2022年续61套中考压轴题分类解析汇编几何综合问题2

1、全国中考数学（续61 套）压轴题分类解析汇编专题 9：几何综合问题24. （2012 湖北恩施12 分）如图，ab 是 o 的弦， d 为 oa 半径的中点， 过 d 作 cdoa交弦 ab 于点 e，交 o 于点 f，且 ce=cb （1）求证： bc 是 o 的切线；（2）连接 af，bf，求 abf 的度数；（3）如果 cd=15，be=10，sina=513，求 o 的半径【答案】 解： （1）证明：连接ob，ob=oa ，ce=cb ， a= oba ， ceb=abc 。又 cdoa， a+ aed= a+ ceb=90 。 oba+ abc=90 。 obbc。bc 是 o 的切

2、线。（2）连接 of，af，bf，da=do ，cdoa ， oaf 是等边三角形。 aof=60 。 abf=12 aof=30 。（3）过点 c 作 cgbe 于点 g，由 ce=cb ，eg=12be=5。易证 rtade rtcge，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 26 页 - - - - - - - - -sinecg=sin a=513，eg5ce=135sinecg13。2222cgceeg13512。又 cd=15，ce=13， de=2，由 rtade rtcge 得addecgge，即ad2125，解得

3、24ad5。 o 的半径为2ad=485。【考点】 等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接 ob，有圆的半径相等和已知条件证明obc=90 即可证明 bc 是 o 的切线。（2）连接 of，af，bf，首先证明oaf 是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出abf 的度数。（3）过点 c 作 cgbe 于点 g，由 ce=cb，可求出eg=12be=5，由rt ade rtcge 和勾股定理求出de=2 ，由 rtade rtcge 求出 ad 的长，从而求

4、出 o 的半径。25. （2012 黑龙江哈尔滨10 分）已知： 在 abc 中，acb=900 ，点 p 是线段 ac 上一点，过点 a 作 ab 的垂线，交 bp 的延长线于点m， mn ac 于点 n， pqab 于点 q， a0=mn （1）如图 l，求证： pc=an ；（2） 如图 2，点 e是 mn 上一点，连接ep 并延长交bc 于点 k，点 d 是 ab 上一点，连接 dk ， dke= abc ，efpm 于点 h，交 bc 延长线于点f，若 np=2，pc=3，ck ：cf=2：3，求 dq 的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

5、- - - 第 2 页，共 26 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）证明： ba am ，mn ap， bam=anm=90。 paq+man= man+ amn=90 ， paq=amn 。pqab mn ac， pqa= anm=90 。 aq=mn。 aqp mna （asa） 。an=pq ，am=ap 。 amb= apm 。 apm= bpcbpc+pbc=90 ，amb+ abm=90 ， abm= pbc。pqab，pcbc， pq=pc（角平分线的性质） 。 pc=an 。（2） np=2 pc=3，由（ 1）知 pc=an=3 。 ap=nc=5

6、，ac=8 。am=ap=5 。22aqmnaman4。 paq=amn ， acb= anm=90 ， abc= man 。mn 4tan abctanmanan3。actan abcbc， bc=6。ne kc， pen=pkc。又 enp=kcp， pne pck 。nenpckpc。ck ：cf=2： 3，设 ck=2k ，则 cf=3k。ne22k3，4nek3。过 n 作 nt ef 交 cf 于 t，则四边形ntfe 是平行四边形。ne=tf=4k3， ct=cf tf=3k 45k=k33。ef pm， bfh+ hbf=90 =bpc+hbf 。 bpc=bfh。ef nt，

7、 ntc= bfh= bpc。bctan ntctanbpc2pc。nctan ntc2ct，15ctnc=22。ct=55k=32。3k=2。 ck=232=3，bk=bc ck=3 。 pkc+ dkc= abc+ bdk ， dke= abc ， bdk= pkc。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 26 页 - - - - - - - - -pctan pkc1kc。 tanbdk=1 。过 k 作 kg bd 于 g。tanbdk=1 ，tanabc=43，设 gk=4n ，则 bg=3n，gd=4n 。bk=5n=

8、3 ， n=35。 bd=4n+3n=7n=215。22abacbc10，aq=4 ， bq=ab aq=6 。dq=bq bd=6 219=55。【考点】 相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（1）确定一对全等三角形aqp mna ，得到 an=pq ；然后推出bp 为角平分线，利用角平分线的性质得到pc=pq；从而得到pc=an 。（2）由已知条件，求出线段kc 的长度，从而确定pkc 是等腰直角三角形；然后在 bdk 中，解直角三角形即可求得bd 、dq 的长度。26. （2012 湖北

9、十堰10 分） 如图 1， o 是 abc 的外接圆， ab 是直径， odac，且cbd= bac ，od 交 o 于点 e（1）求证： bd 是 o 的切线；（2）若点 e 为线段 od 的中点，证明：以o、a、c、e 为顶点的四边形是菱形；（3）作 cfab 于点 f，连接 ad 交 cf 于点 g（如图 2） ，求fgfc的值【答案】 解： （1）证明： ab 是 o 的直径， bca=90 。 abc+ bac=90 。又 cbd= bac， abc+ cbd=90 。 abd=90 。obbd 。 bd 为 o 的切线。（2）证明：如图，连接ce、oc，be，精品学习资料 可选择p

10、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 26 页 - - - - - - - - -oe=ed ， obd=90 ， be=oe=ed 。 obe 为等边三角形。boe=60 。又 odac， oac=60 。又 oa=oc ， ac=oa=oe 。 acoe 且 ac=oe 。四边形oace 是平行四边形。而 oa=oe ，四边形oace 是菱形。（3） cfab， afc= obd=90 。又 odac， caf= dob 。 rtafc rt obd。fcafbdob，即bd affcob。又 fgbd， afg abd 。fgafbdab，即b

11、d affgab。fgob1fcab2。【考点】 圆的综合题，圆周角定理，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定和性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由ab 是 o 的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到bca=90 ，则abc+ bac=90 ，而 cbd= ba，得到 abc+ cbd=90 ，即ob bd ，根据切线的判定定理即可得到bd 为 o 的切线。（ 2）连接ce 、 oc， be，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到be=oe=ed ，则 obe 为等边三角形，于是boe=60 ，又因为 a

12、cod，则 oac=60 ，ac=oa=oe ，即有 ac oe 且 ac=oe ， 可得到四边形oace 是平行四边形， 加上 oa=oe ，即可得到四边形oace 是菱形。（3）由 cfab 得到 afc= obd=90 ，而 odac，则 caf= dob，根据相似三角形的判定易得rtafc rtobd ，则有fcafbdob，即bd affcob，再由fgbd 易证得afg abd ，则fgafbdab，即bd affgab，然后求 fg 与 fc 的比即可。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 26 页 - - - -

13、 - - - - -27. （2012 江苏镇江11 分）等边 abc 的边长为2，p 是 bc 边上的任一点（与b、c 不重合） ，连接 ap，以 ap 为边向两侧作等边apd 和等边 ape，分别与边ab、ac 交于点m、n（如图 1） 。（1）求证： am=an ；（2）设 bp=x。若， bm=38，求 x 的值；记四边形adpe 与 abc 重叠部分的面积为s，求 s 与 x 之间的函数关系式以及s 的最小值；连接 de，分别与边ab、ac 交于点 g、h（如图 2） ，当 x 取何值时， bad=150？并判断此时以 dg、gh、he 这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请

14、说明理由。【答案】 解： （1）证明：abc 、 apd 和 ape 都是等边三角形，ad=ap，dap= bac=600，adm= apn=600。 dam= pan。 adm apn（ asa ） ， am=an 。（2）易证 bpm cap，bmbpcpca，bn=38， ac=2 ，cp=2x，3x82x2，即24x8x+3=0。解得 x=12或 x=32。四边形 ampn 的面积即为四边形adpe 与 abc 重叠部分的面积。 adm apn，admapnss。apmanpapmadmadpampnsss sss四形边。如图，过点p 作 psab 于点 s，过点 d 作 dtap 于

15、点 t，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 26 页 - - - - - - - - -点 t 是 ap 的中点。在 rtbps 中， p=600，bp=x，ps=bpsin600=32x， bs=bpcos600=12x。ab=2 ， as=ab bc=212x。22222213apas ps2x+x=x2x+422。2adp1133sap dtapap=ap2224。222adpampn3333 3sssapx2x+4x1+0 x24444四形边。当 x=1 时， s 的最小值为3 34。连接 pg，设 de 交 ap

16、于点 o。若 bad=150， dap =600， pag =450。 apd 和 ape 都是等边三角形，ad=dp=ap=pe=ea 。四边形adpe 是菱形。do 垂直平分ap。gp=ag 。 apg = pag =450。 pga =900。设 bg=t ，在 rtbpg 中， b=600， bp=2t，pg=3t。 ag=pg=3t。3t+t=2，解得 t=31。 bp=2t=232。当 bp=232 时， bad=150。猜想：以 dg、gh、he 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。四边形adpe 是菱形， ao de， ado= aeh=300。精品学习资料 可选择p d

17、f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 26 页 - - - - - - - - - bad=150，易得 ago=450， hao=150， eah=450。设 ao=a，则 ad=ae=2 a ，od=3a。dg=do go=（3 1）a。又 bad=150，bac=600，ado=300， dha= dah=750。dh=ad=2a ，gh=dh dg=2a（31） a=（33）a，he=2do dh=23a2a=2（3 1）a。22222dggh31 a+33 a= 168 3 a，222he231 a= 168 3 a，222dgghhe。以 dg

18、、gh、he 这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。【考点】 等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程， 锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值， 菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。【分析】 （1） 由 abc 、 apd 和 ape 都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用 asa证明。（2）由 bpm cap ，根据对应边成比例得等式，解方程即可。应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得adpampnss四形边，用 x 的代数式表示s，用二次函数的最值原理求出s 的最小值。由 bad=150得到四边形adpe

19、是菱形，应用相关知识求解。求出 dg、 gh、he 的表达式，用勾股定理逆定理证明。28. （2012 福建三明14 分） 在正方形abcd 中，对角线ac ，bd 交于点 o，点 p 在线段bc 上（不含点b） ， bpe12acb ，pe交 bo 于点 e，过点 b 作 bfpe，垂足为f，交 ac 于点 g（1） 当点 p 与点 c 重合时（如图） 求证： bog poe； （ 4分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 26 页 - - - - - - - - -（2）通过观察、测量、猜想：bfpe= ，并结合图证明你的

20、猜想；（5 分）（3）把正方形abcd 改为菱形，其他条件不变（如图），若 acb= ，求bfpe的值 （用含 的式子表示）（5 分）【答案】 解： （1）证明：四边形abcd 是正方形， p 与 c 重合，ob=op ， boc=bog=90 。pfbg ， pfb=90 ， gbo=90 bgo，epo=90 bgo。 gbo=epo 。 bog poe（aas ） 。（ 2）bf1pe2。证明如下：如图，过p 作 pm/ac 交 bg 于 m，交 bo 于 n， pne= boc=900， bpn= ocb。 obc=ocb =450， nbp= npb。 nb=np 。 mbn=900

21、bmn ， npe=900bmn ， mbn= npe。 bmn pen（asa） 。 bm=pe 。 bpe=12 acb ， bpn=acb ， bpf=mpf。pfbm ， bfp=mfp=900。又 pf=pf， bpf mpf（asa ） 。 bf=mf ，即 bf=12bm 。 bf=12pe， 即bf1pe2。（ 3）如图，过p作 pm/ac 交 bg 于点 m，交 bo 于点 n， bpn=acb= ， pne=boc=900。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 26 页 - - - - - - - - -由（

22、 2）同理可得bf=12bm ， mbn= epn。 bnm= pne=900， bmn pen。bmbnpepn。在 rtbnp 中，bntan=pn， bm=tanpe，即2bf=tanpe。bf1=tanpe2。【考点】 几何综合题， 正方形和菱形的性质，平行的性质， 全等、 相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由正方形的性质可由aas 证得 bog poe。（2）过 p 作 pm/ac 交 bg 于 m，交 bo 于 n，通过 asa 证明 bmn pen得到 bm=pe ，通过 asa 证明 bpf mpf 得到 bf=mf ，即可得出bf1pe2的结论。（3）过

23、 p 作 pm/ac 交 bg 于点 m，交 bo 于点 n，同（ 2）证得 bf=12bm ，mbn= epn，从而可证得bmn pen，由bmbnpepn和 rtbnp 中bntan=pn即可求得bf1=tanpe2。29. （2012 辽宁沈阳12 分） 已知，如图，mon=60 ，点 a， b 为射线 om，on 上的动点（点 a，b 不与点 o 重合），且 ab=34，在 mon 的内部、 aob 的外部有一点p，且 ap=bp ， apb=120 . （1）求 ap 的长；（2）求证：点p 在 mon 的平分线上；（3） 如图，点c，d，e，f 分别是四边形aobp 的边 ao，

24、ob，bp，pa 的中点，连接 cd， de，ef，fc，op. 当 ab op 时，请直接写出四边形cdef 的周长的值；若四边形cdef 的周长用t 表示，请直接写出 t 的取值范围精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 26 页 - - - - - - - - -【答案】 解：(1) 过点 p 作 pqab 于点 q pa=pb， apb=120 ，ab=43，aq=12ab=12 43=23， apq=12 apb=12 120 =60 。在 rtapq 中，sin apq=aqapap= aq2 32 3sinapqs

25、in60324。（2） 证明：过点 p 分别作 psom 于点 s， pton 于点 t， osp=otp=90 。在四边形ospt中，spt=360 -osp-sot-otp=360 -90 -60 -90 =120 ， apb= spt=120 。 aps=bpt。又 asp=btp=90 ， ap=bp， aps bpt （ aas ） 。 ps=pt。点 p 在 mon 的平分线上。（3） 8+43 4+43t 8+43。【考点】 等腰三角形的，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，点在角平分线上的判定，三角形中位线定理【分析】 （1）过点p

26、作pqab于点q根据等腰三角形的“ 三线合一” 的性质推知aq=bq=12ab ，然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得ap 的长度。（2）作辅助线ps、pt（过点 p 分别作 psom 于点 s，pton 于点 t）构建全等三角形 aps bpt； 然后根据全等三角形的性质推知ps=ot；最后由角平分线的性质推知点 p在 mon 的平分线上。（3）利用三角形中位线定理知四边形cdef 的周长的值是op+ab 。当 ab op 时，根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得op 的长度；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1

27、1 页，共 26 页 - - - - - - - - -当 abop 时， op 取最大值，即四边形cdef 的周长取最大值；当点a 或 b与点 o 重合时，四边形cdef 的周长取最小值，据此写出t 的取值范围。30. （2012 辽宁大连12 分） 如图 1，梯形 abcd 中，ad bc， abc 2bcd 2 ，点e 在 ad 上，点 f 在 dc 上，且 bef= a. （1） bef=_( 用含 的代数式表示 )；（2）当 ab ad 时，猜想线段ed、ef 的数量关系，并证明你的猜想；（3）当 ab ad 时，将 “ 点 e 在 ad 上” 改为 “ 点 e 在 ad 的延长线上

28、，且aeab ，ab mde，ad nde” ，其他条件不变（如图2） ，求ebef的值（用含m、 n 的代数式表示） 。【答案】 解： （1）180 2 。（2）eb=ef 。证明如下：连接 bd 交 ef 于点 o，连接 bf。ad bc， a=180 -abc=180 2 ，adc=180 c=180 - 。ab=ad ， adb=12（180 a）= 。 bdc= adc adb=180 2 。由（ 1）得： bef=180 2=bdc。又 eob=dof， eob dof。oeob=odof，即oeo d=obo f。 eod=bof， eod bof。 efb=edo= 。 ebf

29、=180 bef efb= = efb。 eb=ef 。（3） 延长 ab 至 g，使 ag=ae ，连接 be，ge，则 g= aeg=1801802180a=22。ad bc， edf= c= ， gbc= a， deb= ebc。 edf= g。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 26 页 - - - - - - - - - bef= a， bef= gbc。 gbc+ebc= deb+ bef，即 ebg=fed。 def gbe 。ebbg=efde。ab=mde ， ad=nde ， ag=ae= （n+1）de

30、。bg=ag ab= （n+1）demde=（n+1m）de。ebn1mde=n1mefde（）。【考点】 梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）由梯形 abcd 中，ad bc， abc=2 bcd=2 ，根据平行线的性质，易求得 a 的度数，又由bef= a，即可求得 bef 的度数：梯形 abcd 中，ad bc， a+abc=180 。 a=180 abc=180 2 。又 bef= a， bef=a=180 2 。（2）连接 bd 交 ef 于点 o，连接 bf，由 ab=ad ，易证得 eob dof，根据相似三角形的对应边成比例，可得o

31、eob=odof，从而可证得 eod bof，又由相似三角形的对应角相等，易得ebf= efb= ，即可得eb=ef 。（3）延长ab 至 g，使 ag=ae ，连接 be，ge，易证得 def gbe，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得ebef的值。31. （2012 辽宁鞍山12 分）如图， 正方形 abco 的边 oa、oc 在坐标轴上， 点 b 坐标（3，3） ，将正方形abco 绕点 a 顺时针旋转角度 （0 90 ） ，得到正方形adef ，ed 交线段 oc 于点 g，ed 的延长线交线段bc 于点 p，连 ap、ag（1）求证： aog adg ；（2）求 pag 的度数

32、；并判断线段og、pg、bp 之间的数量关系，说明理由；（3）当 1=2 时，求直线pe 的解析式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 26 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1）证明：aog= adg=90 ，在 rtaog 和 rtadg 中， ao=ad ，ag=ag ， aog adg （hl ） 。（2） pag =45 ,pg=og+bp 。理由如下：由（ 1）同理可证adp abp，则 dap= bap。由（ 1） aog adg ， 1=dag 。又 1+dag+ dap+ bap=90

33、，2dag+2 dap=90 ，即 dag+ dap=45 。 pag= dag+ dap=45 。 aog adg ， adp abp ， dg=og ，dp=bp。pg=dg+dp=og+bp 。（3） aog adg ， ago= agd 。又 1+ago=90 ， 2+pgc=90 ， 1=2， ago= agd= pgc。又 ago+ agd+ pgc=180 ， ago= agd= pgc=60 。 1=2=30 。在 rt aog 中， ao=3， og=aotan30 =3，g 点坐标为：（3，0） ，cg=33。在 rt pcg 中，pc=0cg33=31tan3033， p

34、点坐标为： （3，31） 。设直线 pe的解析式为y=kx+b ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 26 页 - - - - - - - - -则3k+b=03k+b=31，解得3k=3b=1。直线 pe的解析式为y=33x1。【考点】 一次函数综合题，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法， 直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由 ao=ad ，ag=ag ，利用 “hl ” 可证 aog adg 。（2） 利用 （1） 的方法，同理可证 adp

35、 abp， 得出 1=dag ， dap= bap，而 1+dag+ dap+ bap=90 ，由此可求 pag 的度数； 根据两对全等三角形的性质，可得出线段og、pg、bp 之间的数量关系。（ 3 ） 由 aog adg可 知 ， ago= agd ， 而 1+ago=90 ，2+pgc=90 ，当1= 2时，可证ago= agd= pgc，而ago+ agd+ pgc=180 ，得出 ago= agd= pgc=60 ，即 1=2=30 ，解直角三角形求 og，pc，确定 p、g 两点坐标，得出直线pe的解析式。32. （2012 山东威海11分）探索发现： 已知：在梯形abcd 中，

36、cdab ，ad 、bc 的延长线相交于点e，ac 、bd 相交于点o，连接 eo 并延长交ab 于点 m，交 cd 于点 n。（1）如图，如果ad=bc ，求证：直线em 是线段 ab 的垂直平分线；（2）如图，如果ad bc，那么线段am 与 bm 是否相等？请说明理由。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 26 页 - - - - - - - - -学以致用： 仅用直尺（没有刻度） ，试作出图中的矩形abcd的一条对称轴。 （写出作图步骤，保留作图痕迹）【答案】 解： （1）证明： ad=bc ，cdab， ac=bd

37、， dab= cba 。 ae=be 。点 e 在线段 ab 的垂直平分线上。在 abd 和 bac 中， ab=ba ，ad=bc ，ac=bd ， abd bac （sss） 。 dba= cab 。 oa=ob 。点 o 在线段 ab 的垂直平分线上。直线 em 是线段 ab 的垂直平分线。（2）相等。理由如下：cdab ， edn eam ， enc emb ， edc eab 。dndecncedeceamaebmbeaebe，。dncnambm。bmcnamdn。cdab ， ond omb ， onc oma ， ocd oab 。dnodcnocodocbmobamoaoboa

38、，。dncnbmam。amcnbmdn。bmamambm。 am2=bm2。 am=bm 。（3）作图如下：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 26 页 - - - - - - - - -作法：连接 ac ，bd ，两线相交于点o1； 在梯形 abcd 外 dc 上方任取一点e，连接 ea， eb，分别交dc 于点 g，h； 连接 bg，ah ，两线相交于点o2； 作直线 eo2，交 ab 于点 m； 作直线 mo1。则直线 mo1。就是矩形abcd 的一条对称轴。【考点】 平行的性质，全等、相似三角形的判定和性质，等腰三角

39、形的判定，线段垂直平分线的判定，复杂作图。【分析】（1）一方面由已知可得点e 在线段 ab 的垂直平分线上；另一方面可由sss证明abd bac ，从而得 dba= cab ，因此 oa=ob ，得出点o 在线段 ab 的垂直平分线上。从而直线em 是线段 ab 的垂直平分线。（2）一方面由cdab，得 edn eam ，enc emb ，edc eab ，利 用 对 应 边 成 比 例 可 得bmcnamdn； 另 一 方 面 由cdab ， 得 ond omb ，onc oma ， ocd oab ， 利 用 对 应 边 成 比 例 可 得amcnbmdn。 从 而 得 到bmamambm

40、，即可得到am=bm的结论。（3）按（ 2）的结论作图即可。33. （2012 四川泸州9 分） 如图， abc 内接于 o，ab 是 o 的直径， c 是的弧 ad 中点，弦 ceab 于点 h，连结 ad ，分别交ce、 bc 于点 p、q，连结 bd 。(1)求证： p 是线段 aq 的中点；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 26 页 - - - - - - - - -(2)若 o 的半径为5，aq=152，求弦 ce 的长。【答案】 解： （1）证明： ab 是 o 的直径，弦ceab ，acae。又 c 是弧ad

41、的中点，accd。aecd。 acp= cap。pa=pc。ab 是直径acb=90 。 pcq=90 acp ， cqp=90 cap 。 pcq=cqp 。pc=pq。pa=pq，即 p 是 aq 的中点。（2）accd， caq= abc 。又 acq= bcq， caq cba 。acaqbcba。又 aq=152，ba=10 ，15ac32bc104。设 ac=3k ， bc=4k ，则由勾股定理得，2223k4k10，解得 k=2。ac=6 ， bc=8。根 据 直角 三角 形的 面积公式 ，得 ： ac?bc=ab?ch ， 6 8=10ch 。ch=245。又 ch=he ，

42、ce=2ch=485。【考点】 圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角对等边证明：acp= cap 得到： pa=pc，然再证明pc=pq，即可得到 p 是 aq 的中点。（2）首先证明： caq cba ，依据相似三角形的对应边的比相等求得ac、bc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 26 页 - - - - - - - - -的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得ch 的长，则可以求得ce 的长。34. （2012 四川成都10 分） 如图， ab 是 o 的

43、直径，弦cdab 于 h，过 cd 延长线上一点 e 作 o 的切线交ab 的延长线于f切点为g，连接 ag 交 cd 于 k（1）求证： ke=ge ；（2）若2kg=kdge，试判断ac 与 ef 的位置关系，并说明理由；（3） 在（ 2）的条件下，若sine=35， ak=2 5，求 fg 的长【答案】 解： （1）证明：如答图1，连接 og。eg 为切线，kge+ oga=90 。cdab ， akh+ oag=90 。又 oa=og ， oga= oag。 kge= akh= gke 。 ke=ge 。（2）ac ef，理由如下：连接 gd，如答图2 所示。kg2=kd?ge，kgk

44、dgekg。又 kge= gke ， gkd egk 。 e=agd 。又 c=agd ， e=c。 ac ef。（ 3）连接 og，oc，如答图3 所示。由（ 2） e=ach ， sine=sinach=35。可设 ah=3t ，则 ac=5t ，ch=4t 。 ke=ge ，ac ef， ck=ac=5t 。 hk=ck ch=t 。在 rtahk 中，根据勾股定理得ah2+hk2=ak2，即（ 3t）2+t2=（2 5）2，解得 t=2。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 26 页 - - - - - - - - -

45、设 o 半径为 r，在 rtoch 中， oc=r，oh=r 3t，ch=4t ，由勾股定理得： oh2+ch2=oc2， 即 （r 3t）2+ （4t）2=r2， 解得 r=256t=2526。 ef 为切线，ogf 为直角三角形。在 rtogf 中， og=r=2526，tanofg=tancah=ch4ah3， fg=252og25624tan ofg83。【考点】 切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【 分 析 】 （ 1） 如 答 图1 ， 连 接og 根 据 切 线 性 质 及cd ab ， 可

46、以 推 出 连 接kge= akh= gke ，根据等角对等边得到ke=ge 。（2）ac 与 ef 平行，理由为：如答图2 所示，连接gd，由 kge= gke，及kg2=kd?ge ，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出gkd 与 ekg 相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到c=agd ，可推知 e=c，从而得到ac ef。（3）如答图 3 所示，连接og，oc首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在rtogf 中，解直角三角形即可求得fg 的长度。35. （2012 广西钦州10 分）如图，ab 是 o 的直径， ac 是弦，直线 ef 经过点 c，ad ef

47、于点 d， dac= bac （1）求证： ef 是 o 的切线；（2）求证： ac2=ad?ab ；（3）若 o 的半径为 2， acd=30 ，求图中阴影部分的面积【答案】 解： （1）证明：连接oc，oa=oc ， bac= oca。 dac= bac ， oca= dac 。 ocad 。ad ef， ocef。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 26 页 - - - - - - - - -oc 为半径， ef 是 o 的切线。（2）证明： ab 为 o 直径， ad ef， bca= adc=90 。 dac= b

48、ac ， acb adc 。adacacab。 ac2=ad?ab 。（3） acd=30 ， ocd=90 ， oca=60 . oc=oa ， oac 是等边三角形。ac=oa=oc=2 ， aoc=60 。在 rtacd 中， ad=12ac=1 。由勾股定理得：dc=3，阴影部分的面积是s=s梯形ocdas扇形oca=12 （2+1）326023 3236023。【考点】 圆的综合题，等腰（边）三角形的判定和性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积。【分析】（1）连接 oc，根据 oa=oc 推出 bac= oca= dac ，推出

49、 ocad ，得出ocef，根据切线的判定推出即可。（2）证 adc acb ，得出比例式，即可推出答案。（3）求出等边三角形oac ，求出 ac 、 aoc，在 rtacd 中，求出ad 、 cd，求出梯形 ocda 和扇形 oca 的面积，相减即可得出答案。36. （2012 广西贵港11 分） 如图， rtabc 的内切圆 o 与 ab 、bc、ca 分别相切于点d、e、f，且acb 90 ，ab5，bc3。点 p在射线 ac 上运动，过点p 作 ph ab，垂足为h。（1）直接写出线段ac 、ad 以及 o 半径的长；（2）设 phx，pcy，求 y 关于 x 的函数关系式；（3）当

50、ph 与 o 相切时，求相应的y 值。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 26 页 - - - - - - - - -【答案】 解： （1） ac=4 ；ad=3 ， o 半径的长为1。（2）在 rtabc 中， ab=5 ，ac=4 ，则 bc=3 。 c=90 ，phab， c=pha=90。 a= a， ahp acb 。phapacpcbcabab，即x4y35。5yx+43，即 y 与 x 的函数关系式是5yx+43。（ 3）如图， ph与 o 相切于点m，连接 od，oe，of，om。 omh = mh d=hd

51、o=90 ，om=od ，四边形omh d是正方形。mh=om=1 。 ce、cf 是 o 的切线， acb=90 ， cfo=fce= ceo=90 ，cf=ce 。四边形ceof 是正方形， cf=of=1 。 ph=pm+mh=pf+fc=p c，即 x=y。又由（ 2）知，5yx+43，5yy+43，解得3y2。【考点】 圆的综合题，圆的切线性质，勾股定理，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接 ao、do，eo，fo，设 o 的半径为r，在 rtabc 中，由勾股定理得ac=22abbc4， o 的半径 r=12（ac+bc-ab ） =12（ 4+3-5）=

52、1。ce、cf 是 o 的切线， acb=90 ， cfo= fce=ceo=90 ， cf=ce 。 四 边 形ceof是 正 方 形 。cf=of=1 。又 ad、 af 是 o 的切线，af=ad 。 af=ac-cf=ac-of=4-1=3， 即 ad=3 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 26 页 - - - - - - - - -（2）通过相似三角形ahp acb 的对应边成比例知，phapacpcbcabab，将“ph=x ，pc=y ”代入求出即可求得y 关于 x 的函数关系式。（3）根据圆的切线定理证得

53、四边形omh d 、四边形 cfoe 为正方形；然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知ph=pm+mh=pf+fc=p c，即 x=y ；最后将其代入（2）中的函数关系式即可求得y 值。37. （2012 贵州安顺12 分） 如图，在 o 中，直径 ab 与弦 cd 相交于点p， cab=40，apd=65 （1）求 b 的大小；（2）已知 ad=6 ，求圆心o 到 bd 的距离【答案】 解： （1） apd= c+cab ， cab=40 ， apd=65 ， c=65 40 =25 。 b=c=25 。（2）过点 o 作 oebd 于 e，则 de=be ，又 ao=bo ， oe=12ad=12 6=3。圆心 o 到 bd 的距离为 3。【考点】 圆周角定理，三角形外角性质，垂径定理，三角形中位线定理。【分析】（1）根据圆周定理以及三角形外角求出即可。（2）利用三角形中位线定理得出oe=12ad ，即可得出答案。38. 2012 云南省 7 分）如图， 在矩形 abcd 中，