金迎迎-线性代数电子教案(2)ppt课件

1、3 向量组的秩向量组的秩向量组的最大无关向量组向量组的最大无关向量组向量组的秩向量组的秩请同窗们留意向量组的秩与矩阵的秩,以及向量组的最大无关向量组与矩阵的最高阶非零子式的亲密联络向量组的秩向量组的秩 (2) (2) 向量组向量组A A 中恣意中恣意 r +1 r +1 个向量假设存在个向量假设存在的话都线性相关，那么称的话都线性相关，那么称 A0 A0 是向量组是向量组 A A 的一个的一个最大无关向量组，简称最大无关组；最大无关组所含最大无关向量组，简称最大无关组；最大无关组所含向量个数向量个数 r r 称为向量组称为向量组 A A 的秩。的秩。 规定：只含零向量的向量组的秩为规定：只含零

2、向量的向量组的秩为 0 0 。 012:,rA 定义定义5 5 假设向量组假设向量组 A A中有中有r r 个个向量组成的向量组向量组成的向量组满足满足(1) (1) 向量组向量组A0 A0 线性无关；线性无关；向量组的最大无关组普通不是独一的。向量组的最大无关组普通不是独一的。如例如例 5 ， ,00022020135751421201,231312321 rrrrrraaa, 2),(321 aaaR,321线线性性相相关关知知aaa可见可见, 2),(),(),(313221 aaRaaRaaR而而.,;,;,321313221的的最最大大无无关关组组都都是是向向量量组组可可知知aaaa

3、aaaaa但向量组的秩不变。但向量组的秩不变。 定理定理4 4 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于列向量组的秩。等于列向量组的秩。 Dr 0 ,根据定理根据定理2，由，由Dr 0 知知Dr 所在的所在的 r 列线性无列线性无关；关； 又由又由 A 中一切中一切 r + 1阶子式均为零，知阶子式均为零，知 A 中恣意中恣意 r + 1个列向量都线性相关。个列向量都线性相关。 ,)(),(21rARaaaAm 设设证证并设并设 r 阶子式阶子式maaa,21注注:今后向量组今后向量组的秩也记作的秩也记作),(21maaaR 因此因此Dr 所在的所在的 r 列是列是

4、 A 的列向量组的一个最大的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于无关组，所以列向量组的秩等于 r 。 类似可得矩阵类似可得矩阵 A 的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于R(A)。矩阵的秩与向量组的秩的关系是矩阵的秩与向量组的秩的关系是: 命题命题:向量组向量组A 和它本人的最大无关组和它本人的最大无关组A0 是等价的。是等价的。 证证: 由于由于A0 组是组是 A 组的一个部分组，故组的一个部分组，故 A0 组组总能用总能用A 组线性表示；组线性表示； 即即A 组能由组能由A0 组线性表示。组线性表示。 所以所以A 组与组与A0 组等价。组等价。又对于又对于A 中任一向量中任一向

5、量,a由定理由定理5知，知，r + 1 个向量个向量aaaar,21线性相关，线性相关，raaa,21而而线性无关，线性无关，根据定理根据定理3(4) 知知araaa,21能能由由线性表示，线性表示，例例7 全体全体 n 维向量构成的向量组记作维向量构成的向量组记作R n , 求求R n 的一个最大无关组及的一个最大无关组及 R n 的秩。的秩。解解 在例在例 1 中，我们证明了中，我们证明了 n 维单位坐标向量构成维单位坐标向量构成 又根据定理又根据定理3的结论的结论(3)，知，知 R n 中的恣意中的恣意 n + 1 个个向量都线性相关，向量都线性相关， 因此向量组因此向量组E 是是 R

6、n 的一个最大无关组，且的一个最大无关组，且R n 的秩等于的秩等于 n 。 显然，显然， R n 任何任何 n 个线性无关的个线性无关的 n 维向量都是维向量都是 R n的最大无关组。的最大无关组。的向量组的向量组E :是线性无关的，是线性无关的，neee,21例例8设矩阵设矩阵,97963422644121121112 A求矩阵求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解解对对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。,00000310000

7、111041211 行变换行变换A而三个非零行向量的非零首元在而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，三列，故故 a1, a2, a4 为列向量组的一个最大无关组。为列向量组的一个最大无关组。 ,000100110111,421 行变换行变换aaa., 3),(421421线性无关线性无关故故aaaaaaR 知知R(A) = 3, 故列向量组的最大无关组含故列向量组的最大无关组含3个向量。个向量。这是由于这是由于,00000310000111041211 A思索思索:行向量行向量的最大无关的最大无关组怎样求组怎样求?线性表示，线性表示， ,00000310003011040101,5432

8、1 行行变变换换aaaaa.334,4215213aaaaaaa 即得即得.97963422644121121112 A请请参参看看42153,aaaaa用用为为把把把把 A 再变成行最简形矩阵。再变成行最简形矩阵。Ex.3,340632026253201 A设设求求A 的列向量组的一个最大无关组及的列向量组的一个最大无关组及A 的其他列向量的其他列向量用它们线性表示的表达式。用它们线性表示的表达式。解解对对A 施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。,010002011050201 行变换行变换A, 3)( AR知知独一独一 ) 。且有：。且有：.25;2215213

9、aaaaaa 421,aaa故故为为A 的列向量组的一个最大无关组的列向量组的一个最大无关组 ( 不不 定理定理5 设向量组设向量组B 能由向量组能由向量组A 线性表示，那么线性表示，那么向量组向量组B 的秩不大于向量组的秩不大于向量组A 的秩。的秩。 要证要证 r s 。 因因B 组能由组能由A 组线性表示，组线性表示，A 组与组与A0 组等价，组等价，B 组与组与B0 组等价，故组等价，故B0 组能由组能由A0 组线性表示，组线性表示， 即存在系数矩阵即存在系数矩阵Ksr = (kij) 使使 srsrsrkkkkaaabbb11112121),(),(证证 设向量组设向量组B 的一个最大

10、无关组是的一个最大无关组是B0:;,21rbbb向量组向量组A 的一个最大无关组是的一个最大无关组是A0:;,21saaa假设假设 r s, 那么方程组那么方程组01 rrsxxK有非零解因有非零解因R(K) s s 不能成立，所以不能成立，所以 r s.从而方程组从而方程组即即 推论推论1 等价的向量组的秩相等。等价的向量组的秩相等。 证证 ,因等价的向量组能相互线性表示，再由定因等价的向量组能相互线性表示，再由定理理5易得易得 .推论推论2 设设).(),(min()(,BRARCRBACnssmnm 则则证证 设矩阵设矩阵C 和和A 用其列向量表示为用其列向量表示为,)(),(),(21

11、21nsijsnbBaaaAcccC 而而,),(),(11112121 snsnsnbbbbaaaccc由由知矩阵知矩阵C 的列向量组能由的列向量组能由A 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示，因此因此R(C) R(A)。,TTTABC 因因由上段证明知由上段证明知),()(TTBRCR ).(),(min()(BRARCR 所以所以 推论推论3最大无关组等价定义最大无关组等价定义 设向量组设向量组B 是向量组是向量组A 的部分组，假设向量组的部分组，假设向量组B 线性无关，且向量组线性无关，且向量组A 能由向量组能由向量组B 线性表示，线性表示，那么向量组那么向量组B 是向量组是向量组A

12、 的一个最大无关组。的一个最大无关组。 证证 设向量组设向量组B 含含 r 个向量，那么它的秩为个向量，那么它的秩为 r ，因因A 组能由组能由B 组线性表示，故组线性表示，故A 的秩的秩 r ，从而，从而A 组中恣意组中恣意 r + 1个向量线性相关。所以向量组个向量线性相关。所以向量组B 满满足定义足定义5中所规定的最大无关组的条件。中所规定的最大无关组的条件。例例9 设向量组设向量组B 能由向量组能由向量组A 线性表示，且它线性表示，且它们的秩相等，证明向量组们的秩相等，证明向量组A 与向量组与向量组B 等价。等价。因因B 组能由组能由A 组线性表示，故组线性表示，故 B0 组能由组能由

13、A0 组线性组线性表示表示. 证一证一 只需证明向量组只需证明向量组A 能由向量组能由向量组B 线性表示。线性表示。 设两个向量组的秩都为设两个向量组的秩都为 r ，并设，并设A 和和B 的最大无的最大无关组依次为关组依次为;,:210saaaA;,:210rbbbB和和即即A0 组能由组能由B0 组线性表示，从而组线性表示，从而A 组能由组能由B 组组线性表示。线性表示。即有即有 r 阶方阵阶方阵Kr , .,2121rrrKaaabbb 使使因因B0 组线性无关，组线性无关， ,21rbbbRr 故故根据定理根据定理 5 推论推论2， ,21rbbbRKRrr 有有但但R(Kr) r ,

14、因此因此R(Kr) = r . 于是矩阵于是矩阵Kr 可逆，可逆， .,12121 rrrKbbbaaa并并有有 设向量组设向量组A 和和B 的秩都为的秩都为 r ， 因因B 组能由组能由A组线性表示，故组线性表示，故A 组和组和B 组合并而组合并而成的向量组成的向量组(A ,B)能由能由A 组线性表示。组线性表示。 而而A 组是组是(A, B)组的部分，故组的部分，故A 组总能由组总能由(A, B)组组线性表示，所以线性表示，所以(A, B)组与组与A 组等价，因此组等价，因此(A, B)组组的秩也为的秩也为 r 。 又因又因B 组的秩是组的秩是 r ，故，故B 组的最大无关组组的最大无关组

15、B0 含含有有 r 个向量，因此个向量，因此B0 组也是组也是(A, B)组的最大无关组，组的最大无关组，从而从而(A, B)组与组与B0 组等价。组等价。 由由A组与组与(A, B)组等价，组等价， (A, B)组与组与B0 组等价，组等价，B0 组与组与B 组等价，推知组等价，推知A 组与组与B 组等价。组等价。证二证二 (证明证明A0 与与B0 都是向量组都是向量组(A, B) 的最大无关组的最大无关组)。例例10知知,59354645),(,13112032),(2121 bbaa证一：证一：即要证存在即要证存在2阶方阵阶方阵X、Y ，使，使.,2121等等价价与与向向量量组组证证明明向向量量组组bbaa .,21212121YbbaaXaabb 思索思索:显然显然,不能直接用求矩阵方程的方法求不能直接用求矩阵方程的方法求X,Y.但但略加变化后却可用矩阵方程的方法略加变化后却可用矩阵方程的方法.假设上式成立假设上式成立,那么有那么有: 54232354