如何估计自我相关系数ρ

1、如何估計自我相關係數為了簡化討論,以下討論運用兩變數模型:Yt=B1+B2Xt+ut(0.1)并假設誤差項服從AR(1)模型:ut=ut-1+vt -11（0.2）其中，v符合一般OLS假設。處理自我相關問題時常用一般差分法,一般差分法的應用雖然直接明瞭,但因自我相關係數實際上鮮為人知,故一般而言難以實現。從而需要另想辦法估計出的值。=1：一階差分法由於介於0與±1之間，我們可假設為介於-1與1之間的任何數值，并利用一般差分方程式Yt-Yt-1=B11-+B2Xt-Xt-1+vt（1.1）。但應用哪一個值？就算是在-1與1之間，也有數百個值可供選擇。在應用計量經濟學中，一個被廣泛使用

2、的假設是=1；也就是假設誤差項為完全自我相關，這對某些經濟時間序列資料而言可能為真。 透過杜賓-華生或其他檢定以表明這種假設是否合理，若我們接受此一假設，即=1為真，一般差分方程式（1.1）可縮減至一階差分方程式（first difference equation）如下：Yt-Yt-1=B2Xt-Xt-1+ut-ut-1=B2Xt-Xt-1+vt或Yt=B2Xt+vt(1.2)由於式（1.2）中的誤差項沒有（一階）自我相關的問題，所以在估計式（1.2）時，唯一要做的就是形成被回歸項和回歸項的一階差分，並對這些一階差分做回歸。 如果自我相關係數很高（比方說大於0.8）或杜賓-華生d統計量很低，那

3、麼進行一階差分變換可能合適。一個粗略的經驗法則是：只要d<R2就能用一階差分形式。 一階差分模型式（1.2）的一個有趣特征是，它不含有截距項。因此，為了估計（1.2），必須使用計量套裝軟體中通過原點回歸的程式（即去掉截距項）。從杜賓-華生d統計量估計 若因與1不夠接近而不能使用一階差分變換，那麼可通過d統計量與之間的近似關係估計的值。 已知杜賓-華生d統計量的定義為：d=t=2t=nut-ut-12t=2t=nut2（2.1）展開得d=t=2t=nut2+t=2t=nut-12-2t=2t=nutut-1t=2t=nut2(2.2)因t=2t=nut2與t=2t=nut-12只有一次觀察

4、值之差，故可看作約為相等。因此，令：t=2t=nut2t=2t=nut-12式（2.2）便可寫為：d2(1-t=2t=nutut-1t=2t=nut2)(2.3)又已知為ut與ut-1之間的相關係數，則：=E（utut-1）var(ut-1)從而ut與ut-1的相關係數可以作為的一個估計量：=t=2t=nutut-1t=2t=nut2（2.4）利用式（2.4）可將式（2.3）表達成： d2（1-）（2.5）從上式可得1-d2（2.6）由於d統計量現在已可由大部分的計量套裝軟體算出，在樣本足夠大時，便可從式（2.6）中估計出來，并如一般差分方程式（1.1）那樣用它來對資料進行變換。但注意，式（2

5、.6）中給定的和d的關係對小樣本情形可能不成立。對於小樣本，泰爾（Theil.H）建議使用下述近似公式：=n21-d2+(k+1)2n2-(k+1)2其中，k為解釋變量的個數，當n時，1-d2。從OLS殘差ut估計的值 由於一階自我回歸模型式（0.2）中u無法直接觀察而得，而樣本殘差ut是ut的一致估計量，則我們可利用樣本殘差ut來執行下列回歸：ut=ut-1+vt（3.1）其中，是的估計式。儘管在小樣本時，是真正值的偏誤估計式，隨著樣本變大，偏誤將逐漸消失。因此，若樣本數夠大，我們可利用式（3.1）得到，并利用轉換式（1.1）對模型進行變換。柯克蘭-歐克特反復法 (The Cochrane-

6、Orcutt iterative procedure) 具體步驟為：（1） 利用OLS法估計模型：Yt=B1+B2Xt+ut,計算第一輪殘差ut;（2） 根據殘差ut計算的第一輪估計值：(1)=utut-1ut2（3） 將估計的(1)值帶入一般差分方程進行變換，并估計新的模型：Yt*=A+B1Xt*+vt（4） 再利用OLS法估計新模型，計算第二輪殘差vt和的第二輪估計值：(2)=vtvt-1vt2（5） 重複執行（3）、（4）兩步，直到的前後兩次估計值比較接近，即估計誤差小於給定的精度時為止：n+1-(n)<,此時n+1作為的近似估計值，并帶入一般差分方程進行變換。一般評論對用上述各種

7、方法修正自我相關問題要明確如下幾點：第一， 由於在大樣本情況下，即便存在自我相關問題，OLS估計量仍是一致的，所以無論是從杜賓-華生、從當期殘差對前期殘差的回歸、還是從柯克蘭-歐克特程式中估計出來，並沒有多大差別，因為這些方法也都是給定真實的一致估計值。第二， 上述方法基本上都是兩步法。在第一步得到未知的一個估計值，第二步用這個估計值變換變數去估計一般差分方程（實質上就是GLS）。但由於用的是而非真正的，所以所有這些估計方法都被稱為可行GLS（FGLS）或估計的GLS(EGLS)法。第三， 重要的是要指出，只要用EGLS法估計變換模型的參數，估計係數都不一定具有通常古典模型所具有的優良性質（比如BLUE），特別是在小樣本情況下。因此，可總結一個一般原則：只要我們用的是估計量而非真實值，所估計的OLS係數在大樣本下或漸近地具有通常的性質。同時，嚴格的講，通常的假設檢定程式也是漸近有效的。因此，在小樣本下，必須小心地解釋估計結果。第四， 在使用EGLS時，若不包括第一次觀測值，不僅估計量的數值，就連其有效性都要受到不利的影響，特別是當樣本