第四章 对称与破缺

1、第四章第四章 对称与破缺对称与破缺 对称性是物理学尤其是凝聚态物理对称性是物理学尤其是凝聚态物理学中最重要的概念之一学中最重要的概念之一“凡草木花五出，独雪花六出” 韩诗外传(a)雪花雪花；(b)草木花草木花；(c) 另一种草木花另一种草木花对称性的定义：对称性的定义： 在于在变换之中保持不变。在于在变换之中保持不变。变变换换就在于将图形沿中轴旋转一定角就在于将图形沿中轴旋转一定角度，而旋转后的图形与原图完全重度，而旋转后的图形与原图完全重合，体现了其不变性。合，体现了其不变性。 显然，变化可以是多种多样的，显然，变化可以是多种多样的，涉及数学上或物理上的坐标变换涉及数学上或物理上的坐标变换

2、(科学术语科学术语)对称操作。对称操作。 对称及对称操作对称及对称操作n某某些图形或结构在坐标变换下的不变性。些图形或结构在坐标变换下的不变性。n设某些物理量，例如密度设某些物理量，例如密度 作为位矢作为位矢 的的函数，即函数，即 。满足。满足n r)(r rrgryzx那么那么g是是 的一个对的一个对称操作。这里称操作。这里对称的意对称的意思是对象在空间变换下思是对象在空间变换下的不变性，相应的的不变性，相应的坐标坐标变换就叫做这个对象的变换就叫做这个对象的对称操作对称操作。)(rrr 在在3D直角坐标系中，坐标的变换可表示为直角坐标系中，坐标的变换可表示为 坐标变换一般可分为两个部分，若用

3、矩阵坐标变换一般可分为两个部分，若用矩阵M表表示一个非平移操作（例如定轴转动、镜面反射示一个非平移操作（例如定轴转动、镜面反射及中心反演），再加一个平移操作（用矢量及中心反演），再加一个平移操作（用矢量 描述），则描述），则 ),(),(zyxrzyxr t 333231232221131211,)(aaaaaaaaaaMtrMrgrji若表示成分量形式，有若表示成分量形式，有ijjijitxax 狭义的对称操作满足等距离条件狭义的对称操作满足等距离条件（isometry）,也就是对象内任意两也就是对象内任意两点距离点距离 在对称操作下不变。同样地，直线在对称操作下不变。同样地，直线之间的夹角

4、在变换下均保持不变。之间的夹角在变换下均保持不变。222)()()(zzyyxxrr 对于点对称，变换行列式满足对于点对称，变换行列式满足例如，一个绕例如，一个绕z轴的转动，从轴的转动，从 到到 ，这，这里里 ，变换矩阵为，变换矩阵为 它显然满足它显然满足 。1 ijaM 1000cossin0sincos M1 M 另外以另外以xy平面为镜面的镜面反射，可以写出平面为镜面的镜面反射，可以写出此时此时 。相对于原点的中心反演，则。相对于原点的中心反演，则同样有同样有 . 100010001M1 M 100010001M1 M 可以把对称操作分为两种：可以把对称操作分为两种： 和和 ,分别对应于

5、分别对应于变换行列式变换行列式+1和和-1.容易判定以下事实，即容易判定以下事实，即 相继操作相继操作 的的q次方等价于第一次操作，次方等价于第一次操作，但但 操作的操作的q次方的结果依赖于次方的结果依赖于q是奇数还是是奇数还是偶数：偶数： IgIIg1)1()()(21 qIqIIgggMgrMIgIIg IIIqIqIIgqgqgggMgrM奇奇数数，等等价价于于当当偶偶数数，等等价价于于当当, 1, 1)1()()(21可通过物体的实际运动可通过物体的实际运动来实现，而来实现，而（例如镜面（例如镜面反射和空间反演）却不能通过物体的实反射和空间反演）却不能通过物体的实际运动来实现，就像镜面

6、空间不能通过际运动来实现，就像镜面空间不能通过空间的延伸而达到。空间的延伸而达到。 例如：右手螺旋通过镜面反射到左手螺例如：右手螺旋通过镜面反射到左手螺旋，但是这种变换不能由任何固定物体在实空旋，但是这种变换不能由任何固定物体在实空间的转动来实现，因此左手螺旋和右手螺旋必间的转动来实现，因此左手螺旋和右手螺旋必须独立产生。须独立产生。对称操作的分类：对称操作的分类：n(1).反映对称操作反映对称操作(mirror plane) 即镜像反映即镜像反映,它导致左右对称性，是相对于一个面它导致左右对称性，是相对于一个面(镜面镜面)而言。而言。具有镜像对称的物体被称为对映体，或称具有手性具有镜像对称的

7、物体被称为对映体，或称具有手性(chirality)的物的物体。体。（左与右是相互对峙，例如人的左手与右手，左旋螺丝钉和右旋螺（左与右是相互对峙，例如人的左手与右手，左旋螺丝钉和右旋螺丝钉，两者虽有相似性，却在现实世界里无法实现它们之间的相互转丝钉，两者虽有相似性，却在现实世界里无法实现它们之间的相互转变。）变。） 镜像反映镜像反映: (a) 左右手，左右手，(b)非手性物体非手性物体n左旋和右旋的手征性在生物学上十分重左旋和右旋的手征性在生物学上十分重要，很多生物分子就是左右不对称的，要，很多生物分子就是左右不对称的，而其旋光性也是一样的，如有些醣分子而其旋光性也是一样的，如有些醣分子就有左

8、旋右旋之分，而就有左旋右旋之分，而DNA大多只有右大多只有右旋，只有旋，只有Z(zigzag)-DNA是左旋的。是左旋的。n我们的两只手互为镜像，也就是说，左我们的两只手互为镜像，也就是说，左手是右手在镜子中的影像，反之亦然。手是右手在镜子中的影像，反之亦然。但是左右手却不能完全重合在一起。科但是左右手却不能完全重合在一起。科学上把这种现象称为手性。学上把这种现象称为手性。如果一个物如果一个物体不能与其镜像重合，该物体就称为手体不能与其镜像重合，该物体就称为手性物体。性物体。具有这种特性的分子称为具有这种特性的分子称为手性手性分子分子。n人们使用的药物绝大多数具有手性，被人们使用的药物绝大多数

9、具有手性，被称为手性药物。手性药物的称为手性药物。手性药物的“镜像镜像”称称为它的对映体，两者之间在药力、毒性为它的对映体，两者之间在药力、毒性等方面往往存在差别，有的甚至作用相等方面往往存在差别，有的甚至作用相反。反。20世纪世纪60年代一种称为反映停的手年代一种称为反映停的手性药物（一种孕妇使用的镇定剂，已被性药物（一种孕妇使用的镇定剂，已被禁用）上市后导致禁用）上市后导致1.2万名婴儿的生理缺万名婴儿的生理缺陷，因为反映停的对映体具有致畸性。陷，因为反映停的对映体具有致畸性。因此，能够独立地获得手性分子的两种因此，能够独立地获得手性分子的两种不同镜像形态极为重要。不同镜像形态极为重要。

10、(b)再对再对z0处的镜面作反映，令处的镜面作反映，令 (2).(2).反演对称操作反演对称操作 体现了正向与反向的等同性。反演的结果是体现了正向与反向的等同性。反演的结果是将任意点的坐标将任意点的坐标p(x,y,z)变为变为 (这里，这里， 即即-x, 其余类推其余类推)。 实现的步骤实现的步骤: (a) 沿沿z轴旋转轴旋转180。使。使 p(x,y,z) ),(zyxpx),(zyxp),(zyxp),( zyxp 反演反演180旋转旋转+反映反映空间反演之中就包含了镜像反映，因而也是不能通空间反演之中就包含了镜像反映，因而也是不能通过物体的直接运动所能实现的变换过物体的直接运动所能实现的

11、变换 对称破缺无序与有序对称破缺无序与有序n(1) (1) 概念的引入概念的引入 例：黑白棋子在棋盘网格上的分布情况例：黑白棋子在棋盘网格上的分布情况棋盘上黑白棋子排列的有序与无序棋盘上黑白棋子排列的有序与无序(a) (a) 有序排列，有序排列，(b) (b) 无序排列，无序排列， (c) (c) 无序排列的统计表征，无序排列的统计表征， (d) (d) 另一种有序排列，两相分离另一种有序排列，两相分离. .n对称破缺对称破缺欠缺了某一对称操作。欠缺了某一对称操作。n如：反演对称破缺时，对称性被破坏，具有不对称性。n（有偶极矩的分子必然不具有反演对称性）序的定义序的定义:凝聚态体系的某种规律称

12、之为序凝聚态体系的某种规律称之为序.一个一个系统有系统有n个性质或力学量个性质或力学量,其序性质可为其序性质可为m个个. nm 例如例如: 分子分子: :在位置和化学性质上可能有序在位置和化学性质上可能有序, , 但如无定向外场但如无定向外场, ,分子在取向上则无规律分子在取向上则无规律 性性分子取向是无序的分子取向是无序的. . 晶格点阵晶格点阵: :如有两种原子任意占据格点位如有两种原子任意占据格点位 置置, ,则原子位置仍是有序的则原子位置仍是有序的, ,但原子种类排但原子种类排 列是无序的列是无序的. . 有序有序无序无序有理数有理数无理数无理数 序结构的破坏则意味着相变序结构的破坏则

13、意味着相变. .n(2) (2) 从概念到现实有序从概念到现实有序- -无序转变的实无序转变的实例例n二元合金的有序二元合金的有序-无序的转变无序的转变n完整晶体中每一晶格格点上的原子都具有特定的品种，完整晶体中每一晶格格点上的原子都具有特定的品种，不可随意变更。假如我们意在保留晶体结构的骨架，不可随意变更。假如我们意在保留晶体结构的骨架，但对晶格格点上的原子以其他化学品种的原子来进行但对晶格格点上的原子以其他化学品种的原子来进行无规的替代，结果是破坏了晶格的严格的周期性，从无规的替代，结果是破坏了晶格的严格的周期性，从而引入了替代无序。而引入了替代无序。n 合金的结构有两类，合金的结构有两类

14、，(i) 替代无序，如通常的固溶体，替代无序，如通常的固溶体，(ii)替代有序，如金属化合物。替代有序，如金属化合物。 nCuZn合金在合金在742K和和AuCu3合金在合金在665K都存在有序都存在有序-无无序转变的迹象。序转变的迹象。 CuZn的无序相是体心立方结构，而的无序相是体心立方结构，而有序相则为原点和体心位置分别为有序相则为原点和体心位置分别为Cu、Zn原子所占的原子所占的CsCl结构；结构；AuCu3无序结构为面心立方结构，而有序无序结构为面心立方结构，而有序相则是元胞原点为相则是元胞原点为Au原子所占，原子所占，3个面心位置由个面心位置由Cu原原子所占。子所占。实际的有序实际

15、的有序-无序无序合金合金, (a) CuZn (b) AuCu3n原子自旋排列的有序原子自旋排列的有序- -无序转变无序转变n原子自旋排列的有序原子自旋排列的有序-无序转变与材料的磁性的转变相无序转变与材料的磁性的转变相关。关。n居里点居里点:(法法)P.Curie在测量铁、钴、镍等物质的磁化率在测量铁、钴、镍等物质的磁化率随温度的变化关系时，发现了临界温度随温度的变化关系时，发现了临界温度Tc居里点居里点.n 在高温下，原子自旋的取向完全无序，反映在磁性质在高温下，原子自旋的取向完全无序，反映在磁性质上表现为上表现为顺磁性顺磁性（如图（如图(a)）。）。n在居里点在居里点Tc以下，磁矩作顺向

16、排列，呈现以下，磁矩作顺向排列，呈现铁磁性铁磁性（如（如图图(b)）n20世纪世纪40年代，（法）奈耳（年代，（法）奈耳（L.Neel）发现：磁矩反）发现：磁矩反平行排列平行排列反铁磁性反铁磁性（如图（如图(c)） ，对应的临界温度称，对应的临界温度称为奈耳点。由于自旋作反平行排列，反铁磁性物质虽为奈耳点。由于自旋作反平行排列，反铁磁性物质虽然具有磁有序结构，但其宏观磁矩的总和为零。然具有磁有序结构，但其宏观磁矩的总和为零。n有些物质，虽然自旋作反平行排列，因反平行排列的有些物质，虽然自旋作反平行排列，因反平行排列的自旋矢量大小不等，故仍可具有强的铁磁性自旋矢量大小不等，故仍可具有强的铁磁性亚

17、铁磁亚铁磁性性（如图（如图(d)）磁无序与有序结构的示意图与相应的磁化率磁无序与有序结构的示意图与相应的磁化率 m m及自发磁化强度及自发磁化强度MMs s和温度的关系和温度的关系磁无序结构（顺磁相）磁无序结构（顺磁相）; (b) ; (b) 磁有序结构（铁磁相）；磁有序结构（铁磁相）；(a)(a) (c)(c)磁有序结构（反铁磁相）；磁有序结构（反铁磁相）； (d)(d)磁有序结构（亚铁磁相）磁有序结构（亚铁磁相）n顺磁性乃磁无序结构；顺磁性乃磁无序结构；n铁磁性、反铁磁性及亚铁磁性乃铁磁性、反铁磁性及亚铁磁性乃 磁有序结构。磁有序结构。2.3 2.3 能与熵的角逐能与熵的角逐有序有序- -

18、无序转变的无序转变的 物理根源物理根源n在热力学中，一个和周围环境处于热平衡状态的系统，在热力学中，一个和周围环境处于热平衡状态的系统，它的自由能它的自由能F应为极小值：应为极小值：n F=U-STnU系统中各个分子（原子）的能量之和；系统中各个分子（原子）的能量之和；T反映了反映了系统中分子（原子）热运动猛烈的程度，系统中分子（原子）热运动猛烈的程度，S熵，度量熵，度量系统中混乱程度的物理量，即无序度。系统中混乱程度的物理量，即无序度。S=kBlnWnW与一个宏观状态相对应的微观状态数。与一个宏观状态相对应的微观状态数。n例：当合金作完全有序的排列，对应于唯一的微观状例：当合金作完全有序的排

19、列，对应于唯一的微观状态，因而态，因而W=1, S=0. 合金作无序排列，就有难以胜数的合金作无序排列，就有难以胜数的不同微观状态与之对应，因而不同微观状态与之对应，因而S很高很高。n 物质的平衡态就取决于能量和熵相互竞争的结果物质的平衡态就取决于能量和熵相互竞争的结果!n 在有序在有序-无序转变的问题上，一切和原子在格点上排无序转变的问题上，一切和原子在格点上排列无关的能量可以完全忽略不计，只需讨论与列无关的能量可以完全忽略不计，只需讨论与A、B原原子排列有关的能量和熵。进一步只考虑最近邻的原子子排列有关的能量和熵。进一步只考虑最近邻的原子之间存在相互作用。设最近邻为之间存在相互作用。设最近

20、邻为AA对、对、BB对和对和AB对，对，原子间相互作用能为原子间相互作用能为WAA 、 WBB 、 WAB，那么参量那么参量n n W= WAA 1/2( WBB WAB)n将对能量起关键作用。将对能量起关键作用。nW的物理意义：的物理意义：如果设法改变合金中的原子分布，使如果设法改变合金中的原子分布，使AA对中的一个对中的一个A原子和原子和BB对中的一个对中的一个B原子交换位置，原子交换位置，形成两个形成两个AB对，即对，即n AA+BB 2ABn这一过程的能量变化就等于这一过程的能量变化就等于2W。n很显然，很显然，W是决定合金中原子排列的基本能量参量。是决定合金中原子排列的基本能量参量。n讨论：讨论：n 如果如果W0，则同类原子作最近邻在能量上有利。，则同类原子作最近邻在能量上有利。n 在在T0时，内能时，内能U即等于自有能即等于自有能F。如果。如果W0，则将分解成纯，则将分解成纯A相和纯相和纯B相，这就是相分离现象的出现