2022年线性代数知识点总结

1、学习必备欢迎下载线性代数知识点总结第一章行列式1. n 阶行列式121212111212122212121nnnntp ppnppnpp ppnnnnaaaaaadaaaaaa2.特殊行列式1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaada aaa aaa1212nn，1122121n nnn3.行列式的性质定义记111212122212nnnnnnaaaaaadaaa，112111222212nntnnnnaaaaaadaaa，行列式td称为行列式d的转置行列式。性质 1行列式与它的转置行列式相等。性质 2 互换行列式的两行ijrr或列ijcc，行列式变号 。推论

2、如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质 3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()jk rk， 等于用数k乘此行列式；推论 1 d的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到d的外面 ; 推论 2 d中某一行（列）所有元素为零，则=0d。性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaadaaaaa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载111211

3、1112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质 6 把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。计算行列式常用方法：利用定义；利用运算ijrkr把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）展开余子式在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijm。代数余子式1ijijijam记，叫做元素ija的代数余子式。引理一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）( , )

4、i j元外ija都为零，那么这行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijijda a。（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）定理n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaadaaa等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即1122iiiiininda aa aa a，(1,2, )in1122jjjjnjnjda aaaa a或，(1,2, )jn。第二章矩阵1.矩阵111212122211nnmmmnaaaaaaaaaa行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成方阵：行数与列数都等于n 的矩阵 a。 记作： an。行(

5、列 )矩阵： 只有一行 (列 )的矩阵。也称行(列)向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： ab同型 ,且对应元素相等。记作：ab零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作： e注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运

6、算矩阵的加法111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababab说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律1 abba；2abcabc1112121222113,()nnijijm nm nmmmnaaaaaaaaaaaaa设矩阵记，a称为矩阵a的负矩阵40,aaabab 。数与矩阵相乘111212122211,nnmmmnaaaaaaaaaaaaaa数 与矩阵 的乘积记作或规定为数乘矩阵的运算规律（设ab、为mn矩阵，,为数）1aa；2aaa；3abab。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相

7、乘设(b )ijb是一个ms矩阵，(b )ijb是一个sn矩阵，那么规定矩阵a与矩阵b的乘积是一个mn矩阵( c)ijc，其中12121 122jjiiisijijissjsjbba aaa ba ba bb1sikkjka b，1,2,;1,2,im jn，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载并把此乘积记作cab注意1。a 与 b 能相乘的条件是：a 的列数 b的行数。2。矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情况下，abba，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于

8、 n 阶方阵 a 和 b，若 ab=ba，则称 a与 b 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1ab ca bc；2aba bab3 a bcabac，bc abaca4mnnnmmmnmnaeeaa5若 a 是 n 阶方阵，则称ak为 a 的 k 次幂，即kkaa aa个，并且mkm ka aa，kmmkaa,m k为正整数。规定： a0e （只有方阵才有幂运算）注意矩阵不满足交换律，即abba，kkkaba b（但也有例外）转置矩阵把矩阵a的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做a的转置矩阵，记作a，1ttaa；2tttabab；3ttaa；4tttabb a。方阵的行列式由n阶方阵a的元素所构成的

9、行列式，叫做方阵a的行列式，记作a注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是n2个数按一定方式排成的数表，而 n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。1taa；2naa；(3) aba bb aba对称阵设 a 为 n 阶方阵，如果满足a=at，那么 a 称为对称阵。伴随矩阵行 列 式a的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式ija所 构 成 的 如 下 矩 阵112111222212nnnnnnaaaaaaaaaa称为矩阵 a 的伴随矩阵。性质aaa aa e（易忘知识点 ）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的

10、行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵：ab bae，则说矩阵a 是可逆的， 并把矩阵b 称为 a 的逆矩阵。1ab即。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载说明1 a ，b 互为逆阵，a = b-12只对方阵定义逆阵。 （只有方阵才有逆矩阵）3.若 a是可逆矩阵，则a的逆矩阵是唯一的。定理 1 矩阵 a 可逆的充分必要条件是0a，并且当a可逆时，有1*1aaa（重要 ）奇异矩阵与非奇异矩阵当0a时，a称为奇

11、异矩阵，当0a时，a称为非奇异矩阵。即0aaa可逆为非奇异矩阵。求逆矩阵方法*1(1)| 021(3)|aaaaaa先求并判断当时逆阵存在；（ ）求；求。初等变换的应用：求逆矩阵：1(|)|aeea初等行变换。逆矩阵的运算性质1111,aaaa若 可逆 则亦可逆 且1112,0,aaaa若 可逆 数则可逆 且。1113,a bababb a若为同阶方阵且均可逆则亦可逆 且()。114,tttaaaa若 可逆 则亦可逆且。115,aaa若 可逆 则有。3.矩阵的初等变换初等行（列）变换1()ijrr对调两行，记作。20()ikrk以数乘以某一行的所有元素，记作。精品学习资料 可选择p d f -

12、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载3()ijkrkr把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把 “r”换成“c” 。矩阵等价abab如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 （非零行数及矩阵的秩）.00000340005213023012

13、的秩求矩阵br(b)=3 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0. 标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如rm neofoo的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵a 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用求逆矩阵：1(|)|a eea初等行变换或1aeea初等列变换。4. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵m na，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）说明1. 矩阵 amn，则r(a) minm,n; 2. r(a) = r(at); 3. r(a)

14、r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零 ; 4. r(a) r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零 . 满秩和满秩矩阵矩阵ijm naa， 若()r am， 称 a 为行满秩矩阵； 若( )r an，称 a 为列满秩矩阵；,( ),anr ana若 为 阶方阵 且则称 为满秩矩阵。()nar an若阶方阵满秩，即0a；1a 必存在；a为非奇异阵；,.nnaeae必能化为单位阵即精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载矩阵秩的求法定理 1 矩阵 a 经过有

15、限次行(列)初等变换后其秩不变。即若ab，则 r(a)=r(b)。推论()()pqr paqr a若 、可逆，则矩阵秩的性质总结(1)0()min, m nr am n( 2 )()()tr ara(3),abr ar b若则()()pqr p a qr a(4) 若 、可逆，则(5) max( ),( )( ,)( )()()( , )()1.r ar br a br ar bbbr ar ar ab特别当为非零列向量时，有(6)()()()r abr ar b(7)()min( ),( ).r abr ar b(8),()().m nn labor ar bn若则(9)ab=oab=o设，

16、若为列满秩矩阵，则（矩阵乘法的消去率）。第三章1. n 维向量n 个数a1,a2, ,an组成的一个有序数组(a1,a2, ,an) 称为一个n 维向量 ,记为1212()(,).tnnaaa aaa列向量形式 或（行向量形式），其中第i 个数 ai称为向量的第 i 个分量。向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。设矩阵a=(aij)mn有n 个m 维列向量，即11121121222212jnjnmmmjmnaaaaaaaaaaaaa，12na ,a ,aa向量组称为矩阵的列向量组。同理，也可说矩阵a 有 m 个行向量组组成。向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组

17、矩阵：12(,)ma精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载向量方程方程组：11112122122212nn1n2n.mmmmaaabaaabxxxaaab，可简写作1122nnxxx向量方程方程组矩阵形式112212(,)mnnxbxbaxbxb线性组合给定向量组12:,ma和向量b，如果存在一组数12,m，使1122mmb，则向量b 是向量组a 的线性组合 ，这时称 b 向量能由向量组a线性表示 。定理 1 向量 b 能由向量组12:,ma线性表示的充分必要条件是矩阵

18、12(,)maa aa的秩等于矩阵12(,b)mba aa的秩。即 r(a)=r(a,b)。向量组的线性表示设有两个向量组1212:,:,msab及，若 b 组中每个向量都能由向量组a 线性表示，则称向量组b能由向量组a线性表示，若向量组a 与向量组 b 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关给定向量组12m:,a，如果存在不全为零的数12,mk kk使11220mmkkk，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当120mkkk时上式成立，则称向量组a 线性无关。线性相关：可线性组合表示的，线性无关：相互独立，互不代表注意精品学习资料 可选择p d f - - -

19、- - - - - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。3.,0,0,向量组只有一个向量时 若则说线性相关若则说线性无关。4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得1200000nk线性相关性的判定定理向量组12,m（当2m时）线性相关的充分必要条件是12,m中至少有一个向量可由其余m-1 个向量线性表示定理 4 向 量 组12:,ma a aa线

20、 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 所 构 成 的 矩 阵12(,)maa aa小于向量的个数m，向量组线性无关的充分必要条件是r（a） =m。最大线性无关向量组设有向量组a，如果在a 中能选出r 个向量12,r，满足：0121:,ra（）向量组线性无关；(2)向量组 a 中任意 r +1 个向量 (如果有的话 )都线性相关；则称向量组012:,ra是向量组a 的一个最大线性无关向量组。(2)*向量组 a 中任何一个 (其它)向量可由012:,ra线性表示。第四章 线性方程组的解线性方程组1111221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa

21、 xa xbaxaxaxb如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容的。n 元齐次线性方程组ax=0 （1）r(a) = n ax=0 有唯一解，零解（无非零解）（2）r(a) n ax=0 有非零解 . n 元非齐次线性方程组axb（1）无解的充分必要条件是(a)r(a, b)r（2）有唯一解的充分必要条件是(a)r(a,b)nr（3）有无限多解的充分必要条件是(a)r(a,b)nr基础解系齐次线性方程组0ax的通解具有形式1122xcc(c1, c2为任意常数 )，称精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载通解式112212,xccc c 为任意常数中向量12,构成该齐次线性方程组的基础解系。非齐次线性