初二数学寒假讲义 第4讲.矩形、菱形正方形 教师版

1、4矩形、菱形、正方形满分晋级阶梯四边形3级梯形四边形2级矩形、菱形、正方形四边形1级平行四边形寒假班 第三讲寒假班 第四讲寒假班 第五讲漫画释义 智力竞猜知识互联网题型切片题型切片（三个）对应题目题型目标矩形的定义、性质及判定例1；例2；演练1；演练2；菱形的定义、性质及判定例3；例4；演练3；例7；正方形的定义、性质及判定例5；例6；演练4；演练5编写思路本讲内容主要分为三个模块，由于模块较多，每个模块均分为基本概念及提高解答题两种题型进行练习；其中模块一主要为矩形性质判定及重要结论的应用，并结合三角形全等，通过矩形的判定进一步阐释矩形的特殊性；模块二主要为菱形性质判定及重要结论的应用并结合

2、三角形的性质，通过菱行的判定进一步阐释菱形的特殊性；模块三主要为正方形性质判定及重要结论的应用，通过正方形的判定进一步阐释正方形与平行四边形与菱形的关系；本讲的最后一部分是2013北大附中期中考试真题，作为一道探索题目，既让学生们巩固了菱形的判定定理，又活用菱形性质构造符合题意的图形，还考查了学生们对材料题目的把握，但难度不是很大，趣味性又很强，贴近教改思路模块一 矩形的定义、性质及判定知识导航定 义示 例 剖 析有一个角是直角的平行四边形叫做矩形性 质示 例 剖 析矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质对边平行且相等；四个角都是直角；对角线互相平分且相等；是中心对称图形、轴对称图形除平

3、行四边形性质外： =90°；AC=BD重要结论示 例 剖 析直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半 O是AC的中点，则 ，则 判 定 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形夯实基础【例1】 如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）A B C D 矩形的对角线、交于，如果的周长比 的周长大，则边的长是 如图，矩形中，对角线、交于，于，则_ 矩形ABCD中，AE平分BAD且交BC边于点E，若点E分BC的长为3和4两部分，则矩形ABCD的周长为_ _【解析】 ，为等边三角形，选

4、B ， ， 20或22 能力提升【例2】 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接 求证： 如果，试判断四边形的形状，并证明你 的结论【解析】 ，是的中点， ， 四边形是矩形，是的中点（利用全等），四边形是平行四边形又 四边形是矩形模块一 菱形的定义、性质及判定知识导航定 义示 例 剖 析有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性 质示 例 剖 析菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质对边平行且四边都相等；邻角互补，对角相等；对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角；是中心对称图形、轴对称图形 除平行四边形性质外： AB= BC=CD=AD；ACBD且AC、

5、BD分别为、的角平分线菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对角线乘积的一半（注：不能直接使用） 判 定 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形夯实基础【例3】 如图所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于 如图1所示，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A B C D 菱形中，、分别是、的中点，且， ，那么的度数为 已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_【解析】 ； 由菱形

6、的对角线互相垂直平分及勾股定理可知选A本题为易错题，关键字是：对折两次； ；或能力提升【例4】 如图，四边形ABCD中，AC平分交AB于E 求证：四边形AECD是菱形； 若点E是AB的中点，试判断ABC的形状，并说明理由【解析】 四边形为平行四边形又，平行四边形AECD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形） 由已知得， ABC为直角三角形模块三 正方形的定义、性质及判定知识导航定 义示 例 剖 析有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形性 质示 例 剖 析正方形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质对边平行且四边都相等；四个角都是直角；两条对角线互相垂直平分且相等，每条对

7、角线平分一组对角；是中心对称图形、轴对称图形除平行四边形性质外： AB= BC=CD=AD；=90°；AC=BD，ACBD，AC、BD分别为、的角平分线正方形轴对称性质（用时需证明）正方形ABCD中，P为对角线BD上任一点结论：AP=CP ADP CDP ABP CBP判 定 有一组邻边相等的矩形是正方形 有一个角是直角的菱形是正方形夯实基础【例5】 如图1，在正方形外侧作等边三角形，则的度数为_如图2，将一张边长为12的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使， 折痕为，则的长为（ ）A12 B 13 C 14 D15 【解析】 15°； B.能力提升【例6】 如图1，已知平行

8、四边形中，对角线、交于点，是延长线上的点，且是等边三角形 求证：四边形是菱形； 如图2，若，求证：四边形是正方形图1 图2【解析】 四边形是平行四边形又是等边三角形，即 平行四边形是菱形 是等边三角形， ，四边形是菱形四边形是正方形 真题赏析【例7】 操作与探究：邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为阶准菱形如图1，中，若，则为1阶准菱形判断与推理：邻边长分别为2和3的平行四边形是 阶准菱形（填空）；小明为了剪去一个菱形，进行了如下操

9、作：如图2，把ABCD沿折叠（点在上），使点落在边上的点，得到四边形请证明四边形是菱形操作、探究与计算：已知的邻边长分别为1，且是3阶准菱形，请画出及裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；已知的邻边长分别为，满足，则ABCD是 阶准菱形（填空）(2013北大附期中)【解析】 2；把沿折叠，点落在边上的点AB=BF，ABE=FBE又四边形是平行四边形，AEB=FBEABE=AEB，即AB=AEAE=BF为菱形11思维拓展训练（选讲）训练1. 如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，与交于，与交于，证明：四边形是矩形【解析】 四边形为平行四边形，、分别是、的平分线同理四边形是矩形训练2. 已知，如

10、图，平行四边形ABCD中，AC与BD交于O点， 求证：四边形ABCD为矩形； 作于E，于F，求证：BE= CF【解析】 提示：先证OA=OB推出AC=BD； 提示：证训练3. 已知，如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与点重合，得若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形？证明你的结论【解析】 当时，四边形是菱形，四边形是平行四边形中，四边形是菱形 训练4. 如图1，在正方形中，、分别为边、上的点，连接、，交点为 如图2，连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论； 将正方形沿线段、剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形若正方形的边长为，则图3中阴影部分的面积为_【

11、解析】 四边形是正方形 证明：四边形是正方形AEH、BFE、CGF和DHG这四个三角形两两全等四边形是菱形 知 四边形是正方形 1实战演练知识模块一 矩形的定义、性质及判定 课后演练演练1 如下左图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的 菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）A或 B或 C或 D或 如下右图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB， 若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则 【解析】 D； 60演练2 如图，已知，且，求证：四边形 是矩形 【解析】 在和中，四边形是平行四边形四边形是矩形 知识模块二 菱形的定义、性质及判定

12、课后演练演练3 已知，如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别相交于E 、F求证：四边形AFCE是菱形【解析】 EF垂直平分AC，EFAC，且AOCO 证得：AOECOF 证得：四边形AECF是平行四边形 由ACEF可知：四边形AECF是菱形 知识模块三 正方形的定义、性质及判定 课后演练演练4 正方形有 条对称轴在下列命题中，是真命题的是（）A两条对角线相等的四边形是矩形B两条对角线互相垂直的四边形是菱形C两条对角线互相平分的四边形是平行四边形D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【解析】 ； C演练5 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点

13、（可 与点B或C重合），分别过D、B作AP的垂线段，垂足分别是猜想的值，并对你的猜想加以证明【解析】 猜想：由可得 学会感恩一个天生失语的小女孩，从小和妈妈相依为命。在她们贫穷的家里，妈妈每天辛苦工作回来后给她带一块小小的年糕，是她最大的快乐。     有一天，下着很大的雨，已经过了晚饭时间了，妈妈却还没有回来。天，越来越黑，雨，越下越大，小女孩决定顺着妈妈每天回来的路自己去找妈妈。当她看见妈妈的时候，妈妈手里拿一块小小的年糕倒在路旁，已经永远的离开了她。     雨一直在下，小女孩也不知哭了多久。她知道妈妈再也不

14、会醒来，现在就只剩下她自己。妈妈的眼睛为什么不闭上呢？她是因为不放心她吗？她突然明白了自己该怎样做。于是擦干眼泪，决定用自己的语言来告诉妈妈她一定会好好地活着，让妈妈放心地走     小女孩就在雨中一遍一遍用手语做着这首感恩的心，泪水和雨水混在一起，从她小小的却写满坚强的脸上滑过 “感恩的心，感谢有你，伴我一生，让我有勇气做我自己。”她站在雨中不停歇地做着，一直到妈妈的眼睛终于闭上当流着泪听完这个故事，又反反复复的听着这首歌的时候，我突然想到了天下有多少这样的父母，在默默的为儿女付出一切。而天下又有多少这样的儿女，能够感恩于亲人这样一颗爱心！而做为一个人，生活给予我们的又不仅仅是来自于亲人的爱，那我们是否都怀有一颗感恩的心来面对？     从我们来到这个世界上的这一刻起，我们便拥有了太多！父母给了我们生命和健康！兄弟姐妹给了我们欢乐和亲情！老师给了我们知识和关爱！朋友给了我们友谊和信任！  &#