理论力学第七章PPT课件

1、1第1页/共74页2 71 复合运动的基本概念 72 点的速度合成定理 73 牵连运动为平动时 点的加速度合成定理 74 牵连运动为转动时 点的加速度合成定理 习题课第2页/共74页OABM例：一水平放置的园板绕过中心 O的铅直轴以角速度旋转,在园板上有一光滑直槽AB,槽内放一小球 M.若以园板为参考系,小球M将如何运动? 若以地面为参考系,小球M将如何运动?7-1复合运动的基本概念一. 问题的提出3第3页/共74页OABM二二. .基本概基本概念念2二个坐标系: 静坐标系(Oxyz):固接于地面的坐标系. 动坐标系(Oxyz):固接于相对静系运动的物体上的坐标系.xyzOxyz1、动点：所研

2、究的点 （运动着的点M）。4第4页/共74页5点的运动刚体的运动OABMxyzOxyz三、三种运动绝对运动：动点对静系的运动。相对运动：动点对动系的运动。 如图：小球在槽内的运动。牵连运动：动系相对于静系的运动。 如图：动系(Oxyz) 随圆盘一起的定轴转动。 第5页/共74页举例：动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮上固结在地面上 很遗憾，动点究竟是如何确定6第6页/共74页7相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平动绝对运动：直线第7页/共74页8 绝对运动中,对应动点的绝对速度 与绝对加速度 相对运动中,对应动点的相对速度 与相对加速度 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为动点的牵连速

3、度 与动点的牵连加速度aaevearvraav牵连点：任意瞬时，在动坐标系上与动点相重合的点，也就是设想将该点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时该点叫牵连点。不同时刻牵连点位置不同。evrvav速度 ：第8页/共74页9绝对加速度：相对加速度：牵连加速度：aaeara第9页/共74页10点的复合运动合成运动2、为什么学习点的复合运动？1、什么是点的复合运动？点的绝对运动可看作由点的相对运动与牵连运动的合成运动。已知分析未知分析刚体系的运动第10页/共74页11 xx tyy t绝对运动运动方程 xx tyy t相对运动运动方程cossinsincosOOxxxyyyxy动点：M 动系：

4、 O x y四、 绝对、相对和牵连运动之间的数学关系 我不太懂！由坐标变换关系有点M的绝对运动可看作由其相对运动与牵连运动的合成运动。?第11页/共74页12 一般选择主动件与从动件的连接点作为动点，它是对两个坐标系都有运动的点。 动点对动系要有相对运动，且相对运动轨迹是较简单的，已知的或者能直接看出的。一般的分析过程要求动点选择与动系的选择同时考虑。再看几个实例：五、动点动系的选择原则：第12页/共74页13动点：A（在圆盘上)动系：OA摆杆静系：机架绝对运动：曲线（圆周）相对运动：直线牵连运动：定轴转动动点：A1（在OA1 摆杆上)动系：圆盘静系：机架绝对运动：曲线（圆弧）相对运动：曲线牵

5、连运动：定轴转动第13页/共74页14动点： A(在AB杆上)动系： 偏心轮静系： 地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动动点： A（在偏心轮上）动系： AB杆静系： 地面绝对运动：圆周（红色虚线）相对运动：曲线（未知）牵连运动：平动第14页/共74页157点的速度合成定理 我们研究动点的绝对、相对和牵连三种速度之间的关系。1MMMM1MM当t t+t AB AB M M也可看成M M MMM 为绝对轨迹MM 为绝对位移M1M 为相对轨迹M1M 为相对位移t上式两边同除以后，0t时的极限，得取tMMtMMtMMttt 10100limlimlim第15页/共74页16即在任

6、一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。reavvvtMMtMMtMMttt 10100limlimlim注意： ve动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。 第16页/共74页17解：取OA杆上A点为动点， 摆杆O1B为动系，基座为静系。绝对速度va = r 方向 OA相对速度vr = ? 方向/O1B牵连速度ve = ? 方向O1B222221111222222221,sin,sinlrrlrrlrAOvAOvlrrvvlrreeae又

7、（ ）例1 曲柄摆杆机构 例7.2P125已知：OA= r , , OO1=l图示瞬时OAOO1 求：摆杆O1B角速度1由速度合成定理 va= vr+ ve 作出速度平行四边形 如图示。第17页/共74页18avovrveBva YXA分析得：例2 半径为 r 的半圆柱形凸轮顶杆机构中，已知凸轮向右平移的速度V，试求AB杆的速度。 例7.1P124 解1：取AB杆上的A点为动点，凸轮为动系。 进行运动分析，作出速度图。va sina = v cosava = v ctga绝对运动：直线相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平动reavvv第18页/共74页19BavO va vevrA解2：取凸

8、轮上圆心O为动点，AB杆为动系。进行运动分析，作出速度图。 va = vctg a绝对运动：直线相对运动：曲线（圆弧）牵连运动：直线平动xy分析得：va cos a = ve sin ava = v , ve = vareavvv第19页/共74页20由速度合成定理 va= vr+ ve ，作出速度平行四边形 如图示。解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向/AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA)(332 332300evetgvvABea例3 圆盘凸轮机构已知：OCe , , （匀角速度）

9、图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。eR3第20页/共74页21由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为： 选取动点，动系和静系。分析三种运动。 三种速度的分析。 根据速度合成定理作出速度平行四边形。 根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。reavvv注意：动点、动系和静系的选择原则 动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动 动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。第21页/共74页22 分析：相

10、接触的两个物体的接触点位置都随时间而变化，因此两物体的接触点都不宜选为动点，否则相对运动的分析就会很困难。这种情况下，需选择满足上述两条原则的非接触点为动点。例4已知: 凸轮半径r , 图示时杆OA靠在凸轮上。 求：杆OA的角速度。;30 ,v第22页/共74页23解: 取凸轮上C点为动点, 动系固结于OA杆上, 静系固结于基座。结合图示速度平行四边形。据速度合成定理,reavvvrvvrrve6333212 vvvae33tg（） ,2sinrrOCve又avrvev , 方向vva绝对运动: 直线运动, 绝对速度:方向未知 ,rvOA相对运动: 直线运动, 相对速度:牵连运动: 定轴转动,

11、 OCOCve方向待求未知 , , 牵连速度:第23页/共74页BAreOClAB例5半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度绕O轴转动,AB杆长l , A端置于凸轮上, B端用铰链支承.在图示瞬时AB杆处于水平位置. 试求该瞬时AB杆的角速度AB .第24页/共74页BAreOClAB解:取AB杆的A点为动点.建立静系Oxy和 动系OxyA的绝对运动以B为中心 l 为半径的园运动.A的相对运动沿凸轮O边缘的曲线运动.牵连运动动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.牵连点凸轮O上被AB杆的A端盖住的A点且随凸轮 O作角速度为的定轴转动.va = l AB xyxyvavevr(A)ve = rsin解得

12、:leABreavvv第25页/共74页BAreOClAB取凸轮O的中心C为动点.xyxyvave(C)建立静系Oxy和动系Axy(平动)C的绝对运动以O为中心 e为半 径的圆运动.C的相对运动以A为中心r为半径的圆运动.牵连运动动系随AB杆的A端作曲线平动.牵连点动系上被凸轮O上的C点盖住的C点.ve = l ABva = e vr = 0解得:leABreavvv第26页/共74页277-3牵连运动为平动时点 的加速度合成定理牵连运动为平动，故：Oevvkdtdzjdtdyidtdxv r而 设有一动点M按一定规律沿着固连于动系Oxyz 的曲线AB运动, 而曲线AB同时又随同动系Oxyz

13、相对静系Oxyz平动。kdtdzjdtdyidtdxvvOa 故：reavvv由速度合成定理运动分析：绝对，相对，牵连第27页/共74页280,0,0didjdkdtdtdt(其中为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）, , kji对t求导：222222kdtzdjdtydidtxddtvddtvdaOaakdtdzjdtdyidtdxvvOa牵连运动为平动时点的加速度合成定理 , 222222kdtzdjdtydidtxdaaadtvdreOO又reaaaa 第28页/共74页29即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。n

14、aaa nrrneenaaaaaaaa一般式可写为：对于一般的点的运动,采用自然轴系法表示:reaaaa 第29页/共74页30解：取杆上的A点为动点， 动系与凸轮固连。例6 已知：凸轮半径 求： =60o时, 顶杆AB的加速度。ooavR,相对运动：牵连运动：曲线（圆弧）直线平动绝对运动：直线第30页/共74页31绝对速度va = ? , 方向AB ；绝对加速度aa=?, 方向AB，待求。相对速度vr = ? , 方向CA; 相对加速度ar =? 方向CA , 方向沿CA指向C牵连速度ve=v0 , 方向 ; 牵连加速度 ae=a0 , 方向由速度合成定理,reavvv做出速度平行四边形,如

15、图示。003260sinsinvvvvoerRvarnr/2第31页/共74页32因牵连运动为平动，故有nreaaaaarRvRvRvarnr34/)32(/ 20202其中作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线上，得nreaaaacossin60sin/ )3460cos(sin/ )cos(200Rvaaaanrea整理得)38(33200RvaaaaAB注加速度矢量方程的投影 是等式两端的投影，与 静平衡方程的投影关系 不同n第32页/共74页33例7 OA=r,以匀角速度0转动，BC=DE，BD=CE=L。求图示位置BD杆的角速度和角加速度。第33页/共74页34解：取杆上的A点为动点

16、， 动系与BC固连。绝对速度va = or, 方向OA ；绝对加速度aa=?, 方向OA ，相对速度vr = ? , 方向 CB; , 方向沿OA指向O 相对加速度ar =? 方向牵连速度ve= ? , 方向BD ; 牵连加速度 ae=? , 方向由速度合成定理,reavvvRvaana/2曲线（圆弧）曲线平动绝对运动：相对运动：牵连运动：直线rvvvare0LrLvLveB0第34页/共74页35因牵连运动为平动，故有neernaaaaaaa600300300ynaaeaneara0aa300Laea00030sin30cos30sinneeaaaa上式沿轴y投影:raa20rane2322

17、2033LrLra第35页/共74页367-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理一. 定理推导 设一圆盘以匀角速度 绕定轴顺时针转动，盘上圆槽内有一点M以大小不变的速度 vr 沿槽作圆周运动，那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？第36页/共74页37Rvavrrr2, 常数有相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出:常数rreavRvvv选点M为动点，动系固结于圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动RaRvee2 ,（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以rrraavRvRRvRRva2)(2222方向指向圆心点第37页/共74页38 分析上式： 还多出一项2 vr 。

18、可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。那么他们之间的关系是什么呢？ 2 vr 又是怎样出现的，它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。earaaa, , /22RaRvaerrrrraavRvRRvRRva2)(2222第38页/共74页39 设有已知杆OA在图示平面内以匀 绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。三种运动分析？第39页/共74页40三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度 t 瞬时在位置t+t 瞬时在位置IIevrvreavvvreavv

19、vevrv 可以看出，经过t 时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。第40页/共74页41t 时间间隔内的速度变化分析相对速度：由作速度矢量三角形，在 矢量上截取 长度后， 分解为 和rrrvvv, ,rvrvrvrv rv rrrvvv即其中 - 在t内相对速度大小的改 变量，它与牵连转动无关。 - 在t内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变量，与牵连转动的 的大小有关 。 rv rv第41页/共74页42牵连速度： 由 作速度矢量三角形，在 矢量上截取等于 长后，将 分解为 和 ，eeevvv, ,evevevev ev eeevvv即其中: 表示t内由于牵连转动而引起的牵连

20、速度方向的改变量，与相对运动无关。 表示t内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度 有关。ev evrv第42页/共74页43加速度分析根据加速度定义tvvvvtvvareretaata)() (limlim00tvtvtvvvvrtetrreet000limlim)()(lim上式中各项的物理意义如下：tvtvtvtvrtrtetet limlim limlim0000第43页/共74页44第一项大小：eetetaOMtvtv200limlim 方向：t 0时， 0 , 其方向沿着直杆指向A点。 因此，第一项正是 t 瞬时动点的牵连加速度 。ea第三项大小： 为对应于 大

21、小改变rrrtadtvdtvlim0rv 方向：总是沿直杆。 因此，该项恰是瞬时动点的相对加速度。ra第44页/共74页45第二项大小：tOMOMtvvtvteetetlimlim lim000rrtvvtMM方向 , lim10该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：。方向 , lim lim00rrrtrtvvtvtv这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。第45页/共74页46所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为kreaaaaa当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式knrrnee

22、naaaaaaaaa转动的一边指向顺方向 , , 2rrkvva 由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用 表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。ka第46页/共74页47), sin(2:rrkv va大小方向：按右手法则确定。0), / ( 180 0krav时或当rkrvav2), ( 90时当 一般情况下 科氏加速度 的计算可以用矢积表示) (不垂直时与rvkarkva2第47页/共74页48解: 动点: 顶杆上A点； 动系: 凸轮 ; 静系: 地面。 绝对运动: 直线; 绝对速度: va=? 待求, 方向/AB; 相对运动: 曲线; 相对速度:

23、vr=? 方向n; 牵连运动: 定轴转动; 牵连速度: ve= r ， 方向OA， 。例8 已知：凸轮机构以匀 绕O轴转动，图示瞬时OA= r ，A点曲率半径 , 已知。求：该瞬时顶杆 AB的速度和加速度。二应用举例第48页/共74页49n rvarnr方向同相对加速度 ,cos/:2222ABaa/ , ?:方向绝对加速度nar方向 ?; , , 0 :2Oraaaneee方向指向轴心牵连加速度相反。指向与方向科氏加速度 ,/,cos/22:2nnrvark)(tg tgrvvveaABcos/ cos/rvver根据速度合成定理reavvv做出速度平行四边形第49页/共74页50由牵连运动

24、为转动时的加速度合成定理kneaaaaaarr作出加速度矢量图如图示向 n 轴投影：knreaaaaacoscoscos/ )sec2/seccos(22222rrraaaAB)sec2/sec1 (232rr第50页/共74页51DABC解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。asin211vak)/( 022vak 例9 矩形板ABCD以匀角速度 绕固定轴 z 转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为 和 ，计算点M1 、 M2的科氏加速度大小, 并图示方向。1v2v点M2 的科氏加速度第51页/共74页52解：rkva22rkrvav222

25、reavvv根据做出速度平行四边形)cos(sin),sin(cos11aarvvrvvarae1122cossin)sin(cossin)sin(rrAOvervark212cos)22sin(2方向：与 相同。ev例10 曲柄摆杆机构已知：O1Ar , , , 1; 取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。第52页/共74页BAreOClAB例11 半径为r偏心距为e的凸轮,以匀角速度绕O轴转动,AB杆长l , A端置于凸轮上, B端用铰链支承.在图示瞬时AB杆处于水平位置. 试求该瞬时AB杆的角加速度AB .53第53页/共74页BAreOClAB解:取AB杆

26、的A点为动点.建立静系Oxy和 动系OxyA的绝对运动以B为中心 l 为半径的圆运动.A的相对运动沿凸轮O边缘的曲线运动.牵连运动动系随凸轮O且角速度为的定轴转动.牵连点凸轮O上被AB杆的A端盖住的A点且随凸轮 O作角速度为的定轴转动.va = l AB xyxyvavevr(A)ve = rsin解得:leABAB vr= rreavvv54第54页/共74页BAreOClABaaaenaraanarn akaa = aan+ aa222lelaABanaa = l ABar = arn+ arae =aen+aearn = r2aen= r2sinae = 0ak = 2r2把(1)式向A

27、C方向投影得: - aancos - aasin = aensin + arn - ak 解得:sincoscos222lerlAB(1) kreaaaaa55第55页/共74页BAreOClAB取凸轮O的中心C为动点.建立静系Oxy和动系Axy(平动)C的绝对运动以O为中心 e为半 径的圆运动.C的相对运动以A为中心r为半径的圆运动.牵连运动动系随AB杆的A端作曲线平动.牵连点动系上被凸轮O上的C点盖住的C点.xyxyvave(C)ve = l ABva = e vr = 0解得:leABABreavvv56第56页/共74页BAreOClABaanaeaenarnaraa = aan+ a

28、aaan = e2aa = 0ae = aen+ aeae = l AB222lelaABenar = arn+ ararn = 0把(2)式向AC方向投影得: - aancos = - aencos - ae sin解得:sincos22leleAB(2) reaaaa57第57页/共74页58reavvvreaaaa一概念及公式 1. 一点、二系、三运动 点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成 2. 速度合成定理 3. 加速度合成定理 牵连运动为平动时 牵连运动为转动时)2( rkkreavaaaaa本章小结及习题第58页/共74页59二解题步骤1. 选择动点、动系、静系。2. 分析三

29、种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。3. 作速度分析, 画出速度平行四边形,求出有关未知量 (速度, 角速度）。4. 作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、 角加速度未知量。 三注意问题 1. 牵连速度及加速度是牵连点的速度及加速度。 2. 牵连转动时作加速度分析不要丢掉 ，正确分析和计算。 3. 加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程 的投影式不同。 4.非圆周运动时， ( 为曲率半径)ka22/ vanka第59页/共74页60请看动画例12 曲柄滑块机构解：动点:O1A上A点; 动系:固结于BCD上, 静系固结于机架上。 绝对运动：圆周运动; 相对运动：直线运动

30、; 牵连运动：平动; ，水平方向AOrva11 , BCvr /?,?ev已知： h; 图示瞬时 ; 求: 该瞬时 杆的2 。EOAO21/EO2 ,11rAO第60页/共74页61 根据 做出速度平行四边形reavvv再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，静系固结于机架上绝对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，)(sin1rvFa)(/ ?,2EOvFr)( ?,2EOvFesinsin1rvvae根据做出速度平行四边形FrFeFavvv211sinsinsinsinrrvvFaFesin/,222hFOFOveF又312122sinsinsinhrhrFOveF）

31、（第61页/共74页解:取轮心A为动点.动系固结BC（Bxy）OAMBCDexyxy绝对运动以O为中心e为半径的圆运动.相对运动平行于x轴的直线运动.牵连运动平行于 y 轴的直线平动.例13平底凸轮机构如图示.凸轮O的半径为R,偏心距OA = e,以角速度和角加速度 绕O转动,并带动平底从动杆 BCD 运动.试求该瞬时杆BCD的加速度.62第62页/共74页OAeaanae = aD把式向竖直方向投影得:有：e2 cos + e sin = aeaD = e2 cos + e sinaaaear因牵连运动为平动，故有eranaaaaaaaeana2eaaeanaaaasincos63第63页/

32、共74页64解: 取凸轮上C点为动点， 动系固结于OA杆上， 静系固结于地面上 绝对运动: 直线运动， 相对运动: 直线运动， 牵连运动: 定轴转动，aavvaa ,OAavrr/ ? ?,方向OCve方向 ?,已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上; 已知;求: 该瞬时OA杆的角速度和角加速度。av、 分析: 由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。例14 凸轮机构; ?2OOCane指向?,OCae方向OC第64页/共74页65sinsin/ ;, 0RvRvOCvvvvveaer）(做出速度平行四边形,知根据reavvv根据krneeaaaaaa做出加速度矢量图02 ,sin)sin(sin22rknevaRvRvRa投至 轴：cossincoseneaaaatgneaeaaa2222sinsinsin/sinRvRaRRvaOCae转向由上式符号决定，0则，0 则第65页/共74页66 特殊问题, 特点是相接触两个物体的接触点位置都随时间而变化. 此时, 这两个物体的接触点都不宜选为动点，应选择满足前述的选择原则的非接触点为动点。2