分类计数原理和分步计数原理推荐课件

1、2021/8/2212021/8/2222021/8/223甲甲1. 分类加法计数原理分类加法计数原理问题问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有汽车。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班。那么班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？多少种不同的走法？乙乙火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 3汽汽 车车 1汽汽 车车 23+2=5(种）种）2021/8/224分类加法计数原理分类加法计数原理: 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法，在第，在第1类办法中类办法中

2、有有m1 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中有类办法中有 m2 种种不同的方法，不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不种不同的方法，那么完成这件事共有同的方法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn种不同的方法种不同的方法2021/8/225火火 车车 2火火 车车 1火火 车车 32. 分步乘法计数原理分步乘法计数原理问题问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种

3、不同的走法？从甲地到乙地共有多少种不同的走法？ 甲甲乙乙丙丙汽汽 车车 2汽汽 车车 1种）(6232021/8/226分步乘法计数原理分步乘法计数原理注注意意分类计数原理分类计数原理与与分步计数分步计数 原理原理 的的区别区别在于在于:分类计数原理是分类计数原理是“完成完成”某件事可分几类；某件事可分几类；而分步计数原理则是而分步计数原理则是“分几步完成分几步完成” “一件一件事事”。完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤个步骤，做第，做第1步步有有m 1 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2 种不种不同的方法，同的方法，做第，做第n步有步有 mn 种不同的方种不同的

4、方法，那么完成这件事共有法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn种不同的方法。种不同的方法。2021/8/227例题例题1 1、 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，第本不同的计算机书，第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本不同本不同的体育书。的体育书。（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多少有多少 种不同的取法种不同的取法?注意区别注意区别“分类分类”与与“分分步步”2021/8/228解解 : (1)从第从第1层任取一本层任取一本,有有4

5、种取法种取法;从第从第2层任取一本层任取一本,有有3种取法种取法;从第从第3层任取一本层任取一本,有有2种取法种取法,共有共有 4+3+2=9种取法。种取法。答：从书架上任意取一本书，有答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。种不同的取法。(2) 从书架的从书架的1 、 2 、 3层各取一本书层各取一本书,需要分三步完成需要分三步完成, 第第1步步,从第从第1层取层取1本书本书,有有4种取法种取法;第第2步步,从第从第2层取层取1本书本书,有有3种取法种取法;第第3步步, 从第从第3层取层取1本书本书,有有2种取法种取法.由分步计数原理由分步计数原理知知,共有共有 432=24种取法。种取

6、法。答：从书架上的第答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有层各取一本书，有24种不同的取种不同的取法。法。分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏分步时做到不缺步分步时做到不缺步2021/8/229例例3 同时掷两个骰子，计算：同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是）向上的点数之和是5的概率是多少？的概率是多少？ 解：解：（1）掷一个骰子的结果有）掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标种，我们把两个骰子标上记号上记号1，2以便区分，它总共出

7、现的情况如下表所示：以便区分，它总共出现的情况如下表所示：（6，6）（6，5）（6，4）（6，3）（6，2）（6，1）（5，6）（5，5）（5，4）（5，3）（5，2）（5，1）（4，6）（4，5）（4，4）（4，3）（4，2）（4，1）（3，6）（3，5）（3，4）（3，3）（3，2）（3，1）（2，6）（2，5）（2，4）（2，3）（2，2）（2，1）（1，6）（1，5）（1，4）（1，3）（1，2）（1，1）从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有从表中可以看出同时掷两个骰子的结果共有36种。种。（4，1）（3，2）（2，3）（1，4）6543216543211号骰子号骰子 2号骰子号骰子

8、2021/8/2210A41A369P所所包包含含的的基基本本事事件件的的个个数数（）基基本本事事件件的的总总数数（3）由于基本事件的总数为）由于基本事件的总数为36，记事件，记事件A为为“向上点向上点数之和为数之和为5”，则事件，则事件A包含的基本事件的个数为包含的基本事件的个数为4，由，由古典概型的概率公式，得古典概型的概率公式，得（2）在上面的结果中，向上的点数之和为）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有的结果有 （1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1） 4种种。 答：向上的点数之和是答：向上的点数之和是5的概率是的概率是 。192021/8/2211例例3 同时掷两个骰子，

9、计算：同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？的结果有多少种？ （3）向上的点数之和是）向上的点数之和是5的概率是多少？的概率是多少？ 解：解：（1）一共有）一共有66=36种不同的结果种不同的结果.2021/8/2212A41A369P所所包包含含的的基基本本事事件件的的个个数数（）基基本本事事件件的的总总数数（3）记事件）记事件A为为“向上点数之和为向上点数之和为5”，由于基本事件的总数为由于基本事件的总数为36，且事件，且事件A包含的基本事件包含的基本事件的个数为的个数为4，由古典

10、概型的概率公式，得，由古典概型的概率公式，得（2）在上面的结果中，向上的点数之和为）在上面的结果中，向上的点数之和为5的结果有的结果有 （1，4）,（2，3）,（3，2）,（4，1） 4种种。 答：向上的点数之和是答：向上的点数之和是5的概率是的概率是 。192021/8/22131、 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在位上的数字可在0到到9这十个数字中选取这十个数字中选取假设一人完全忘记了自己的储蓄卡上密码，问假设一人完全忘记了自己的储蓄卡上密码，问他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少

11、？的概率是多少？2021/8/2214解：解：这是一个古典概型。这是一个古典概型。 基本事件的总数是基本事件的总数是10101010=10000种，种， 记记 事件事件A=能取到钱能取到钱，则，则A包含的基本包含的基本 事件个数为事件个数为1。 P(A) =110000答：答：他到自动取款机上随机试一次密码就能取他到自动取款机上随机试一次密码就能取 到钱的概率是到钱的概率是 。1100002021/8/22152、 储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每储蓄卡上的密码是一种四位数字号码，每位上的数字可在位上的数字可在0到到9这十个数字中选取这十个数字中选取某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他

12、某人未记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，在使用这张卡时如果前三位号码仍按本卡密码，而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密而随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？码的概率是多少？2021/8/2216解：解：这是一个古典概型。这是一个古典概型。 P(A) =110答：答：他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是是1.1 0他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱记记 事件事件A=基本事件的总数是基本事件的总数是11110=10种，种，则则A包含的基本事件个数为包含的基本事件个数为12

13、021/8/2217例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘个拨号盘,每个拨号盘上有从每个拨号盘上有从0到到9共共10个数字个数字,这这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 本题的本题的特点特点是是数字可以重复使用，数字可以重复使用，例如例如00000000，11111111，12121212等等，与分步计数原理比较，这里完成每等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数一步的方法数 m=10m=10，有，有n=4n=4个步骤个步骤, ,结果是总个数结果是总个数N=10101010=104 解解：由于号码锁的每个拨号盘有：由于号码锁的每个拨号盘有0

14、到到9这这10个数字，每个个数字，每个拨号盘的数字有拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，种取法。根据分步计数原理，4个拨个拨号盘上各取号盘上各取1个数字组成的号码个数是个数字组成的号码个数是 答：可以组成答：可以组成10000个四位数字号码。个四位数字号码。N=104 。2021/8/22183、5本不同的语文书，本不同的语文书，4本不同的数学书，从中取出本不同的数学书，从中取出2本，本，一共有一共有 种不同的取法；取出的书恰种不同的取法；取出的书恰好都是数学书，一共有好都是数学书，一共有 中不同的取法；中不同的取法；取出的书至少有一本是数学书，共有取出的书至少有一本是数学书，共有 种

15、不同的取法种不同的取法 2、在、在5个红球与个红球与3个白球的袋子中任摸个白球的袋子中任摸3球，一共有球，一共有 种不同的摸法。种不同的摸法。 1、 连续抛掷两枚骰子，一共有连续抛掷两枚骰子，一共有 种种不同的结果。不同的结果。练练 习习 66=36 876=336 98=72 43=124 45+ 54 +43=52注意：注意：;36289 436;2 4 55 44 326;2 2021/8/22196、四名研究生各从、四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一三位教授中选一位作自己的导师，共有位作自己的导师，共有_种选法；三名教种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共授各从四

16、名研究生中选一位作自己的学生，共有有_种选法。种选法。5、 在在120共共20个整数中取两个数相加个整数中取两个数相加,使其使其和为偶数的不同取法共有多少种和为偶数的不同取法共有多少种?答答.：(109+109)/2=90（种）（种）.43 4、某中学的一幢、某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯口处楼梯口,问从问从1楼到楼到5楼共有多少种不同的走法楼共有多少种不同的走法?答：答： 3333=34=81（种）（种） 34 2021/8/2220例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？选法？

17、解解：先选先选1名上日班，共有名上日班，共有3种选法；再种选法；再选选1名名上晚班，有上晚班，有2种选法，根据分步计数原理种选法，根据分步计数原理,所所求的不同的选法数是求的不同的选法数是 . 623N答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。2021/8/2221 日班日班 晚班晚班甲乙丙丙乙甲乙甲丙相应的排法相应的排法不同排法如下图所示不同排法如下图所示甲甲 乙乙 甲甲 丙丙乙乙 甲甲 乙乙 丙丙丙丙 甲甲丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班2021/8/2222例例4 :满足满足 A B=1,2的集合的集合A ,B共有多少种共有多少种?解法一：解法一： A, B均是均是1,2的子集的子集:,1

18、,2,1,2,但但不是随便两个子集搭配都行不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含本题犹如含A B的的 两元不定方程两元不定方程,其全部解分为四类其全部解分为四类:1. 当当A=时时,只有只有B=1,2得得1组解组解; 2. 当当A=1时时,B=2或或1,2,得得2组解组解; 3. 当当A=2时时,B=1或或1,2,得得2组解组解;备选例题备选例题4. 当当A=1,2时时,B=或或1或或2或或1,2,得得4组解组解 由加法原理由加法原理,共有共有1+2+2+4=9组解组解2021/8/2223解法解法2: 设设A,B为两个为两个“口袋口袋”,需将两种元素需将两种元素(1与与2)装入装入,任任一一元素至少装入一个袋中，分两步可办好此事元素至少装入一个袋中，分两步可办好此事:第第1步步装装“1”,可装入可装入A不装入不装入B,也可装入也可装入B不装入不装入A