2022年线性代数公式定理大全

1、学习必备欢迎下载线性代数公式大全第一章 行列式1逆序数1.1 定义n个互不相等的正整数任意一种排列为：1 2ni ii，规定由小到大为标准次序，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有一个逆序数，该排列全部逆序数的总合用1 2ni ii表示，1 2ni ii等于它所有数字中后面小于前面数字的个数之和。1.2 性质一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性，即211。证明如下：设排列为111lmnaa abb bcc，作m次相邻对换后，变成111lmnaa abbb cc，再作1m次相邻对换后，变成111lmnaa bbb acc，共经过21m次相邻对换， 而对不同大小的两元素每次相邻对换

2、逆序数要么增加1 ，要么减少 1 ，相当于211，也就是排列必改变改变奇偶性，21m次相邻对换后2121111m，故原命题成立。2n阶行列式的5 大性质性质 1：转置（行与列顺次互换）其值不变。性质 2：互换任意两行（列）其值变号。性质 3：任意某行（列）可提出公因子到行列式符号外。性质 4：任意行列式可按某行（列）分解为两个行列式之和。性质 5：把行列式某行（列）倍后再加到另一行（列） ，其值不变。行列式的五大性质全部可通过其定义证明；而以后对行列式的运算主要是利用这五个性质。评 注对性质 4 的重要拓展：设n阶同型矩阵，; ijijijijaabbabab，而行列式只是就某一列分解，所以，

3、ab应当是2n个行列式之和，即abab。评 注 韦达定理的一般形式为：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载121201201110;1nnnnnnnnnnnniijiiijinnnaaaa xaxaxaxx xxaaa一、行列式定义1定义111212122212nnnnnnaaaaaaaaannnjjjjjjaaa221211)() 1(其中逆序数121nj jjj后面的1j小的数的个数2j后面比2j小的数的个数1nj后面比1nj小的数的个数 . 2三角形行列式111

4、21222000nnnnaaaaaa11212212000nnnnaaaaaa1 12 2nna aa1211000nnnnnnnaaaaa1112121221000nnaaaaaa12 112111n nnnna aa1212111n nnnna aa二、行列式性质和展开定理1会熟练运用行列式性质，进行行列式计算. 2展开定理1122ikikinknika aa aa aaaaaaaaajknknjkjkj2211三、重要公式设 a 是 n 阶方阵，则1taa211aa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - -

5、 - - - - - -学习必备欢迎下载31*naa4nkaka5aba b，其中 b 也是 n 阶方阵6设 b 为 m 阶方阵，则00acaa bbcb010mnacaa bbcb7范德蒙行列式1222212111112111nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx四有关结论1对于,n nn nab(1)00aa(2) abab2. a为n阶可逆矩阵aeae行变列变（a与e等价）0ax只有惟一零解axb有惟一解（克莱姆法则）a的行（列）向量组线性无关a的 n 个特征值0,1,2,iina可写成若干个初等矩阵的乘积)()(brabraat是正定矩阵精品学习资料 可选择p d f - -

6、 - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载a是nr中某两组基之间的过渡矩阵3. a为n阶不可逆矩阵0a0ax有非零解nar)(0 是a的特征值aa4.若a为n阶矩阵，)2, 1(nii为a的 n 个特征值，则niia15. 若ba ，则ba行列式的基本计算方法：1.应用行列式的性质化简行列式（例如化为三角形行列式就是一个常用方法）。2.按行（列）展开行列式（在此基础上，有些题可用数学归纳法、有些题可用递推关系式来计算行列式）。在实际使用中，常常将上述两种方法交替使用。行列式的计算是行列式的重点内容，特别是低阶行

7、列式及简单的n 阶行列式的计算一般总要遇到（例如求特征值） ，因此，务求熟练掌握。典型题 : 一. 数字行列式的计算. 1.利用行列式的定义. 2.利用行列式的基本性质. 3.一般的数字行列式，三角化，爪形行列式，行列式按某行（列展开），利用特征值、特征向量求。递推公式. 二.行列式的代数余子式的相关计算. 三. ab类型成抽象行列式的计算. 1. 与向量成分块矩阵结合2 与特征值、特征向量结合. 4 与代数余子式结合.四.范德蒙行列式与克莱姆法则第二章矩阵一内容概要1 矩阵的概念注意它和行列式的区别：1）表现形式上的差别；2）表现本质上的差别，一个是数（行列式是数），而矩阵是一个符号；3）一

8、般地当a 是一个方阵时候，a才有意义，但是aa；此外当 a 是长方形矩阵时a没有意义。2 矩阵的运算及其运算律（1）矩阵的相等；（2）矩阵的线性运算：a)矩阵的和： a+b 注意 a 和 b 要是阶数一致的矩阵（或称同型矩阵）；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载b)矩阵的数乘（或称数乘矩阵）nmijnmijkaakka)(；c)一般地，若tttakakaaaa221121k,是同型矩阵，则有意义，称为矩阵taaa,21的一个线性运算；3 矩阵的转置将矩阵 a 的行列

9、互换，得到新的矩阵aat或，称为矩阵a 的转置。4 矩阵的乘法矩阵乘法的定义：smijsnnmcba注意指出：在定义中，第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，而njjjiiinjinjijiijbbbaaabababac2142122115 关于矩阵运算的运算律要注意的问题：1）一般地其baab原因是 a)ab 与 ba 不一定同时有意义；b)即使 ab 与 ba 都有意义， ab 与 ba 的阶数也未必一致；例如同都有意义，但其阶数不与，则baabbbaajtij3223,；c)即使 ab 与 ba 其阶数相同，但ab 与 ba 也未必相同；如果ab=ba ，则称 a 与 b 是可以交换的。

10、例如baabbaabba都有意义，但是与，则1111,11112）矩阵的乘法不满足消去律，即一般地若0,0,00,xaaxcbaacab推不出，例如若，推不出3）若tttababab有意义，则3 几种特殊类型的矩阵（1）0 矩阵；（2）单位矩阵；（3）对角矩阵；数量矩阵； （4）三角矩阵；上三角、下三角矩阵；（5）对称矩阵：若tjiijnnijaaaaaa，即,；（6）反对称矩阵：若tjiijnnijaaaaaa-,，即；关于反对称矩阵常用的结论：1）a 的主对角线上的元素全是0；2）若 a 是奇数阶行列式，则0a; 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

11、- - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(7)正交矩阵：若1aaeaaaaattt或满足：，则称 a 是正交矩阵。关 于 正 交 矩 阵 与 对 称 矩 阵 的 关 系 有 ： 若a是 一 个 实 对 称 矩 阵 ， 则 存 在 一 个 正 交 矩 阵t使 得 ：nntattatt1211；（8）阶梯形矩阵若 a 满足： 0 行全在非 0 行的下方，非0 行的第一个非0 的数它的下面的数全是0（若有的话）；关于阶梯形矩阵：任意一个矩阵a 都可以通过初等变换化为阶梯形矩阵；（9）分块矩阵；对一个矩阵进行适当的分快，可以带来很多方便，它有很多的应用；

12、（10）初等矩阵：初等矩阵与矩阵的初等变换关系非常密切，要充分理解它的概念和它的作用。4 分块矩阵当一个矩阵的阶数较高时，对此矩阵进行恰当的分块，更能容易看清其矩阵的规律和问题的结构特点。矩阵分块的原则：在同一行中，其各个块矩阵的行数一致，在同一列中，其块矩阵列数一致；分块矩阵运算的原则：（1）分块矩阵的加法：若a+b, 其对矩阵 a,b 的分块方法完全一致；（2）分块矩阵的乘法：若ab ，其对第一个矩阵的列的分法同第二个矩阵行的分法完全一致。5 初等矩阵、矩阵的初等变换、矩阵的等价（1）初等矩阵的定义：对单位矩阵进行一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵；用四阶单位矩阵来说明初等矩阵的几种形式

13、。（2）初等变换初等行变换、初等列变换；（3）初等变换与初等矩阵之间的关系对矩阵 a 做一次初等行变换成为b，则 b=pa（其中 p是与行变换相对应的初等矩阵）举例说明：barr13131022113113222121)2(即则pab131132221100012001131310221b对于矩阵 a 作一次初等列变换成为b，则 b=ap（其中 p 是与上述列变换相对应的初等矩阵）。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载举例说明bacc11111220113113222

14、121)2(100010021131132221111112201b(4)矩阵 a 与 b 等价如果 a 能够通过初等变换变为b 则称 a 与 b 等价，用式子表示就是：jsttqpqqaqpppb,i2111其中是初等矩阵每一个矩阵a 都与矩阵000re等价，其中r 是矩阵 a 的秩，即存在000,2111irsttjeqqaqpppqp使得：初等矩阵6 关于 n 阶矩阵的逆矩阵（1）逆矩阵的定义：设a 是一个 n 阶矩阵，若有n 阶方阵 b 使得ab=e 或 ba=e 则称矩阵 a 是可逆的；( 2 )n 阶方阵 a 可逆的充要条件1）用矩阵的方式描述：存在矩阵b 使得ab=e 或 ba=

15、e( 即定义）；2）用 a 的行列式0aa来描述：; 3）用矩阵的秩来描述：的阶数；是矩阵这里annar)(4）用向量的观点来描述：矩阵a 的行向量组（或列向量组）线性无关；5）用方程组的观点来描述：方程组ax=0 仅有 0 解；6）用矩阵 a 的特征值来描述：a 的特征值全不0；（3）逆矩阵的性质1）若 a 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的；2）若 a,b 是同阶可逆矩阵，则ab 也可逆，且111abab; 3）nnttaaaaakaaaaa11111111111,k,)(,，; 4）000000,000011111111baabbababa（4）逆矩阵的求法精品学习资料 可选择p d f - -

16、 - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1）具体的数字矩阵常用的方法是用伴随矩阵的方法；或用初等变换的方法。这是两种最基本的方法，应该熟练，特别是对于三阶矩阵；初等变换求逆矩阵的方法：1|abbeea，则一系列初等行变换2）对于抽象的矩阵a,求此逆矩阵，常用的方法是想办法找到矩阵b 使得： ab=e ，或 ba=e ，此时的 b 就是所求的逆矩阵；3）如果要判断矩阵a 是否可逆，就考虑上述的矩阵可逆的充要条件；（5）关于伴随矩阵1)伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；2)伴随矩阵常用的性质对于任意的

17、方阵a 均有此伴随矩阵*aeaaaaa*使得当00,10*1aaaaaaaaa时：当时，对于一般地方阵a，其伴随矩阵*a的秩为：2)(01)(1)()(*narnarnarnar若若若当00,0*1*aaaaan时当时，。（6）关于矩阵的秩1）矩阵秩的定义：在矩阵a 中，有一个不等于0 的 r 阶子式rd，且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）全等于0，那么 r称为矩阵 a 的秩，rd称为矩阵 a 的最高阶非0 子式。规定0 矩阵的秩是0。2）矩阵的秩与初等变换的关系：对矩阵a 实行初等变换其秩不变)()(brarba，则一系列初等变换3）矩阵秩的求法应用上面的结论，求矩阵a 的秩其一般方法是

18、是阶梯型矩阵），（一系列初等变换tta行的行数的非）（则0)(ttrar4）有关矩阵秩的重要结论是实矩阵）（若 aaarararttnmara,min)(10，则若精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载)()(|)(),(max,)(),(min),()()(brarbarbrarbrarabrbrarbar若 p、q 分别是可逆矩阵，且下列运算有意义，则)()()()(paqraqrparar)()(00),()(00brarbarbrarbar若 a 为nm矩阵，

19、b 为sn矩阵，且 ab=0 ，则：nbrar)()(此外，矩阵的秩常常和向量组的秩联系起来，注意和向量组的秩的关系。二 常见题型题型一：有关矩阵运算律的考察和相关概念的考查在考虑矩阵的乘积可交换时，常常利用eaaaa11来进行。题型二：矩阵可逆的计算与证明（1）对于具体的三阶、四阶的数字矩阵求此逆，初等变换的方法一定要会，用伴随矩阵的方法要基本清楚；（2）如果给定了抽象的条件，要求1a，此时注意将条件转化为ab=e ，或 ba=e, 此时的 b 就是要求的1a。在处理有关矩阵逆的问题的时候，注意逆矩阵的性质以及前面所讲的矩阵可逆的充要条件。题型三：关于伴随矩阵逆矩阵常常与伴随矩阵相联系，此外

20、伴随矩阵也是多年来考察的热点。这类问题多注意伴随矩阵的定义以及与逆矩阵的关系。题型四：有关初等矩阵及其初等变换的问题题型五：解矩阵方程将所给的条件转化为矩阵方程：这里或或baxcbxabax的矩阵 a,c 一般地都是可逆矩阵。对于矩阵方程debabax|初等行变换，其一般的解法为：，则这里的矩阵bad1；或者先求出baa11，再计算。对于其他类型的矩阵方程类似地可以给出求解方法。题型六：关于矩阵的秩1 具体的数字矩阵求秩，用初等变换进行，对矩阵a 实行初等变换使之称为阶梯形矩阵t,由此可求出矩阵a 的秩（在初等变换下，矩阵的秩不变）；2 利用矩阵的秩，等于矩阵a 的行向量组的秩，等于矩阵a 的

21、列向量组的秩等性质。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3 注意矩阵秩的有关不等式。题型七：求一个方阵的高次幂当 a 是一个方阵的时候，ka才有意义，否则没有意义。第三章n 维向量空间3.1 n 维向量的定义1. 定义定义：n个数naaa,21构成的有序数组, 记作),(21naaa, 称为n维行向量ia 称为向量的第i个分量ria 称为实向量 （下面主要讨论实向量）cia 称为复向量零向量：)0,0,0(负向量：),()(21naaa列向量：n个数naaa,21构成

22、的有序数组, 记作naaa21, 或者t21),(naaa, 称为n维列向量零向量：000负向量：naaa21)(若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组3.2 n 维向量的线性运算1定义线性运算：),(21naaa, ),(21nbbb相等：若),2,1(nibaii, 称加法：),(2211nnbababa数乘：),(21nkakakak减法：)(),(2211nnbababa2线性运算律：),(21naaa, ),(21nbbb, ),(21nccc(1) (5) 1(2) )()(6) )()(l klk(3) (7) kkk)(4) )(8) lklk)(3.3

23、 向量组的线性相关性1线性组合与线性表示精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载对n维向量及m,1, 若有数组mkk,1使得mmkk11, 称为m,1的线性组合 , 或可由m,1线性表示例如，有，所以称是4321,的线性组合，或可由4321,线性表示。判别是否可由向量组m,321线性表示的定理：定理 1 向量可由向量组m,321线性表示的充分必要条件是：以m,321为系数列向量，以为常数项列向量的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。2向量组的线性相关性对n维向量

24、组m,1, 若有数组mkk,1不全为 0, 使得011mmkk称向量组m,1线性相关 , 否则称为线性无关线性无关：对n维向量组m,1, 仅当数组mkk,1全为 0 时, 才有011mmkk称向量组m,1线性无关 , 否则称为线性相关定理 2 向量组m,213214120线性相关其中至少有一个向量可由其余321,个向量线性表示推论：向量组m,213214120线性无关任何一个向量都不可由其余321,个向量线性表示定理 3 n 维向量组m,21线性相关0ax有非零解，其中),(21ma。推论： n 维向量组m,21线性无关0ax只有零解，其中),(21ma。定理 4 若向量组m,21线性无关 ,

25、 ,21m线性相关 , 则可由m,21线性表示 , 且表示式唯一一些结论：(1) 单个零向量线性相关,单个非零向量线性无关；(2) 含零向量的任何向量组线性相关；(3) 基本向量组neee,21线性无关；(4) 有两个向量相等的向量组线性相关；(5) mn 时， m 个 n 维向量必线性相关. 特别： m=n+1 ；(6) n 个 n 维向量线性无关它们所构成方阵的行列式不为零；(7) n 维向量空间任一线性无关组最多只能包含n 向量 . 3.4 向量组的极大线性无关组1.等价向量组12342100050100,30010000012100050100253030010000011234=25

26、30即精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载设向量组rt,:211, st,:212若),2 ,1(rii可由s,21线性表示 , 称1t可由2t线性表示；若1t与2t可以互相线性表示, 称1t与2t等价(1) 自反性：1t与1t等价(2) 对称性：1t与2t等价2t与1t等价(3) 传递性：1t与2t等价 , 2t与3t等价1t与3t等价等价向量组的基本性质：定理 设s,21与s,21是两个向量组，如果(1)向量组s,21可以由向量组s,21线性表示；(2) ts则

27、向量组s,21必线性相关。推论 1 向量组s,21可以由向量组s,21线性表示，并且s,21线性无关，那么ts。推论 2 两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。2向量组的极大线性无关组设向量组为a, 如果在a中有r个向量r,21满足：(1) 0a:r,21线性无关； (2) 任意1r个向量线性相关（如果有1r个向量的话）称r,21为向量组为a的一个极大线性无关组，简称极大无关组。注： (1) 只含零向量的向量组没有极大无关组；(2) 一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身；(3) 一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组表示。例如，在向量组1412,4524,1312321中，首

28、先21,线性无关， 又321,线性相关， 所以21,组成的部分组是极大无关组。还可以验证32,也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。极大无关组的基本性质：性质 1 任何一个极大无关组都与向量组本身等价。性质 2 向量组的任意两个极大无关组都是等价的。定理 一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所包含向量的个数相同。3向量组的秩与矩阵秩的关系3.1 向量组的秩定义 3 向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记做),(21sr。例如，向量组1412,4524,1312321的秩为 2. 关于向量组的秩的结论: (1)零向量组的秩为0；精品学习资料 可选择p d

29、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载(2)向量组s,21线性无关srs),(21，向量组s,21线性相关.),(21srs，(3)如果向量组s,21可以由向量组t,21线性表示，则);,(),(2121ssrr(4)等价的向量组必有相同的秩。注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。3.2 矩阵的秩3.2.1 行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩

30、阵可被认为由这些列向量组成。定义 4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。问题：矩阵的行秩等于矩阵的列秩吗？引理 1: 矩阵的初等行 (列)变换不改变矩阵的行(列)秩。引理 2：矩阵的初等行 (列)变换不改变矩阵的列(行)秩。综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩矩阵的列秩。定义 5：矩阵的行秩矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为 r(a),或 ranka，或秩 a。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。3.2.2 矩阵秩的求法首先复习 : 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的概念和特点。对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵

31、和行最简形矩阵。结论：行阶梯形矩阵的秩非零行的行数求矩阵秩的方法 : 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。求向量组的秩、极大无关组的步骤：(1)向量组s,21作列向量构成矩阵a；(2)ba 初等行变换(行最简形矩阵 ) (3)求出 b 的列向量组的极大无关组(4)a 中与 b 的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组，即为a 的极大无关组。3.2.3 矩阵秩的性质(1) 等价的矩阵，秩相同；(2) 任意矩阵a，有)()(tarar；(3) 任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。若p可逆，对于任意的矩阵a，有)()()(aprarpar(4) 对于,pn

32、nmba.)()(;)()()();(),(min)();()()(nbraroabnbrarabrbrarabrbrarbar有时，当3.3 矩阵的秩与行列式的关系定理n阶方阵a，anar)(的n个行 (列)向量组线性无关,0a即a为可逆矩阵 (也称为满秩矩阵 ) anar)(的n个行 (列)向量组线性相关.0a3.5 向量空间精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1向量空间的概念定义 1： 设 v 为 n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法及数乘两

33、种运算封闭，那么就称集合v 为向量空间说明：集合v 对于加法及数乘两种运算封闭指,v有;v,rkv有.vk一般地，由向量组maaa,21所生成的向量空间为,212211raaaxvmmm2向量空间的基与维数定义 2：设 v 是向量空间，如果r 个向量vr,21，且满足(1) r,21线性无关；(2) v 中任何一向量都可由r,21线性表示，那么，就称向量组r,21是向量空间v 的一个基，r 成为向量空间v 的维数，记作dimvr，并称 v 是 r 维向量空间。注：（ 1）只含有零向量的向量空间没有基，规定其维数为0。（2）如果把向量空间看作向量组，可知，v 的基就是向量组的极大无关组，v 的维

34、数就是向量组的秩。（3）向量空间的基不唯一。3向量在基下的坐标定义 3：设向量空间v的基为r,1, 对于v, 表示式rrxx11唯一（定理2）, 称t1),(rxx为在基r,1下的坐标（列向量）注：为n维向量 , 在v的基r,1下的坐标为r维列向量因为线性无关的“n维向量组”最多含有n个向量 , 所以由n维向量构成的向量空间的基中最多含有n个向量 , 故nr3.5 欧式空间1 内积的概念定义 1：n 维实向量nnbbbaaa2121,，称nnbababa2211),(tnnbbbaaa2121,为和的内积。若,为行向量，则t),(。向量空间的性质：(1) ),(),(2) ),(),(),(3

35、) ),(),(kk(4) 0),(等号成立当且仅当0定义 2 实数22221),(naaa为向量的长度 (或模，或范数 )。若1，称为单位向量。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载把向量单位化：若,0则0，考虑11),(1),(222，即的模为 1，为单位向量，称为把单位化。向量长度的性质：(1)非负性：当0时，0；当0时，0；(2)齐次性：kk；(3)柯西 - 施瓦兹不等式：),(；(4)三角不等式：定义 3：设实向量, 称),(arccos,)0(为与之间的夹

36、角定义 4：若0),(, 称与正交 , 记作(1) ,时, 2；(2) 或时, 有意义 , 而,无意义注：（ 1）零向量与任何向量都正交。（2）定义了内积的向量空间称为欧氏空间。2标准正交基的向量组定义 5 正交向量组：非零实向量s,21两两正交。正 交 单 位 向 量 组 ( 标 准 正 交 向 量 组 ) ： 非 零 实 向 量s,21两 两 正 交 ， 且 每 个 向 量 长 度 全 为1 ， 即)(0)(1),(jijiji。定理：正交向量组是线性无关的。例如，书 p100 例 3.5.1 例 1 已知三维向量空间中两个向量正交，试求3使321,构成三维空间的一个正交基. 3 正交矩阵

37、定义 6：a 是一个 n 阶实矩阵，若eaat，则称a为正交矩阵。定理：设 a、b 都是 n 阶正交矩阵，则(1)1a或1a(2)taa1(3) )(1taa即也是正交矩阵(4)ab也是正交矩阵。定理： n 阶实矩阵 a 是正交矩阵a 的列（行）向量组为单位正交向量组。注： n 个 n 维向量，若长度为1，且两两正交，责备以它们为列（行）向量构成的矩阵一定是正交矩阵。121,11121精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第四章线性方程组一、基本概念及表达形式非齐次线

38、性方程组的一般形式：mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 (i) a=mnmmnnaaaaaaaaa212222111211a=mmnmmnnbbbaaaaaaaaa21212222111211，mjjjjmnaaabbbbxxxx212121,。a叫作 (i) 的系数矩阵，a叫作 (i) 的增广矩阵。(i)还可改写为矩阵方程的形式：bax和向量形式：bxxxnn2211。齐次线性方程组的一般形式：000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa (ii) (ii)叫作 (i) 的

39、导出组，其矩阵形式为：oax向量形式为：oxxxnn2211。二、线性方程组解的性质1) 如果， 是齐次线性方程组oax的两个解，则也是它的解。2)如果是齐次线性方程组oax的解，则k也是它的解。3)如果有1，2，s是oax的解，则k11+k22+kss也是它的解ki为任意常数 (i=1，2，s) 。4)如果， 是非齐次线性方程组bax的两个解，则-是导出组oax的解。5)如果是oax的解，是bax的解，则+ 是bax的解。6)如果s,21是bax的解，skkk,21为常数，且121skkk，则sskkk2211也是bax的解。三、线性方程组解的判定定理1、非齐次线性方程组bax 1）若秩)(

40、a秩)(a，则bax无解。 2) 若秩)(a秩)(a则有无穷多解。则有唯一解，,nn具体做法： 设bax的增广矩阵记为a，则a经过初等行变换可化为如下的阶梯形矩阵( 需要交换列时可重新排列精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载未知量的顺序 ) ：a111121221110001000100000000000000000rnrnrrrnrrccdccdccdd于是可知：（1）当dr+1=0，且r=n时，原方程组有唯一解。（2）当dr+1=0，且rn时，原方程组有无穷多解

41、。（3）当dr+10，原方程组无解。当方程组有解时，写出阶梯形矩阵对应的线性方程组，并求解，就可得到原方程组的解。2、齐次线性方程组oax一定有解（至少有零解） ，且秩)(an时，有唯一解；秩ra)(n时，有非零解，且有rn个线性无关的解向量。具体做法：由于齐次线性方程组oax的增广矩阵a的最后一列全为零，所以对a施行初等行变换，a可化为：1112121100001000010000000000000000000rnrnrrrncccccc于是可知：(1) 当且r=n时，齐次线性方程组仅有零解。(2) 当rn时，齐次线性方程组除零解外，还有无穷多组非零解。特别地，当mn时，齐次线性方程组必有非

42、零解。当m=n时，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式d=0。四、非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组解的关系bax有解秩)(a秩)(a则有无穷多解。则有唯一解，,nnrbax有唯一解oax只有零解na)(秩。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载bax有无穷多解oax有非零解na)(秩。五、线性方程组解的结构及基础解系的求法 1 、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设1，2，s是齐次线性方程组oax的一组解，若11，2，s线性无关；2方程组o

43、ax任何一个解都可由1，2，s线性表出，则称1，2，s是oax一个基础解系。如果齐次线性方程组有非零解( r(a)=rn ) ， 则oax一定有基础解系， 并且基础解系含有rn个线性无关的解向量。若oax的基础解系含有rn个线性无关的解向量，则oax的任意rn个线性无关的解向量都是oax的一个基础解系。如果1，2，n-r是齐次线性方程组的一个基础解系，则oax的全部解为：=k11+k22+kn-rn-r，其中ki(i=1，2，n-r) 为任意常数。若齐次线性方程组oax有非零解，则r(a)=rn ，对方程组oax的增广矩阵a施行初等行变换，总可以化为如下形式：00000000000001000

44、01000011212111rnrrnrnrcccccc即方程组oax与下面的方程组同解nrnrrrrrrrnnrrrrnnrrrrxcxcxcxxcxcxcxxcxcxcx22112222112212211111其中 xr+1， xr+ 2，xn为自由未知量对这 n r 个自由未知量分别取001，010，100， （共 n r 个）可得方程组 (1)的 n r 个线性无关的解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1=001-11211rrrrccc，2=010-22

45、221rrrrccc，n r =100-21rnnnccc，即为其基础解系。2、齐次线性方程组解的结构及基础解系的求法设非齐次线性方程组bax的任意一个解均可表示为方程组bax的一个特解与其导出组oax的某个解之和。当非齐次线性方程组有无穷多解时，它的通解可表示为：x=0k11+k22+kn-rn-r，其中0为bax的一个特解，1，2，n-r是齐次线性方程组oax的一个基础解系，ki(i=1，2，n-r) 为任意常数。iii 题型归纳及思路提示题型 1 基本概念题（解的结构、性质和结构）题型 2 求线性方程组的通解题型 3 含有参数的线性方程组的讨论（历届考研的重点）题型 4 讨论两个方程组的

46、公共解题型 5 有关线性方程组及其基础解系的证明题题型 6 向量组与线性方程组的综合题iv 本章小结重点难点： 1、含参数的非齐次线性方程组解的判定及讨论； 2、线性方程组的解的结构，特别要掌握基础解系。本章几乎每年都要考查，也是线性代数部分的考试重点。一般出单项选择题和计算题。要求考生熟练掌握线性方程组的解的判定和结构。由于三元一次方程的几何意义是平面，故方程组是否有解也可转换为平面的空间位置关系问题。近几年方程组也常与空间平面联合出题，请大家注意方程组与空间平面的关系。第五章特征值与二次型1 向量的内积在空间几何中，内积描述了向量的度量性质，如长度、夹角等. 由内积的定义：cosx yyx

47、，可得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载cos()=,y,x yx xxxyx且在直角坐标系中123123112233() ()=x ,x ,xy ,y ,yx yx yx y .将上述三维向量的内积概念自然地推广到n 维向量上，就有如下定义。定义 1 设有 n 维向量12nxxxx，12nyyyy，称1122nnx yx yx y,x y为x与y的内积 . 内积是向量的一种运算，用矩阵形式可表为,x yx y. 若、为n 维实向量， 为实数，则下列性质从内积的定

48、义可立刻推得. (i) x,y y,x ，(ii)x,y x,y ，(iii)x+y,z x,z y,z. 同三维向量空间一样，可用内积定义n 维向量的长度和夹角. 定义 2 称22212nxxxx xx为向量 x 的长度 ( 或范数 ) ，当 x 1 时称 x 为单位向量 . 从向量长度的定义可立刻推得以下基本性质：（）非负性：当 x0 时， x，当x时 x . （）齐次性：x x. （）三角不等式：xy x y. （）柯西 - 许瓦茨（ cauchy-schwarz）不等式 : x，y xy. 由柯西 -许瓦茨不等式可得,x yyx（ x y） . 于是我们定义，当， 0 时，称arcco

49、s,x yyx为 x 与 y的夹角 . 当 x，y时，称x 与 y 正交 . 显然， n 维零向量与任意n 维向量正交 . 称一组两两正交的非零向量组为正交向量组. 定理 1 若 n 维非零向量12r,为正交向量组，则它们为线性无关向量组. 证设有12r,使1riii.0，分别用k与上式两端作内积(k，r) ，即得k0kkk,.,0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载因0k，故20kkk,，从而01 2k,k, ,r，于是12r,线性无关 . 在研究向量空间的问题时

50、，常采用正交向量组作为向量空间的一组基，以便使问题得到简化，那么n 维向量空间的正交基( 基中向量两两正交) 是否存在呢 ? 定理 2 若12r,是正交向量组，且n，则必存在n 维非零向量 x，使12r,，x 也为正交向量组 . 证x 应满足12000r,xxx，即12000r.x记12r,a则()rrna，故齐次线性方程组ax必有非零解，此非零解即为所求. 推论：r个（rn）两两正交的n 维非零向量总可以扩充成rn的一个正交基 . 定义 3 设 n 维向量12r,e ee是向量空间()nv vr的一个基，如果12r,e ee两两正交，且都是单位向量，则称之为 v 的一个正交规范基( 标准正交

51、基 ). 若12r,e ee是 v 的一个正交规范基，则v 中任一向量可由12r,e ee惟一线性表示，设为1 122rr,eee则由iiiiiee e，得iiii,= ee惟一确定， i , ， r. 下面介绍将向量空间()nv vr的任一基12r,转换为一正交规范基的schmidt 正交化方法，其具体步骤如下：取121122111121121112211rrrrrrrrr,容易验证12r,两两正交，非零 . 然后将它们单位化，即令121212rrr,eee则12r,e ee就是 v 的一个正交规范基. 定义 4 如果 n 阶方阵满足aae（即 aa） ，就称 a 为正交矩阵 . 用 a 的

52、列向量表示，即是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1212(,)=,nne亦即()=().ijij由此得到 n个关系式1=1 20ijijij,i, j, ,n.ij这说明，方阵a 为正交矩阵的充分必要条件是：a 的列向量组构成rn的正交规范基，注意到，所以上述结论对 a 的行向量组也成立. 由正交矩阵定义，不难得到下列性质. （i）若 a 是正交矩阵，则 . （ii ）若 a 是正交矩阵，则，也是正交矩阵 . （iii ）若，是 n 阶正交矩阵，则ab 也是正交

53、矩阵 . 定义 5 若 t 是正交矩阵，则线性变换yx称为正交变换 . 设 yx 是正交变换，则有.yyx t txx xyx这表明，经正交变换向量的长度保持不变，这是正交变换的优良特性之一.其实正交变换相当于反射和旋转的叠合，例如cossinsincost为正交矩阵，正交变换yx相当于旋转 角，再关于纵轴对称反射. 2 方阵的特征值和特征向量定义 6 设 a 为 n 阶方阵，若存在数和非零 n 维向量 x，使得xx，（5.1）则称 为矩阵 a 的特征值，称x为矩阵 a 对应于特征值 的特征向量 . (5.1)式也可写成（）x . （5.2）(5.2)式的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是

54、 . （5.）(5.3)式的左端为 的 n 次多项式，因此a 的特征值就是该多项式的根.记 f()=|-|，称为 a 的特征多项式，则矩阵a 的特征值即为其特征多项式的根.方程 (5.3)称为 a 的特征方程，特征方程在复数范围内恒有解.其个数为方程的次数(重根按重数计算 )，因此 n 阶方阵 a 有 n 个特征值 . 设i为其中的一个特征值，则由方程（i）x0 可求得非零解xpi，那么 pi便是 a 的对应于特征值 i的特征向量 (若i为实数，则pi可取实向量，若 i为复数，则 pi为复向量 .) 显然，若pi是对应于特征值 i的特征向量，则kpi（k）也是对应于i的特征向量，所以特征向量不

55、能由特征值惟一确定，反之，不同的特征值所对应的特征向量绝不会相等，也即一个特征向量只能属于一个特征值. 的特征值和特征向量. 归纳出具体计算特征值、特征向量的步骤. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载第一步：计算特征多项式ae. 第二步：求出 ae 0 的全部根，它们就是a 的全部特征值 . 第三步：对于a 的每一个特征值 i，求相应的齐次线性方程组(ie)x0 的一个基础解系12r,，则对于不全为零的任意常数12rk ,k ,k，1122rrkkk即为对应于 的

56、全部特征向量. 定理 3 设1，2， m是方阵 a 的 m 个互不相同的特征值，p1，p2，pm依次是与之对应的特征向量，则p1，p2，pm线性无关 . 证设有常数 x1，x2， xm，使x1 p1+ x2 p2+ xm pm =0, 则a(x1 p1+ x2 p2+ xm pm) =0, 即111222mmmx px px p0. 类推有121122(1,2,1).mkkkmmkmx px px p0把上列各式合写成矩阵形式，得(x1 p1，x2 p2， xm pm)1211121111mmmmm=o. 上式等号左边第二个矩阵的行列式为范德蒙行列式，当各不相同时，该矩阵可逆，于是有(x1 p

57、1，x2 p2， xm pm) =o，即 xipi0，但 pi0，故 xi0，i1，2， m. 所以向量组 p1，p2，pm线性无关 . 3 相似矩阵定义 7 设 a 与 b 是 n 阶方阵，如果存在一个可逆矩阵p，使bp 1ap，则称 a 与 b是相似的 . 定理 4 若 n 阶方阵 a 与 b 相似，则 a 与 b的特征多项式相同，从而a 与 b的特征值相同 . 证因 a 与 b 相似，即有可逆矩阵p，使 p apb，故|be| p 1app 1( e) p| p 1（ae）p| p 1 ae p ae. 推论若 n 阶方阵 a 与对角矩阵 diag (1，2， n)相似，则 1，2， n

58、 即是 a 的特征值 . 证因1，2， n 是 diag（1，2， n）的 n 个特征值 .由定理 4 知1，2， n 也就是 a 的特征值 . 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 34 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载关于相似矩阵我们关心的一个问题是，与a 相似的矩阵中，最简单的形式是什么?由于对角矩阵最简单，于是考虑是否任何一个方阵都相似于一个对角矩阵呢?下面我们就来研究这个问题. 如果 n 阶矩阵 a 能相似于对角矩阵，则称a 可对角化 . 现设已找到可逆矩阵p，使 p 1apdiag（1，2，

59、n）.把 p 用其列向量表示为（ 1，2， n） ，由 p 1ap，得 app，即a（p1，p2， pn）（ p1，p2， pn）diag（1，2， n）（ 1 p1，2 p2， n pn）. 于是有a pii pi （i1，2， n）. 可见 p 的列向量 pi就是 a 的对应于特征值 i的特征向量 .又因 p 可逆，所以 p1，p2，pn线性无关 .由于上述推导过程可以反推回去 .因此，关于矩阵a 的对角化有如下结论：定理 5 n 阶方阵 a 可对角化的充分必要条件是：a 有 n 个线性无关的特征向量p1，p2， pn，并且以它们为列向量组的矩阵 p，能使 p 1ap 为对角矩阵 .而且此

60、对角矩阵的主对角线元素依次是与p1，p2，pn对应的 a 的特征值 1，2，n. 现在的问题是：对于任一矩阵a，是否一定存在n 个线性无关的特征向量，答案是否定的，在上节例7 中 a 的特征方程有重根 .但仍能找到3 个线性无关的特征向量，但在例6 中 a 的特征方程亦有重根，却找不到3 个线性无关的特征向量.从而例 6 中矩阵 a 不能与对角矩阵相似. 在矩阵中有一类特殊矩阵，即实对称矩阵是一定可以对角化的，并且对于实对称矩阵a不仅能找到可逆矩阵p， 使得 p 1ap为对角阵，而且还能够找到一个正交矩阵t，使 t 1at 为对角矩阵 . 定理 6 实对称矩阵的特征值都是实数. 证设复数 为实