2025-2026学年下学期广东省深圳实验学校高中部高一数学期中试卷（含答案）

深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知AB=2,3,A.15B.-2C.2D.32.已知复数z满足1−2iz=1A.55B.25C.23.如图是一个正方体的展开图,若将它还原为正方体,则()A.AB//CDB.EF//AB4.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2BC=2CC1=4，E，于分别为BC，CC1的中点,点P在矩形A.2B.2C.2D.25.如图，矩形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，且AB=8，AD=6，若MN=4A.8B.4C.16D.86.沙漏是古代的一种计时仪器，根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时。如图,沙漏可视为上下两个相同的圆锥构成的组合体,下方的容器中装有沙子,沙子堆积成一个圆台,若该沙漏高为6,沙子体积占该沙漏容积的1954,则沙子堆积成的圆台的高为(A.1B.32C.2D.47.如图,为了测量两个信号塔塔​M,N之间的距离,选取了同一水平面内的两个测量基点P与QM,N,P,Q在同一铅垂平面内).已知在点P处测得点M的仰角为15∘,点N的仰角为45∘,在点Q处测得点M的仰角为30∘A.2002+C.4006D.8.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为BB1，A1C1的中点，A.10B.15C.25D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=rcosθ+isinA.z2=z2B.zC.z⋅z=r2D.当r=1,θ=10.如图，在等边△ABC中，AB=3，点O在边BC上，且OC=2BO.过点O的直线分别交射线AB,A.AOB.cos<C.mD.1m+2n11.已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切,若圆台上下底面半径分别为r1和r2,母线长为l,球的表面积与体积分别为S1和V1,圆台的表面积与体积分别为S2和A.r1+C.S1S2=V1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量a,b,c均为单位向量，且a+b=c，则13.某同学用3个全等的小三角形拼成如图所示的等边△ABC,已知EF=3,cos∠ACF=1314.如图，棱长为5的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔立方体的表面积(含孔内各面)是_____.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题13分)在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1(1)求五面体A1EF(2)若点P在线段A1C1上，CP//平面BDFE，求线段16.(本小题15分)P是△ABC所在平面内一点,O,G分别为△ABC的外心和重心,(1)用AB，AC来表示AP和GP；(2)若△ABC的面积为3，求△PBC(3)若BC=26，求17.(本小题15分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B(1)求角A的值；(2)若△ABC的面积为43，BD=2DC18.(本小题17分)几何体E−ABCD是四棱锥，ΔABD为正三角形，BC=CD=2，∠BCD=120(1)求证:DM//平面BEC(2)线段EB上是否存在一点N，使得D,M,N,C四点共面？若不存在,请说明理由.19.(本小题17分)如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上一点，OA=2,B为半圆上任意一点,以AB(1)当OB⊥OA①求△OAC②若OC=mOA+nOB(2)若OC=mOA+nOB深圳实验学校高中部2025-2026学年度第二学期期中考试高一数学答案1234567891011121314CDBBCADBACABDABC2π2122215.(1)如图所示，将五面体A1EF−ABD拆成三棱锥E−ABD和四棱锥E−A1ADF，又由正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD,A1B1//AB，且E为A1B1的中点,所以E又由正方体ABCD−A1B1C1D1中,A1B1⊥所以E到平面ADD1A1的距离等于为12,即四棱锥E所以五面体A1EF−ABD(2)设BD∩AC=O，EF∩A1C1=又因为CP//平面BDFE,且CP⊂平面ACC1A1,所以CP//OO1,在矩形ACC1A1中，由AA1=1,AC=216.(1)由已知APG分别为△ABC重心，所以GP(2)由(1)GP=−512AB+512AC(3)O分别为△ABC的外心，设BC中点GP17.(1)因为3asin所以3sinAsinC+sinCcosA−sin所以cosA+3sinA−1=0即cosA−π3=12.因为0<A(2)由(1)得A=2π3，因为△ABC的面积为43所以bc=16.因为BD=2DC,所以=1当且仅当19c2=49b2,即c=18.(1)记F为AB的中点，连接DF,MF，如图1，因为F,M分别为AB,AE的中点，故MF//EB，所以MF//平面EBC又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA=60∘又△BCD为等腰三角形,∠BCD=120∘所以∠ABC=90∘所以DF//BC,又DF⊄平面EBC,BC所以DF//平面EBC,又DM∩MF=F,DM,MF⊂平面图2又因为DM⊂平面EBC,故DM//平面(2)延长CD,AB相交于点P，连接PM交BE于点N，连接CN，过点N作NQ//AE交AB于点如图2,因为DM//平面ECB,DM⊂平面PDM∩平面ECB所以DM//CN,此时D由(1)可知,BC=CD=2,∠故PNPM=CPDP=46=23，又因为NQ//AB，所以19.(1)当OB⊥OA时，由条件知OA所以sin∠OAB所以sin∠=①三角形OAC的面积为12②如图，以OA,OB所在直线分别为x轴，y作CM⊥OA交OA于点由①知sin∠OAC=1+23所以CM=AM所以OM=OA−AM=因为OC=mOA+n所以