 由 对 进行最小二乘估计的误差矢量为 (148)式中, 是对 的正交投影矩阵. 由角参量的定义可知, 的当前分量等于该时刻的角参量 (149)将式(148)代入上式, 得即 (150)(nx)(n )()()()()()(nnnnnnx xPPe)(nxP)( nx)(ne)()()(),()(1nnnnne xP)()(),()(),()()()(),()()()(),()(1nnn

10、nnnnnnnnnnnxgxgPx 21cos)()(1)(nxngn参见式:(3)(3),(3) (3)xxP由上式得到 (151)可以看出, 增益滤波器的增益 与 一样, 也是两个子空间 与 之间夹角的一种度量.c) 维情况 这时, 数据子空间为 , 相应的投影矩阵为 , 将一维的式(147)推广, 得 (152)式中, 称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量, 权矢量). 上式两边同乘以 , 可进一步得到 (153)其中, 是增益滤波器的横向滤波算子. 上式说明, 增益矢量可以通过 作用于单位现时矢量 来得到. 2sin)()(),()()(nnnnxngxg )(ng)(1n)(nx)1

11、(nxM)(1, 0nM X)(1,0nM P)()()()(1, 01, 0nnnnMM PgXM)(nMg)(11, 0nMX)()()(1, 0nnnM KgM)(1,0nM K)(nMg)(1,0nM K)(n 维时的角参量为 (154)式中, (155) M)()(1)()(),()(T1, 0nnnnnnMMMMgxP T) 1() 1()()(MnxnxnxnMx小结小结 由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量, 增益矢量)的计算公式: 最小二乘横向滤波器 前向预测误差滤波器 后向预测误差滤波器 增益滤波器 以上权矢量的时间更新, 皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.)

12、()()(1, 0nnnMMdKw)()()(, 1nnnMMxKf)()()(1, 0nznnMMMxKb)()()(1, 0nnnM KgMwM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到wM(n)由K0,M-1(n)作用于x(n)得到2. 横向滤波算子的时间更新横向滤波算子的时间更新(1)子空间 的横向滤波算子 的更新 设 是 (行) (列)数据矩阵, 则横向滤波算子定义为又设: 列矢量; 由 的 个列矢量张成的 维子空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 将 附加到 的最后一列, 构成的

13、 维新矩阵; 由 的 个列矢量张成的 维矢量空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 的横向滤波算子.,uUU,uKUnMT1,UUUKU参照式(127)u1nUUMMUPUUPU),(uUuU) 1( Mn,uU),(uU) 1(M) 1(MU,uP,uUU,uP,uUU,uK,uU 可以证明，横向滤波算子 具有以下性质:(a) (b)(c) ;(d)(e)(f) U,uKU,uU,uU,uKPKIuUKU,u),(T1M0MMU,uIUK11MU,uuK0T1M0UUU,uKPKUUUUUU,uPuuPu,PuKKKT1T11M0 UUUUUUu,PuuPu,PuKKKT1T11M0(2

14、)横向滤波算子的更新(a) 的时间更新关系式令于是有由 的 个列矢量张成的 维子空间为 设子空间 的投影矩阵为 ; 横向滤波算子为. 由 时刻投影矩阵 递推 时刻投影矩阵 的公式如下:)(1,0nM K)()(1, 0nnM uXU)(),(),(1, 0nnM XuU),(uU) 1(M) 1(M)(),(,1, 0nnuUM X)(),(1,0nnM XU,uP)(),1, 0(,nMuU KK) 1( n) 1(1, 0nMPn)(),1, 0(nMP1) 1()(T)1(11)1(1, 0),1, 0(nnMMnn00PP参见式:1T1(1)( )1nnnnUU,PP0 00 0上式两

15、边左乘 , 得到 (156)注意到: 上式右边分块矩阵的最后一列是列矢量 , 利用横向滤波算子 的性质(c), 有设 与分块矩阵其余部分相乘后得到的矩阵的最后一行为, 同时根据性质(a), 有 所以由式(3.11.32)得到横向滤波算子 的时间更新关系式为: (157)(),1, 0(nMK1) 1()()()(T) 1(11) 1(1, 0),1, 0(),1, 0(),1, 0(nnMMMMnnnn00PKPK)(n UuP1)(1)(1),1, 0(1)1(),1, 0(MMnMnn00 KK)(),1, 0(nMK) 1(Tny)()()(),1, 0(1, 0),1, 0(nnnMM

16、M KPK)(),1,0(nMK1) 1() 1()(T11,0),1,0(nnnMMMyKK0式中, yT(n-1)表示一个1n维矢量.同理可得横向滤波算子的时间更新关系式为: (158)3.FTF自适应算法中的时间更新自适应算法中的时间更新 FTF自适应算法的目的, 是要解决权矢量 的时间更新问题, 为此要涉及 , , 等一系列参量的更新.(1)横向滤波器横向滤波器 的更新的更新推导思路(a)利用横向滤波算子性质(e):式中, 取 , .1) 1() 1()(T1, 1), 1(nnnMMMbKK0式中, bT(n-1)表示一个1n维矢量.)(nMw)(nMg)(nM)|(nne)(nNw

17、UUUUUU,uPuuPu,PuKKKT1T11M0)(1, 0nM XU)(n u(b)其它有关公式:结论 由 时刻递推计算 时刻的权矢量的时间更新公式为 (159) 上式表明, 在由 递推计算 时, 还必须事先计算 , 和.(2)增益滤波器增益滤波器 的更新的更新推导思路推导思路(a)利用横向滤波算子性质(f):1) 1() 1()(T11, 0),1, 0(nnnMMMyKK0)()()(1, 0nnnM KgM)()(1)()(),()(T1,0nnnnnnMMMMgxP 1nn)()()|() 1()(nnnnennMMMgwwM) 1( nMw)(nMw)(nMg)(nM)|(nn

18、e)(nMg式中, 取 , , 于是有(b)再利用前向预测误差矢量的当前分量和误差能量表示式:同时注意到, 因则 阶增益滤波器的权矢量为并定义 UUUUUUu,PuuPu,PuKKKT1T11M0)(, 1nMXU )(nxU )(, 0nUuMX)()(),()|(),()|(, 1nnnnnnnneMfxPef )()(),()|(),|()(, 1nnnnnnnnMfxPxeeff)()()(1, 0nnnM KgM1M)()()(, 01nnnM KgM)(1nMg)()(nmnMm式中, 是 的前 个元素组成的矢量; 表示 的最后一个(即第 个)元素. 结论(a) 时刻的 阶增益滤波

19、器 的计算公式为: (160)可见, 计算 时需预先求出 时刻的 , 和 . (b)进一步由 求 时刻的 : (161a) 上式中的 和 可分别由式(160)求得. 该式说明, 一般情况下, 不等于 的前 个元素组成的矢量 . 利用下面将要得到的式(168), 可进一步导出下面的实用公式:(161b)(nMm)(1nMgM)(nm)(1nMg1Mn1M)(1nMg)(1)()|() 1(0)()()(1nnnnennmnnMffMMfgmgM)(1nMgn)(nMf)|(nnef)(nf)(1nMgn)(nMg)()()()(nnmnnMMbmgM)(nMm)(nm)(nMg)(1nMgM)(

20、nMm)()()1()()()(1nnnnmnnMMMMbmgM(3)前向预测误差滤波器前向预测误差滤波器 的更新的更新 的更新公式的更新公式推导思路推导思路(a)利用横向滤波算子性质(f):式中, 取 , . (b)其它有关公式: )(nMf)(nMf UUUUUUu,PuuPu,PuKKKT1T11M0)(, 1nMXU )(n u1) 1() 1()(T1, 1), 1(nnnMMMbKK0)()()(, 1nnnMMxKf)()(),()|(),()|(, 1nnnnnnnneMfxPef )()(),() 1(, 1nnnnMM P结论结论 前向预测系数矢量 的时间更新公式为: (1

21、62) 上式中, , 和 是通过第 次迭代后的已知参量, 欲得 , 还必须进一步解决 的计算问题. 问题: 是用 来预测 时的前向预测误差,即计算时需知道 , 而计算 时又要用到 ,如何解决这一问题? 前向预测的输出是 的预测值:预测误差为)(nMf) 1() 1()|() 1()(nnnnennMMMgfffM) 1( nMf) 1( nMg) 1( nM1n)(nMf)|(nnef)|(nnef)(nMf)(nx)|(nnef)(nMf)(nMf)|(nnef)(nx)()()( 1inxnanxNii)()()()( )()|(1inxnaixnxnxnneNiif写成矢量形式, 有 (

22、163)其中, 数据矢量预测系数矢量将式(162)代入式(163), 得到(164)其中, (165)由式(164)可解得 (166)由上式计算 可避免预先计算 .)() 1()()|(TnnnnnMffxxeMT)() 1() 1(MnxnxnMxT1)()()(nfnfnMMf) 1() 1() 1()|() 1|()|(TnnnnnennenneMMffgxMf) 1() 1()() 1|(TnnnxnneMffxM) 1|() 1()|(nnennnefMf)|(nnef)(nMf误差能量误差能量 的更新公式的更新公式 直接给出更新计算公式如下: (167)(4)后向预测误差滤波器后向

23、预测误差滤波器 的更新的更新后向预测系数矢量 的时间更新公式 (168) 由上式可看出, 为了由 计算 , 必须在第 次迭代中先算出 , 和 . 的时间更新公式的时间更新公式 (169)其中 (170)由上式计算 , 可避免与计算 出现的“交叉耦合”.)(nf) 1|()|() 1()(nnennennffff)(nMb)(nMb)()()|() 1()(nnnnennMMMgbbbM) 1( nMb)(nMbn)|(nneb)(nM)(nMg)|(nneb) 1|()()|(nnennnebMb) 1()()() 1|(TnnMnxnneMfbxM)|(nneb)(nMg 的时间更新公式的时间更新公式 (171)4.角参量的时间更新角参量的时间更新 与 的推导过程类似. 可分两步得到递推公式: 首先由 到 的更新, 其次再由到 的更新. 结论结论:由 (172)由 (173)或者 (174)(nb) 1|()|() 1()(nnennennbbbb)(nMg) 1( nM)(1nM)(1nM)(nM)() 1(1nnMM)() 1() 1()(1nnnnffMM)()(1nn