2022年线性代数试卷及答案详解

1、第1 页共6 页 线性代数 a 试题（ a 卷）试卷类别： 闭卷考试时间： 120分钟考 试 科 目 ： 线 性 代 数考 试 时 间 ：学 号 ：姓名：题号一二三四五六七总分得分阅卷人一单项选择题（每小题3 分，共 30 分）1设a经过初等行变换变为b，则（）.(下面的( ), ()r ar b分别表示矩阵,a b的秩 )。()a()()r ar b；()b()()r ar b；()c()()r ar b；()d无法判定()r a与( )r b之间的关系。2设a为 (2)nn阶方阵且| 0a，则（） 。()aa中有一行元素全为零；()ba有两行（列）元素对应成比例；()ca中必有一行为其余行

2、的线性组合；()da的任一行为其余行的线性组合。3. 设,a b是n阶矩阵 (2n), abo,则下列结论一定正确的是: ()( ) ;aaobo或( )axbb的每个行向量都是齐次线性方程组=o 的解 .();cbao()( )( ).dr ar bn4下列 不是n维向量组12,.,s线性无关的充分必要条件是（）()a存在一组不全为零的数12,.,sk kk使得1122.sskkko；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

3、- - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -第2 页共6 页()b不存在一组不全为零的数12,.,sk kk使得1122.sskkko12(),.,sc的秩等于s；12(),.,sd中任意一个向量都不能用其余向量线性表示5设n阶矩阵(3)n1.1.1aaaaaaaaaa，若矩阵a的秩为1n，则a必为（） 。()a1；()b11n；()c1；()d11n. 6四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于（） 。()a12341234a a a abb b b；()b12341234a a a abb b b；()c12123434()(

4、)a ab ba ab b；()d23231414()()a ab ba abb. 7设a为四阶矩阵且ab，则a的伴随矩阵*a的行列式为（） 。()ab；()b2b；()c3b；()d4b8设a为n阶矩阵满足23naaio，ni为n阶单位矩阵 ,则1a（）() nai ；()3nbai；()3ncai；()d3nai9设a，b是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（） 。()aa与b的秩相同；( )ba与b的特征值相同；()ca与b的特征矩阵相同；()da与b的行列式相同；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - -

5、 - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -第3 页共6 页10设a为n阶矩阵 ,则a以0为特征值是0a的（） 。()a充分非必要条件；()b必要非充分条件；()c既非充分又非必要条件；()d充分必要条件；二填空题（每小题3 分，共 18 分）1计算行列式0004004304324321。2. 100123100010456001001789010_ 。3二次型123122331(,)f x xxx xx xx x对应的对称矩阵为。4已知1(0,0,1)，22222(,

6、0)，22322(,0)是欧氏空间3?的一组标准正交基，则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为。5已知矩阵74147144ax的特征值为123(),12,二重则x_。6设123,均为 3 维列向量，记矩阵123,a，123123(,24b123,39)。如果| 1a，则|b。三 (8 分) 23121120 ,10 ,10331abaxb, 求x。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共

7、9 页 - - - - - - - - -第4 页共6 页四 （10 分）设向量组1(1,1,2,3)t，2(1, 1,1,1)t，3(1,3,3,5)t，4(4,2,5,6)t，5( 3, 1, 5, 7)t。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。五 （12 分）讨论线性方程组123123123211xxpxxpxxpxxx解的情况， 并在有无穷多解时求其解。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

8、- - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -第5 页共6 页六 （14 分）设124222421a， （1） 、求出a的所有特征值和特征向量；（2） 、求 正交 矩阵t，使得1tat为对角矩阵。七 （8 分）对任意的矩阵a,证明：(1) taa为对称矩阵 , taa为反对称矩阵；(2) a可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。线性代数 a参考答案（ a 卷）一、单项选择题（每小题3 分，共 30 分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b c d a b d c c c d 二、填空题（每小题3 分，共 18分）精品学习资料 可选择p d f -

9、 - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -第6 页共6 页1、 256；2、132465798；3、112211221122000；4、1,2,0；5、 4；6、 2 。三 解： 因为矩阵 a 的行列式不为零,则 a 可逆 ,因此1xa b.为了求1a b,可利用下列初等行变换的方法：23121120101201 01201023121011411 0331103310232110

10、2721002781002780114101 0144010144001103001103001103（6 分）所以1278144103xa b.（ 8 分）四解：对向量组12345,作如下的初等行变换可得：1234511143111431132102262(,)213550113131567022621114310212011310113100000000000000000000（ 5 分）从 而12345,的 一 个 极 大 线 性 无 关 组 为12,， 故 秩12345,2（8 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共

11、9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -第7 页共6 页且3122，4123，5122（ 10 分）五解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：221121121121110113011311101112002421120113400(2)(1)42ppppppppppppppppppppp(分)(1) 当10,(2)(1)0,ppp且时即1,2,pp且时系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.（ 5 分）(2) 当1,p时系 数 矩 阵

12、 的 秩 为1,增 广 矩 阵 的 秩 为2,此 时 方 程 组 无解.（ 6 分）(3) 当2,p时此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为1122112211221211033301112111033300001011011180000（ 分）故原方程组与下列方程组同解: 132311xxxx令30,x可得上述非齐次线性方程组的一个特解0( 1, 1,0)t; 它对应的齐次线性方程组132300 xxxx的基础解系含有一个元素,令精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - -

13、- -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -第8 页共6 页31,x可得1(1,1,1)t为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系 . 此时原方程组的通解为001101,.kkkk这里为任意常数（ 12分）六解：（1）由于a的特征多项式2124|222(3) (6)421ia故a的特征值为13（二重特征值） ，36。（ 3 分）当13时，由1()ia xo，即：123424021204240 xxx得基础解系为12 1,2,0 , 1,0,1tt，故属于特征值13的所

14、有特征向量为1122kk,12,k k不全为零的任意常数。（ 6 分）当36时，由3()ia xo，即：123524028204250 xxx得基础解系为32,1,2t，故属于特征值26的所有特征向量为33k,3k为非零的任意常数。-(8分)(2)将12,正交化可得：211122111,42 1,2,0 ,1,55tt。再将其单位化得：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -第9 页共6 页1212125 2 54 52 55,0,5515153tt将3单位化得：32 1 2,3 3 3t。（ 12 分）则123,是a的一组单位正交的特征向量，令545251532525112351535233,0t则t是一个正交矩阵，且1336tat。（14 分）七证明：(1) 因为()()ttttttaaaaaa, 因此taa为对称矩阵。（ 2 分）同 理 , 因 为()()()tttttttaaaaaaaa, 因 此taa为反对称矩阵。（4 分）(2) 因为11()(