探究型教学探析有限元法处理两点边值问题

1、探究型教学探析有限元法处理两点边值问题摘要本文介绍偏微分方程数值解法课程的教学 内容和一些体会，通过一个具体例题详实地讲解有限元法理 论基础与编程实现的过程，利用理论阐述和研究展示，从理 论分析和数值实验两方面讲解有限元法数值解的稳定性和 收敛性，进而通过数值分析达到研究型教学的良好效果。关键词 研究型教学偏微分方程有限元法实例演示 中图分类号：tu311文献标识码：aresearch teaching to discuss fem treatment boundary value problemsjiang shan(school of mathematical sciences , yan

2、gzhou university, yangzhou, jiangsu 225002)abstract this article describes the numerical solution of partial differential equations course content and some experience, through a detailed and specific example to explain the theoretical basis of the finite eleme nt met hod and the programming process,

3、 the use of theoretical explanations and research shows, from the theoretical analysis and numerical experiments both to explain the limited element method for the numerical solution of the stability and convergence , and then through research teaching numerical analysis to achieve good resultskey w

4、ords research teaching； partial differential equations ； finite element method ； examples presentation0引言偏微分方程数值解法主要介绍求解偏微分方程 的有限元法与有限差分法两大体系。通过学习经典数值 解法，循序渐进地掌握其基本思路和技巧，加深对数值解的 重要性和必要性的认识，了解如何在计算机上实现求解偏微 分方程定解问题，培养解决实际问题的能力，为今后在专业 工作中应用科学计算这一重要研究手段打下基础。 数值解法的两大体系中，有限元法先将原微分方程转化 为相应的变分问题（可利用极小位能原理或虚

5、功原理实现 之），进而对区域进行网格剖分选取等参仿射基函数构造有 限元空间，最后形成总刚度矩阵方程组并求解之。整个过程 理论基础详实，过程系统规范，便于程序化实现，但本科生 普遍感觉有难度。相对而言，有限差分法直接从原问题的微 分形式出发，用数值微商公式构造相应的差分格式，导出离 散化线性代数方程组并求解之。有限差分法大部分本科生感 觉更易理解和掌握。作者在实际亲历教学过程中，感受到高等院校大学生一 方面对于解决实际问题的强烈兴趣，另一方面因受限于知识 基础与动手编程能力，往往造成学习兴趣高而学习效果不 佳。这里，作者以一维边值问题采用有限元法为具体例子入 手，通过课堂讲解和实验编程，突出体现有限元法的理论学 习和编程运行，并在教学和实践环节取得很好的教学效果。1两点边值问题的手工计算与数值编程例用线性元求边值问题：，分别通过手工计算（取剖分 数二2）与计算机编程（取更大剖分数）求问题的数值解。（该题真解为（