第二章基本数学方法

1、微电子器件及工艺CAD1国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD1第二章第二章 基本数学方法基本数学方法哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学( (威海威海) ) 微电子中心微电子中心王新胜王新胜微电子器件及工艺CAD2国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD22-1 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD3国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD3微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法2.1.1 微分方程数值解的引入微分方程数值解的引入 由上一章可知，描述半导体器件的基本方程基本上是一由上一章可知，描述半导体器件的基本方程基本上是一些微分

2、方程。对于某些十分特殊的微分方程，它的解可以用些微分方程。对于某些十分特殊的微分方程，它的解可以用封闭形式给出，即以初等函数，诸如多项式、指数函数、对封闭形式给出，即以初等函数，诸如多项式、指数函数、对数函数以及这些函数的不定积分的有限组合给出，这种解是数函数以及这些函数的不定积分的有限组合给出，这种解是微分方程的解的微分方程的解的解析解析表达式。但是，许多其它的微分方程，表达式。但是，许多其它的微分方程，并不能按照这种方式来求解，即它们的解不能以初等函数来并不能按照这种方式来求解，即它们的解不能以初等函数来表示。也就是说，要找出这类方程的解的解析表达式是极其表示。也就是说，要找出这类方程的解

3、的解析表达式是极其困难的，甚至是不可能的。在工程技术中，通常采用近似解困难的，甚至是不可能的。在工程技术中，通常采用近似解的方法来解决这一问题。的方法来解决这一问题。数值解法数值解法就是能够算出解在若干个就是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法，换句话说，数值解法就是求离散点上近似结果的通用方法，换句话说，数值解法就是求出微分方程所定义区域上某些离散点上函数的近似值。如果出微分方程所定义区域上某些离散点上函数的近似值。如果区域上的点取得足够密，就能很好地近似元微分方程的解。区域上的点取得足够密，就能很好地近似元微分方程的解。微电子器件及工艺CAD4国际微电子中心国际微电子中心微电子器件

4、及工艺CAD4 微分方程的数值解法有许多种，有限差分法是微分微分方程的数值解法有许多种，有限差分法是微分方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用方程数值解法的一种，是半导体器件数值分析中最常用的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普的方法。后面的章节中，我们还将介绍另一种应用更普遍的离散数值分析法遍的离散数值分析法-有限元法。有限元法。 2.1.1 微分方程数值解的引入微分方程数值解的引入微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD5国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD52.1.2 有限差分法有限差分法 1)1()!1(nnnhnfR拉格朗日

5、型的余项拉格朗日型的余项2.1.2.1 导数的有限差分近似导数的有限差分近似 考虑一个在点考虑一个在点x x附近能够解析的函数附近能够解析的函数f(x)，将将f(x)展展开为开为Taylor级数级数： n)n(n 2Rxf!nhxf! 2hxhfxfhxf 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD6国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD6 nnnRxfnhxfhxhfxfhxf)( 2! 21、 一阶导数的向前有限差分近似一阶导数的向前有限差分近似 xfhhExfhhEhEhxfhxfxfxfhxfhxhfxfhxfhxxhxx , 3 2max2)(2)

6、()(! 3! 2 由上式得由上式得其中其中E(h)为截断误差为截断误差 01微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD7国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD72、 一阶导数的向后有限差分近似一阶导数的向后有限差分近似 xfhhExfhhEhEhhxfxfxfxfhxfhxhfxfhxfxhxhxx , 3 2max2)(2)()(! 3! 2 nnnRxfnhxfhxhfxfhxf)( 2! 2微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD8国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD83、 一阶导数的中心有限差分近似一阶导数的

7、中心有限差分近似 xfhhEhEhhxfhxfxfxfhxfhxhfxfhxfxfhxfhxhfxfhxfhxhx ,222 3 2 3 2max6)()(2! 3! 2! 3! 2 上二式相减上二式相减 nnnRxfnhxfhxhfxfhxf)( 2! 2微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD9国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD94、 二阶导数的有限差分近似二阶导数的有限差分近似 xfhhEhEhhxfxfhxfxfxfhxfhxfhxhfxfhxfxfhxfhxfhxhfxfhxfhxhx4,2222 44 3 244 3 2max12)()(2

8、! 4! 3! 2! 4! 3! 2 上二式相加上二式相加 nnnRxfnhxfhxhfxfhxf)( 2! 2微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD10国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD10 )(2)(2)()(22 2hEhhxfxfhxfxfhEhhxfhxfxfhEhhxfxfxfhEhxfhxfxf 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD11国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD112.1.2.2 微分方程的有限差分法求解微分方程的有限差分法求解 npNNqdivgradad pgradqgradpq

9、DJngradqgradnqDJpppnnn pppnnndivJqUGtpdivJqUGtn11 有限差分法是近似求解微分方程边值问题最常用的方有限差分法是近似求解微分方程边值问题最常用的方法。所谓微分方程边值问题就是求在给定区域上满足给定法。所谓微分方程边值问题就是求在给定区域上满足给定边界条件的微分方程的解。描述半导体器件的基本方程，边界条件的微分方程的解。描述半导体器件的基本方程，就可归结为微分方程的边值问题就可归结为微分方程的边值问题。微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD12国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD12 常微分方程的边值问题又可

10、以分为下列三种类型。常微分方程的边值问题又可以分为下列三种类型。设有二阶常微分方程设有二阶常微分方程y(x)，定义区间为定义区间为a,b。 )x( f)x(y)x(qxy bxa (1) 第一边值条件第一边值条件1d)a(y 2d)b(y 其中其中q(x), f(x)为已知函数，为已知函数，d1, d2为已知数。为已知数。1d)a(y 2d)b(y (2) 第二边值条件第二边值条件11d)a(yh)a(y 22d)b(yh)b(y (3) 第三边值条件第三边值条件微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD13国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD13举例：二

11、阶常微分方程举例：二阶常微分方程2122d)L(y,d)0(yLx0BAydxyd 边界条件边界条件式中式中A，B为常数，为常数，d1，d2为已知数为已知数。Lx 0 首先把区间首先把区间 等分为等分为n段，共有段，共有n+1个离散点个离散点xl(l=0,1,2n)。第一边界条件第一边界条件微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法xxxll1 每个离散点称为网格点，相邻网各点的距每个离散点称为网格点，相邻网各点的距离离 称为网格距。称为网格距。l=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1x0=0 xn=Lx 微电子器件及工艺CAD14国际微电子中心国际微电子中心微电子器件

12、及工艺CAD14在各网格点上微分方程可写为：在各网格点上微分方程可写为：211)(2BAyxyyyllll210,dydyn由边界条件得由边界条件得用二阶导数有限差分近似用二阶导数有限差分近似 2 2hhxfxfhxfxf 221, 2 , 1nlBAydxydll22BAydxyd 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD15国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD15在在n-1个内网格点上，有差分方程个内网格点上，有差分方程微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法21221222321222123212012)()(21)()(22)()(22)()

13、(21xByxAyyynlxByxAyyynlxByxAyyylxByxAyyylnnnnnnnn 211)(2BAyxyyylllll=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1xn=0 xn=Lx 微电子器件及工艺CAD16国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD16代入边界条件代入边界条件22122212232322112212)(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(1dxByxAynlxByyxAynlxByyxAyldxByyxAlnnnnn 210,dydyn21221222321222123212012)()(21)()(22)()(22)()(2

14、1xByxAyyynlxByxAyyynlxByxAyyylxByxAyyylnnnnnnnn 在在n-1个内网格点上，有差分方程个内网格点上，有差分方程微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD17国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD172)()()()()(1001010122222121221 xAdxBxBxBdxByyyynn 写成矩阵形式写成矩阵形式22122212232322112212)(2)(1)(2)(2)(2)(2)(2)(1dxByxAynlxByyxAynlxByyxAyldxByyxAlnnnnn 微分方程的有限差分解法微分方程

15、的有限差分解法微电子器件及工艺CAD18国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD18如果边界条件为如果边界条件为21)(,)0(dLydy 21)(dxyyLynn 后有限差分近似边界条件，可以得到第后有限差分近似边界条件，可以得到第n n个方程。个方程。第二边界条件第二边界条件 则则n-1个内网格点上的差分方程中，个内网格点上的差分方程中，yn为未知数为未知数因此，有因此，有y1到到yn n个未知数，而有个未知数，而有n-1个方程。个方程。2)2122122321222123212012)()(21()(22)()(22)()(21xByxAyyynlxByxAyyynlxByxA

16、yyylxByxAyyylnnnnnnnn 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD19国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD192112)(dxyyLynn 中心有限差分近似边界中心有限差分近似边界 我们知道，一阶导数的向后有限差分的误差是和我们知道，一阶导数的向后有限差分的误差是和 成正比，而一阶导数的中心有限差分的误差是和成正比，而一阶导数的中心有限差分的误差是和 成正成正比的。如果在比的。如果在x=L处用中心有限差分近似一阶导数边界条处用中心有限差分近似一阶导数边界条件，则可以提高解的精度，减少误差。件，则可以提高解的精度，减少误差。x 2x 为了

17、能在为了能在x=x 处用中心有限差分近似，需要引进一处用中心有限差分近似，需要引进一个虚拟网格点个虚拟网格点x =x + ，其对应的函数值其对应的函数值y ,引入网格引入网格点点x 后，内网格点就有后，内网格点就有n个了，可以得到个了，可以得到n个方程，同时个方程，同时用中心有限差分近似用中心有限差分近似x=L处的导数边界条件，可以得到第处的导数边界条件，可以得到第n+1个方程，共有个方程，共有y1到到yn+1 n+1个未知数。个未知数。nn+1nx n+1n+1l=0 1 2 l-1 l l+1 n-2 n-1 n n+1微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD20

18、国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD201)1(, 0)0( yy1.1.第一边界条件第一边界条件0)(2211 llllyxyyy用二阶导数有限差分近似用二阶导数有限差分近似 2 2hhxfxfhxfxf 332,1022 xxydxyd处的值处的值求求举例：用有限差分法求解二阶常微分方程举例：用有限差分法求解二阶常微分方程10 x 微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD21国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD210)(220)(212212312012yxyyylyxyyyl )(4255. 0)(xxeexy 解析解解析解6107.

19、 0,2893. 021yy 解得解得0)(2211 llllyxyyy191209121212yyyy 代入边界条件代入边界条件y(0)=0 y(1)=1微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD22国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD228563. 05229. 0,2477. 0321 yyy解得解得31123 yy界条件界条件后有限差分近似导数边后有限差分近似导数边0912091212312 yyyyy代入边界条件代入边界条件1)1(, 0)0( yy2.2.第二边界条件第二边界条件0)(220)(212212312012 yxyyylyxyyyl

20、微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD23国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD230)(230)(22)(21322342212312012 00 yxyyylyxyyylyxyyyl7263. 27494. 04576. 0,2168. 04321 yyyy，解得解得13224 yy边界条件边界条件中心有限差分近似导数中心有限差分近似导数9102234 yyy0912123 yyy091212 yy代入边界条件代入边界条件微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD24国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD24 第二

21、边界条件下，向后差分和中心差分于精确解第二边界条件下，向后差分和中心差分于精确解的比较。的比较。微分方程的有限差分解法微分方程的有限差分解法微电子器件及工艺CAD25国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD252-2 非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工艺CAD26国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD26非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解 本节介绍一种非线性方程组的求解方法本节介绍一种非线性方程组的求解方法- Newton迭代法，下一节将介绍线性方程组的求解方法。迭代法，下一节将介绍线性方程组的求解方法。 非线性方程组的求解非线性方程组的

22、求解微电子器件及工艺CAD27国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD27非线性方程组非线性方程组 njxxxFnj, 2 , 1, 0,21 )0(n)0(2)0(1jin1i)0(n)0(2)0(1ijx,x,xFxx,x,xxF )0(n)0(2)0(1ij)0(in1ii)0(n)0(2)0(1jn21jx,x,xxF)xx(x,x,xFx,x,xF 给定方程组的一组初值给定方程组的一组初值 ，在，在 邻域内将方程组做邻域内将方程组做多元函数多元函数Taylor级数展开，并略去二次以上的高次项。级数展开，并略去二次以上的高次项。)0(ix)0(ix)0(iiixxx 令令 ，

23、则上式可写成，则上式可写成FXJ 写成矩阵形式写成矩阵形式非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工艺CAD28国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD28)1()0()1(iiixxx 迭代迭代直到直到 )(maxkix则则)()1()(kikikixxx FXJ )0(2112111iixxnnnnnxFxFxFxFxFxFJ Tn21)F,F,F(F Tn21)x,x,x(X 其中其中非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工艺CAD29国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD29举例举例 0 xx0 x81x4x01e101xx410

24、2012121x21）（）（初值初值非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解 0 109FFF)0(iixx21 4 1 1- 1014xF xFxF xFJx81x4xF1e101xx4F)0(ii1xx2212211121212x211解解微电子器件及工艺CAD30国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD30 4111014xFxFxFxFJ)0(iixx22122111非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解 0 109FFF)0(iixx21 21xxX 0 109xx411101421)1()0()1(iiixxx 迭代迭代 解出解出 作为第一次的迭代值作为第一次的

25、迭代值 ,用其求出用其求出x1,x2，记做记做 ,用其代替用其代替 ,重新计算重新计算J,F和和 ,重复上述过程。重复上述过程。 计算结果列于下表。计算结果列于下表。21x,x )1(2)1(1x,x )1(2)1(1x,x)0(2)0(1x,xX 微电子器件及工艺CAD31国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD31 牛顿迭代法对初值的要求严格，如果初值与准牛顿迭代法对初值的要求严格，如果初值与准确解相差较大，则牛顿迭代法发散，这是牛顿迭代确解相差较大，则牛顿迭代法发散，这是牛顿迭代法的不足。法的不足。非线性微分方程组的求解非线性微分方程组的求解微电子器件及工艺CAD32国际微电子

26、中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD322-3 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD33国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD33线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解线性代数方程组线性代数方程组求解算法求解算法: :直接法直接法迭代法迭代法高斯消去法高斯消去法LULU分解法分解法微电子器件及工艺CAD34国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD341. 高斯消去法高斯消去法 线性代数方程组线性代数方程组 A X = B 其中其中2121),(),(TnTnbbbBxxxX 为了方便讨论，我们将其写成

27、如下形式为了方便讨论，我们将其写成如下形式2222111211nnaaaaaaaaaA n1n2nn线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD35国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD351. 高斯消去法高斯消去法 线性代数方程组线性代数方程组 A X = B1n,nnnn22n11n1n,2nn22221211n,1nn1212111axaxaxaaxaxaxaaxaxaxa i1n, iba 设设 第一次消元：由第第一次消元：由第 个方程减去第个方程减去第1个方程乘以个方程乘以 ,则将上面方程组中的第则将上面方程组中的第0a11 n, 3 , 2 )n, 3

28、 , 2i (a/am111i1i n, 3 , 2 其中记其中记线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD36国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD361. 高斯消去法高斯消去法个方程中的第一个未知数个方程中的第一个未知数 消去，得到如下方程组消去，得到如下方程组1x1n,n, 3 , 2j ;n, 3 , 2i ,amaaj11iij)1(ij 其中其中设设 0a)1(22 由第由第 个方程减去上面方程组中的第个方程减去上面方程组中的第2个方程乘以个方程乘以 ，则将其中的，则将其中的 个方程个方程 n, 4 , 3 )n, 4 , 3i (a/am)1(22

29、)1(2i2i n, 4 , 3 )1(1n,nn)1(nn2)1(2n)1(1n,2n)1(n22)1(221n,1nn1212111axaxa axaxa axaxaxa 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD37国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD371. 高斯消去法高斯消去法中第中第2个未知数个未知数 消去，得到如下方程组消去，得到如下方程组 2x其中其中1n,n, 4 , 3j ;n, 3i ,amaa)1(j22i)1(ij)2(ij 继续这个过程，经过继续这个过程，经过n-1次消元后，方程变为次消元后，方程变为 axaxa axaxa axa

30、xaxa axaxaxaxa)2(1n,nn)2(nn3)2(3n)2(1n,3n)2(n33)2(33)1(1n,2n)1(n22)1(232)1(221n,1nn1313212111 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD38国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD381. 高斯消去法高斯消去法1n, 2 , 1k,a/am1n,n, 2k, 1kj ;n, 2k, 1kiamaa)1k(kk)1k(kjik)1k(kjik)1k(ij)k(ij 其中其中)1n(1n,nn)1n(nn)2n(1n,1nn)2n(n1n1n1n)2n(1n1n)2(1n,3

31、n)2(n33)2(33)1(1n,2n)1(n22)1(232)1(221n,1nn1313212111axa axaxa axaxa axaxaxa axaxaxaxa 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD39国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD391. 高斯消去法高斯消去法于是可以从第于是可以从第n个方程开始逐次向上解方程。个方程开始逐次向上解方程。)1n(1n,nn)1n(nn)2n(1n,1nn)2n(n1n1n1n)2n(1n1n)2(1n,3n)2(n33)2(33)1(1n,2n)1(n22)1(232)1(221n,1nn1313212

32、111axa axaxa axaxa axaxaxa axaxaxaxa 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD40国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD401. 高斯消去法高斯消去法 以上的计算是假设以上的计算是假设 ，事实上，即使，事实上，即使 ， 但如果但如果 的值很小，消去过程也无法进行，需要进行的值很小，消去过程也无法进行，需要进行列选主元素，这里只解释为什么列选主元素，这里只解释为什么 的值很小时不可以。的值很小时不可以。0a)1k(kk 0a)1k(kk )1k(kka )1k(kka 经过第一次消元，第经过第一次消元，第2个方程减去第个方程减

33、去第1个方程乘以个方程乘以 得得112121a/am 9 . 0 xx 7 . 0 xx103 . 0212111 假设计算机可以保留假设计算机可以保留10位有效数字，用消元法解下面位有效数字，用消元法解下面的方程组。的方程组。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD41国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD411. 高斯消去法高斯消去法)1(232(1)222111axa 7 . 0 xx103 . 0 1213112123(1)231212112122(1)22102333333333. 0)/(a103333333333. 0)/(aaaaaaaaa其中

34、其中000000000. 0 x700000000. 0a/ax1)1(22)1(232 解得解得而真解为而真解为2 . 0 x, 7 . 0 x12 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD42国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD421. 高斯消去法高斯消去法7 . 0 xx103 . 09 . 0 xx 211121 交换方程组的第交换方程组的第1行和第行和第2行，得行，得再用消去法，可得真解。再用消去法，可得真解。线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD43国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD432.2.LULU分解

35、法分解法 线性代数方程组线性代数方程组A X = B A分解为上三角阵分解为上三角阵U和下三角阵和下三角阵L，即即A=LU。nn2n1nn22221n11211nnn222n112112n1n21aaaaaaaaau00uu0uuu1ll01l001 则则AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB1ll01l001L2n1n21 nnn222n11211u00uu0uuuU 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD44国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD442.2.LULU分解法分解法下面介绍下面介绍L，U的求法。的求法。 首先，用首先，用L阵的第阵的第1行分

36、别乘行分别乘U阵的各列，算出阵的各列，算出U阵的第阵的第1行各元素。行各元素。n, 2 , 1j ,auj11j nn2n1nn22221n11211nnn222n112112n1n21aaaaaaaaau00uu0uuu1ll01l001 然后，用然后，用L阵的各行分别去乘阵的各行分别去乘U阵的第阵的第1列，算出列，算出L阵的阵的第第1列列n, 3 , 2i ,a/al111ii1 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD45国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD452.2.LULU分解法分解法 再用再用L阵的第阵的第2行分别乘行分别乘U阵的各列，算出阵的各

37、列，算出U阵的第阵的第2行行个元素，用个元素，用L阵的各行分别去乘阵的各行分别去乘U阵的第阵的第2列，算出列，算出L阵的第阵的第2列。列。nn2n1nn22221n11211nnn222n112112n1n21aaaaaaaaau00uu0uuu1ll01l001 用用L阵的第阵的第r行分别乘行分别乘U阵的阵的j列列 ，得，得 )n, 1r , rj ( rjrj1r1kkjrkauul 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解按照此方法一直算下去，现在假设已经算出按照此方法一直算下去，现在假设已经算出U阵的前阵的前r-1行元素，行元素，L阵的阵的r-1列元素，下面来算列元素，下面来算U阵的第

38、阵的第r行行元素，元素，L阵的第阵的第r列元素。列元素。微电子器件及工艺CAD46国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD462.2.LULU分解法分解法 所以，得所以，得U阵的第阵的第r行元素行元素nn2n1nn22221n11211nnn222n112112n1n21aaaaaaaaau00uu0uuu1ll01l001 rjrj1r1kkjrkauul n, 1r , rj ,ulau1r1kkjrkrjrj 再用再用L阵的第阵的第i行行 分别乘分别乘U阵的第阵的第r列，列，得得 ，)n, 2r , 1ri ( irrrir1r1kkrikaulul n, 2r , 1ri ,

39、u/ ulau1r1krrkrikirir 所以，得所以，得L阵的第阵的第r列元素列元素线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD47国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD472.2.LULU分解法分解法由于由于AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB AxB，等价为等价为 UXY LYB 逐次用向后代入过程先解逐次用向后代入过程先解LYB得得n, 3 , 2i ,ylbyby1i1jjijii11 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解 b b b bb b y y y yy y1 1l ll l0 01 1l l0 00 01 1n n2 21 1n n2

40、 21 1n2n2n1n12121微电子器件及工艺CAD48国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD482.2.LULU分解法分解法由于由于AXLUXB，设设UXY，那么那么LYB AxB，等价为等价为 UXY LYB 然后再用逐次向前回带过程解然后再用逐次向前回带过程解UX=Y得得1 , 2 , 2n, 1ni ,u/xuy(xu/yxn11jiijijiiuunn 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解 n n2 21 1n n2 21 1nnnn2n2n22221n1n12121111y y y yy yx x x xx xu u0 00 0u uu u0 0u uu uu

41、u微电子器件及工艺CAD49国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD49 3. 3.迭代法迭代法 直接法一般工作量较大，本节介绍迭代法，将直接法一般工作量较大，本节介绍迭代法，将AX=BAX=B系系数矩阵数矩阵A A分为严格的上三角矩阵分为严格的上三角矩阵U U和下三角矩阵和下三角矩阵L L，及对角矩及对角矩阵阵D D，即即 UDLA nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 000000001,2121 nnnnaaaaLnnaaaD0000002211 0000002112nnaaaU 线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD50国际微电子中

42、心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD50 则线性方程组则线性方程组AX=BAX=B可以改写为可以改写为 ( (D+L+U)X=BD+L+U)X=B 即即 DX=-(L+U)X+BDX=-(L+U)X+B)X)UL(B(DX1 )X)UL(B(DX) i (1)1i ( 于是可得迭代公式于是可得迭代公式 3. 3.迭代法迭代法写成分量形式如下写成分量形式如下 0,1,2i ;n, 2 , 1j)xaxab(a1xn1jm) i (mjm1j1m) i (mjmjjj)1i (jJacobi迭代公式迭代公式线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解微电子器件及工艺CAD51国际微电子中心国际微电子

43、中心微电子器件及工艺CAD51 为了更好地理解为了更好地理解Jacobi迭代公式的得来，我们从另外一迭代公式的得来，我们从另外一个角度进行推导。个角度进行推导。 3. 3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa )xaxab(a1x)xaxab(a1x)xaxab(a1x232131333332312122223132121111 改写为改写为(2.3.1)(2.3.2)微电子器件及工艺CAD52国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD52 给出给出x1, x2, x3

44、的初值，并记做的初值，并记做 于是可由方程求于是可由方程求得得x1, x2, x3的第一次迭代值的第一次迭代值 。 3. 3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解)xaxab(a1x)xaxab(a1x)xaxab(a1x)0(232)0(131333)1(3)0(323)0(121222)1(2)0(313)0(212111)1(1 )0(3)0(2)0(1x,x,x)1(3)1(2)1(1x,x,x 用所得的用所得的 代替上述迭代方程中的代替上述迭代方程中的 可可求得求得 。如此进行下去可得第。如此进行下去可得第k k次迭代值次迭代值)1(3)1(2)1(1x,x,x)0(3)0(2)0(1x,x,x)2(3)2(2)2(1x,x,x微电子器件及工艺CAD53国际微电子中心国际微电子中心微电子器件及工艺CAD53 3. 3.迭代法迭代法线性代数方程组的求解线性代数方程组的求解)xaxab(a1x)xaxab(a1x)xaxab(a1x)1k(232)1k(131333)k(3)1k(323)1k(121222)k(2)1k(313)1k(212111)k(1